第十二章 二階電路的時(shí)域分析

第十二章二階電路的時(shí)域分析2023/3/301第一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日重點(diǎn)用經(jīng)典法分析二階電路二階電路的零輸入響應(yīng)有幾種表現(xiàn)形式？特點(diǎn)？難點(diǎn)不同特征根的響應(yīng)討論2023/3/302第二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日1、二階齊次微分方程的通解形式特征根：特征方程為：通解:知識(shí)復(fù)習(xí)2023/3/303第三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)特征方程有不同的實(shí)根p1、p2時(shí):當(dāng)特征方程有相同的實(shí)根p時(shí):當(dāng)特征方程有共軛的復(fù)根:2023/3/304第四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2、歐拉公式

2023/3/305第五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日問題的提出第一節(jié)RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一階電路是單純的吸收或釋放能量的響應(yīng)二階電將將出現(xiàn)動(dòng)態(tài)元件之間的能量交換例+--

++-左圖電路中，設(shè)開關(guān)S閉合前的瞬間，有t=0時(shí)開關(guān)閉合，分析電路中的暫態(tài)過程。RLC串聯(lián)電路的簡(jiǎn)單物理過程分析2023/3/306第六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日1、建立關(guān)于uC的電路方程一、

響應(yīng)uC與iLuC與iL確定的步驟換路后的電路如右圖所示在圖示參考方向下，電路的KVL方程為式中+--

++-+--++-將上述關(guān)系以u(píng)C作為應(yīng)變量代入KVL方程，經(jīng)整理后得2023/3/307第七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

這是一個(gè)常系數(shù)齊次線性二階微分方程。

其初始條件為2、確定特解

其次方程沒有特解，即uCP=0。2023/3/308第八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3、確定通解

其特征方程為

其特征根為

定義α稱為衰減常數(shù)

ω0為RLC串聯(lián)電路的諧振角頻率

于是

2023/3/309第九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

通解為

式中A1、A2是積分常數(shù)，由電路初始條件確定。

s1、s2僅決定于電路結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)，它們是電路的固有頻率或自然頻率。注意

在二階電路中，沒有時(shí)間常數(shù)的概念。

α、ω0、s1、s2的單位都是1/s。2023/3/3010第十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日4、寫出全解5、確定常數(shù)A1、A2

將上式中令t=0+，代入初始條件，得

在t=0+處，對(duì)（12-5）式對(duì)t求導(dǎo)，代入初始條件，有2023/3/3011第十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

聯(lián)立式（12-6）、（12-7）

得積分常數(shù)為注意

常數(shù)A1、A2不僅與電路初始狀態(tài)有關(guān)，而且，還與電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)。2023/3/3012第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

將積分常數(shù)代入uC的全解中，可得零輸入響應(yīng)uC為

電流為2023/3/3013第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

上式中s1s2由得將上式代入到iL中，化簡(jiǎn)后得注意

式（12-9）與式（12-11）指出，式中前一項(xiàng)是由電容器上的初始電壓U0引起的零輸入響應(yīng)，后一項(xiàng)是由電感器中的初始電流I0引起的零輸入響應(yīng)。初始電壓U0引起的零輸入響應(yīng)初始電流I0引起的零輸入響應(yīng)2023/3/3014第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日二、

電路不同參數(shù)值時(shí)暫態(tài)過程分析

在RLC串聯(lián)電路中，由于元件參數(shù)的不同，電路的暫態(tài)過程有三種不同的性狀。2023/3/3015第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日為了簡(jiǎn)化分析，設(shè)式（12-9）中I0=0。得2023/3/3016第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日這表明，在任一時(shí)刻t，有uC>0，電容器始終處于放電狀態(tài)，暫態(tài)過程是非周期性放電。電路為過阻尼。2023/3/3017第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日由得在tm處，iL有一極值。令上式在t=tm處的一階導(dǎo)數(shù)為零，得上式，在s1-s2≠0時(shí)，有得2023/3/3018第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日由得在tm’處，uL有一極值。令上式在t=tm’處的一階導(dǎo)數(shù)為零，得得2023/3/3019第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2023/3/3020第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

式中的兩個(gè)常數(shù)A1，A2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定。則有2023/3/3021第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日可得代入初始條件于是有2023/3/3022第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)將uC與iL波形都畫出來時(shí)，可以看出放電過程仍然是非周期性的，暫態(tài)過程處于臨界狀態(tài)。電路為臨界阻尼。定義為臨界電阻2023/3/3023第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

為RLC串聯(lián)電路的衰減震蕩角頻率。對(duì)此定義2023/3/3024第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日這樣電路的固有頻率可以寫成s1與s2為一共軛復(fù)數(shù)。則有代入初始條件可得代入uC(t)可得2023/3/3025第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

將上式α與ωd看成右圖所示直角三角形的兩條直角邊，利用則上式可以化成2023/3/3026第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日將上式對(duì)t求導(dǎo)，可得式中初相2023/3/3027第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日上二式表明2023/3/3028第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日為了簡(jiǎn)化振蕩過程，設(shè)I0=0，得由此畫出的uC與iL波形如右上圖所示。在圖示波形中：（1）iL過零點(diǎn)的時(shí)刻由得即2023/3/3029第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日（2）iL過極值的時(shí)刻由得即引用右上圖中的關(guān)系后，有即2023/3/3030第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日由此得iL過極值的時(shí)刻為（3）uC過零點(diǎn)的時(shí)刻由得即（4）uC達(dá)極值的時(shí)刻即是iL過零點(diǎn)的時(shí)刻2023/3/3031第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2023/3/3032第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)α=0，即R=0，由得即固有頻率為一對(duì)共軛虛數(shù)。由給出2023/3/3033第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日這樣，由式（12-22）與式（12-23）得2023/3/3034第三十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日上二式表明uC、iL的振幅為定值，即電路中的暫態(tài)過程是等幅振蕩，也即無阻尼振蕩。下圖為I0=0與uC（0+）=U0時(shí)的uC、iL波形。以上分析表明，RLC串聯(lián)零輸入電路暫態(tài)過程的特征取決于固有頻率s1與s2，即當(dāng)s1與s2分別為實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)與純虛數(shù)時(shí)，電路相應(yīng)的暫態(tài)過程就是非周期性放電、衰減振蕩與等幅振蕩。2023/3/3035第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日例12-1在圖12-6a電路中，L=1H，C=1/4F，uC(0-)=1V，電感器為零初始。T=0時(shí)開關(guān)S閉合，試就下列情況，計(jì)算電容電壓uC,并畫出uC波形：(1)R=5Ω；(2)R=4Ω；(3)R=2Ω；(4)R=0。+-解(1)R=5Ω臨界電阻為電路的暫態(tài)過程屬于過阻尼。衰減常數(shù)為2023/3/3036第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

諧振角頻率為+-電路的固有頻率為電容電壓由得2023/3/3037第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日+-(2)R=4Ω臨界電阻為電路屬于臨界阻尼。電容電壓由得2023/3/3038第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日+-(3)R=2Ω臨界電阻為電路屬于欠阻尼。衰減常數(shù)為諧振頻率由給出。衰減振蕩角頻率由得2023/3/3039第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日電路的固有頻率由式（12-21）得由式（12-24）得電容電壓由得2023/3/3040第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日+-(4)R=0R=0時(shí)，電路為無阻尼振蕩。電容電壓由式（12-28）得上述四種情況的uC波形如右圖所示。

2023/3/3041第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

GCL并聯(lián)電路如上圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程

+-+-2023/3/3042第四十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日代入電容，電阻和電感的VCR方程得到微分方程這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。其特征方程為由此求解得到特征根2023/3/3043第四十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1.時(shí)，s1,s2為兩個(gè)不相等的實(shí)根。2.時(shí)，s1,s2為兩個(gè)相等的實(shí)根。3.時(shí)，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。當(dāng)兩個(gè)特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，稱電路是欠阻尼的。2023/3/3044第四十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日由上分析可知，GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)是RLC串聯(lián)電路零輸入響應(yīng)的對(duì)偶。其對(duì)偶特性如下+-+-+--

++-uC與iL有關(guān)聯(lián)方向！uC與iL有關(guān)聯(lián)方向！2023/3/3045第四十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日例1：判斷如圖所示電路，是過阻尼情況還是欠阻尼情況。解：由KVL可知由KCL知?jiǎng)ti(t)RLuS(t)2023/3/3046第四十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日而將式(2)和式(3)代入式(1)得電路的二階微分方程其特征方程為2023/3/3047第四十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日特征根為因，電路為過阻尼情況。2023/3/3048第四十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日例電路如圖所示，已知G=3S，L=0.25H,C=0.5F,

iS(t)=(t)A。求t>0時(shí)電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)G，L，C的量值，計(jì)算出固有頻率

+-+-2023/3/3049第四十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程求得常數(shù)K1=-2，K2=1。最后得到電感電流和電容電壓這是兩個(gè)不相等的實(shí)根，電感電流的表達(dá)式為2023/3/3050第五十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日+-+-2023/3/3051第五十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日+-+-2023/3/3052第五十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日例圖示RLC并聯(lián)電路中，已知G=0.1S，L=1H，C=1F，

iS(t)=(t)A。求t>0時(shí)，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)。解：首先計(jì)算固有頻率其響應(yīng)為+-+-2023/3/3053第五十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日利用零初始條件，得到由此可得最后得到電感電流為2023/3/3054第五十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫出的電感電流波形如下所示。衰減系數(shù)為0.05的電感電流的波形2023/3/3055第五十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日u4(t)=ε(t)*[(1.00)*exp(-.500E-01t)]cos(.999t-