第十講 中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

第十講中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求和教法探討第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念的意義

反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”。數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑

（1）從現(xiàn)實模型直接得來；（2）經(jīng)過多級抽象概括得來；（3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來；（4）把客觀事物理想化和純粹化得出；（5）根據(jù)有理論上存在的可能性而提出等數(shù)學(xué)概念是發(fā)展變化的：原因一方面事物是發(fā)展變化的，另一方面人們的認識是不斷深化的。如：自然數(shù)集（加零）→擴大的自然數(shù)集（加正分?jǐn)?shù)）→算術(shù)數(shù)集（加負整（分）數(shù)）→有理數(shù)集（加無理數(shù)）→實數(shù)集（加虛數(shù)）→復(fù)數(shù)集概念和詞語密切聯(lián)系：語詞是概念的語言形式，而概念是語詞的思想內(nèi)容，兩者密切聯(lián)系，不可分割。概念和語詞之間是一一對應(yīng)的嗎？數(shù)學(xué)概念的重要性：非?；?，也非常重要，判斷由概念構(gòu)成，推理由判斷構(gòu)成，論證由判斷和推理構(gòu)成，因此概念是其他思維形式的基礎(chǔ)，是思維的細胞。數(shù)量關(guān)系和空間形式第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵亦稱內(nèi)包：就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和,是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。是指概念所反映的對象的特有屬性、本質(zhì)屬性。概念的外延亦稱外包，指概念所反映的對象的總和（或范圍），是概念的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物。例：“△ABC的頂點”

內(nèi)涵是指點的性質(zhì)和其中任一點同在這個三角形兩邊之上這個性質(zhì)；

外延是指A、B、C三點的集合。注：

（1）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認識的。例如，角的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。（2）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的（3）概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念間的關(guān)系（指概念外延間的關(guān)系）第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）

1、相容關(guān)系（兩個概念外延之間至少有一部分重合）（1）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系）：外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。

例如：

（一）

數(shù)0是擴大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù)與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個相等數(shù)的差等；

（二）等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。

注：研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、較全面的認識。另外，在推理證明中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡明。第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日（2）從屬關(guān)系（屬種關(guān)系）如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下圖所示，那么，這兩個概念具有從屬關(guān)系。其中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。這兩個概念的外延和的關(guān)系可以寫成例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概念；實數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在屬種關(guān)系中，外延大的那個叫屬概念，外延小的那個叫種概念（一個概念的屬概念是否唯一，一個概念的種概念是否唯一？）注意：一是種類概念之間具有相對性。二是要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如,對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間的關(guān)系不是從屬關(guān)系,只是全體與部分的關(guān)系。第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日（3）交叉關(guān)系如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系，可設(shè)兩個概念的外延分別是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系。例：（1）整數(shù)和整數(shù)（2）等腰三角形和直角三角形第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日（4）不相容關(guān)系（全異關(guān)系）

如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有全異關(guān)系，這種關(guān)系又叫做“全異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。全異關(guān)系又分為反對關(guān)系、矛盾關(guān)系和并列關(guān)系.

反對關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，而且它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正有理數(shù)和負有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對關(guān)系。

矛盾關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，并且它們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù)和無理數(shù)相對于實數(shù)來說就是矛盾關(guān)系。

并列關(guān)系：指兩個或兩個以上的同一系列的類概念，同時對于它們共同的種概念之間的關(guān)系，外延無公共部分。反對關(guān)系矛盾關(guān)系第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系

概念的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當(dāng)概念的內(nèi)涵擴大時,則概念的外延就縮小;當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時,則概念的外延就擴大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加“兩組對邊分別平行”這個性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個概念之間。第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念的定義和原始概念

把概念的內(nèi)涵用語言表達出來，就是給概念下定義。（揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法）原始概念：一些概念不能再用別的概念來定義，而被作為概念體系的出發(fā)點，這樣的概念叫原始概念，或基本概念，或不定義概念．如：點、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。定義的結(jié)構(gòu)：被定義項（被定義的概念）、定義聯(lián)項（聯(lián)系詞）和定義項（下定義的概念）。如：平行四邊形就是兩組對邊分別平行的四邊形。下定義的方法：第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日鄰近的屬加種差的定義

鄰近的屬：在一個概念的各個屬概念中，其內(nèi)涵與這個概念的內(nèi)涵之差最小的，叫這個概念的鄰近的屬。如平行四邊形是矩形的屬概念而四邊形和多邊形則不是。

種差：用于區(qū)別該概念和鄰近的屬概念的屬性）例：

一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（種差）（鄰近的屬）（被定義的項）

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（種差）（鄰近的屬）（被定義項）注：

一個概念的同一個屬可以有不同的種差，因此同一個概念可以有不同的定義。第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日發(fā)生定義：用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出定義。例如：

“圓是由一定線段的一動端點在平面上繞另一不動端點運動而形成的封閉曲線”。這種定義一般說來語言敘述比較長，但直觀、生動，有時可以用圖形直觀地表示出來。關(guān)系定義：用對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義。例如：

“偶數(shù)就是能被2整除的整數(shù)”外延定義：列舉概念的全部對象來下定義。例如：

“有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)和零的統(tǒng)稱”遞歸定義：當(dāng)被定義的對象與自然數(shù)性質(zhì)有關(guān)時常采用。公理定義法（約定式定義）

規(guī)定“

”

第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日下定義的基本要求

定義要下得正確,必須遵守以下規(guī)則（1）定義應(yīng)當(dāng)相稱所謂定義相稱指下定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等,不能擴大,也不能縮小,即通常說的不能過寬也不能過窄。

定義過寬：下定義概念的外延大于被定義概念的外延。例如:A、無理數(shù)是無限小數(shù)；B、直徑是弦。此兩例都犯了定義過寬的邏輯錯誤。例A中的下定義概念“無限小數(shù)”外延大于被定義概念“無理數(shù)”外延。因無限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。例B中的下定義概念“弦”的外延大于被定義概念

“直徑”的外延。

定義過窄：下定義概念的外延小于被定義概念的外延。例如:A、無理數(shù)是有理數(shù)的不盡方根；B、各角為直角的菱形是矩形。此兩例都犯了定義過窄的錯誤。例A中的下定義概念“有理數(shù)的不盡方根”的外延小于被定義概念“無理數(shù)”的外延。因為π、e、lg3等都是無理數(shù),它們都不是有理數(shù)的不盡方根。例B中的下定義概念“各角為直角的菱形”的外延小于被定義概念

“矩形”的外延。因為各角為直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日（2）定義不能惡性循環(huán)在定義中,下定義概念必須能直接地揭示被定義概念的內(nèi)涵,而不能直接或間接地依賴于被定義概念。下定義的目的就是要揭示被定義概念的內(nèi)涵。如果下定義概念直接或間接地包含了被定義概念,那么就達不到明確概念內(nèi)涵的目的。違犯了這條規(guī)則,就會犯循環(huán)定義的邏輯錯誤。

循環(huán)定義常有以下兩種情況：

惡性循環(huán)：在一個科學(xué)系統(tǒng)中,如果把概念A(yù)作為已知的概念來定義概念B,但又用概念B來定義概念A(yù),這種邏輯錯誤叫做定義惡性循環(huán)。例如用兩條直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。這樣定義概念不能揭示概念的內(nèi)涵。

詞語反復(fù)：用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯誤叫做詞語反復(fù),結(jié)果什么也沒有說清楚。以下幾例都犯了詞語反復(fù)的錯誤。1°互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。2°基礎(chǔ)知識就是最基礎(chǔ)的知識。第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日（3）定義一般不用否定形式定義應(yīng)從正面對被定義概念的本質(zhì)屬性用肯定形式給予揭示,一般不用否定形式。例如“不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù)”。這樣定義無理數(shù),既不能揭示無理數(shù)的內(nèi)涵,又不能確定無理數(shù)的外延。但是,有些概念的特有屬性就是它缺少某個屬性,對這樣的概念下定義可用否定形式。例如,“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”就是用的否定形式。（4）定義應(yīng)當(dāng)簡明（5）定義一般不用比喻說法在定義中不能應(yīng)用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。例如“無窮小是很小很小的數(shù)”,這樣定義無窮小是錯誤的。從外表看,頗似定義,但它用了比喻詞。又如,“正方形是一種有規(guī)則四邊形”,“有規(guī)則”是一個不可捉摸的含混概念,這樣定義不能揭示出“正方形”的內(nèi)涵。再如,“對邊平行且相等的平面四邊形是平行四邊形”。這個定義既不清楚確切,也不簡明。定義中漏掉了

“兩組”、“分別”、多了“且相等”,“平面”。第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念的劃分和分類

劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個概念所指的事物，按照不同的屬性分成若干小類，從概念來說，就是將一個屬概念劃分成若干種概念，被劃分的類叫做劃分的母項，若干小類叫做劃分的子項。

概念的劃分：把一個屬概念分為若干個不相容種概念的邏輯方法。

概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性或特征所進行的劃分。

概念分類的要求：（1）排中律：不能同假，必有一真，即A和A’必居其一，且僅居其一，A或A’）（2）同一律：保持同一性，A是A（3）無矛盾律：使用同一標(biāo)準(zhǔn)，逐級分類等第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日劃分規(guī)則（1）劃分后各子項應(yīng)當(dāng)互不相容：子項之間必須有全異關(guān)系，違反這條規(guī)則叫做犯了子項相容的錯誤。

例如：把平行四邊形劃分為菱形、正方形和鄰邊不等的平行四邊形。（2）各個子項必須窮盡母項：子項的總和應(yīng)當(dāng)與母項全同，違反這條規(guī)則叫做犯了子項不窮盡錯誤。

例如：把平行四邊形劃分為菱形、正方形和矩形。（3）每一次劃分應(yīng)當(dāng)用同一個劃分標(biāo)準(zhǔn)：劃分的標(biāo)準(zhǔn)可以不同，但每一次劃分時不能用兩種或兩種以上的劃分標(biāo)準(zhǔn)。（4）不能越級劃分：應(yīng)取最接近的種概念，否則就叫做犯了越級分類的錯誤。如：把實數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)。第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日二分法：

首先把被劃分的概念分為兩個互相矛盾的概念，再繼續(xù)按照此方法進行，最后得到的種概念就一定能夠滿足前面的三條規(guī)則。

如：用二分法表示線性方程組的解

第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)概念的特點概括性邏輯性抽象性多質(zhì)性發(fā)展性第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析概念學(xué)習(xí)的基本形式1.概念的形成概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因此，數(shù)學(xué)概念的形成實質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征的過程?？筛爬ㄈ缦拢海?）辨別各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進行分析、辨認，根據(jù)事物的外部特征進行概括。（2）分化出各種刺激模式的屬性。（3）抽象出各個刺激模式的共同屬性。（4）在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認關(guān)鍵屬性。（5）概括，形成概念。（6）把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去。（7）用習(xí)慣的形式符號表示新概念。第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日“函數(shù)”概念的形成過程：

1.觀察實例，寫出變量間的關(guān)系表達式：（1）以每小時80千米的速度勻速行使的汽車，所駛過的路程和時間（2）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻（3）用表格給出的某水庫的貯水量與水深。2.找出上例中兩變量之間關(guān)系的共同本質(zhì)3.辨別正反例，找出本質(zhì)屬性（一一對應(yīng)）4.概括出函數(shù)定義5.練習(xí)鞏固成形第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日教學(xué)過程中需注意：（1）提供的刺激模式應(yīng)該是正例，而且數(shù)量要恰當(dāng)；（2）注意選擇那些刺激強度適當(dāng)、變化性大和新穎有趣的例子；（3）讓學(xué)生進行充分自主的活動，使他們經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的條件，把握概念形成的規(guī)律；（4）在確認了事物的關(guān)鍵屬性，概括成概念以后，教師應(yīng)采取適當(dāng)措施，使學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的新舊概念分化，以免造成新舊概念的混淆，新概念被舊概念所湮沒；（5）必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去，使新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點作用的相關(guān)概念建立起實質(zhì)的和非人為的聯(lián)系；（6）教師的語言中介作用很大，因為教師的語言引導(dǎo)可以使學(xué)生更加有的放矢地對概念的具體事例進行分析、歸納和概括；（7）教師一定要扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生完成概念形成的每一個步驟。第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.概念的同化

概念同化的學(xué)習(xí)形式是利用學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的原有概念，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性。由奧蘇伯爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論可知，要使學(xué)生有意義地同化新概念，必須：

第一，新概念具有邏輯意義；

第二，學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中具備同化新概念的適當(dāng)知識；

第三，學(xué)生積極主動地使這種具有潛在意義的新概念與他認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念發(fā)生相互作用，改造舊知識，使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進一步分化和融會貫通。第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念同化的階段（1）揭示概念的關(guān)鍵屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征；（3）使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化新概念；（4）用肯定例證和否定例證讓學(xué)生辨認，使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化；（5）把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，使有關(guān)概念融會貫通，組成一個整體。第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

教學(xué)過程中要注意：

（1）同化方式學(xué)習(xí)概念，實際上是用演繹方式來理解和掌握概念。因為它是從抽象定義出發(fā)來學(xué)習(xí)的，所以應(yīng)注意及時利用實例，使抽象概念獲得具體例證的支持；（2）學(xué)習(xí)中必須經(jīng)過概念分類這一步，使學(xué)生從外延角度進一步對概念進行理解；（3）在引入概念的同時，要求學(xué)生掌握一定的智力動作，以防止出現(xiàn)知道概念的定義而不知如何將它用于解題的情況；（4）為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進行推理、論證的機會，在應(yīng)用中強化概念，以防止由于沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念加工不充分、理解不深刻的情況；（5）一定要將所學(xué)概念納入到已有認知結(jié)構(gòu)中，形成概念系統(tǒng)。第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日概念教學(xué)的基本要求和教法探討概念的引入——概念的明確——概念的系統(tǒng)化——概念的運用1.概念的引入（1）原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確。如“針尖刺木板”的痕跡引入“點”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法，“1，2，3，···叫做自然數(shù)”是

指明對象法。（2）對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念一般可通過觀察實例，啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性，師生共同進行討論，最后再準(zhǔn)確定義。第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日（3）對于用概念的同化來學(xué)習(xí)的概念（a）用屬加種差定義的概念

新概念是已知概念的特例，新概念可以從認知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。（b）由概念的推廣引入的概念

講清三點：推廣的目的和意義；推廣的合理性；推廣后更加廣泛的含義。（c）采用對比方法引入新概念

當(dāng)新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。

關(guān)鍵是講清不同之處，防止概念的負遷移。（d）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念

多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數(shù)引入對數(shù)等。關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。(4)發(fā)生式定義

通過觀察實例或引導(dǎo)學(xué)生思考，進行討論，自然得出構(gòu)造過程