第五章薄板彎曲

第五章薄板彎曲第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日5.1薄板的彎曲變形如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸，當(dāng)h/l<15時(shí)，可認(rèn)為是薄板。板內(nèi)厚度中點(diǎn)構(gòu)成的平面稱中面。板件一般常駐有垂直于中面的載荷（橫向載荷），在載荷作用下，板面發(fā)生彎曲，中面由平面變?yōu)榍?，稱為撓曲面。第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日以未變形的中面為xy坐標(biāo)面，中面各點(diǎn)沿z軸的橫向位移以w表示，稱為撓度，如圖5-1所示。一般撓度為中面各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，即w=w(x,y)稱為撓曲面方程。第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日薄板彎曲時(shí)，板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)槠渲衵為點(diǎn)到中面的距離為撓曲面沿方向的曲率為扭曲率第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)板彎曲撓度很小時(shí)，曲率、扭曲率與撓曲面的關(guān)系為板撓曲面的曲率、扭曲率表示出板彎曲變形的程度，這3個(gè)分量也可合稱為曲率?？捎昧嘘嚤硎緸榈谖屙?yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日(5.1)第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日因此，板內(nèi)的應(yīng)變可用列陣表示為(5.2)第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為其中[Dp]即平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性系數(shù)矩陣板的中面處z=0，有即中曲面內(nèi)沒(méi)有面內(nèi)應(yīng)變，也沒(méi)有面內(nèi)應(yīng)力。(5.3)第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日板內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變與其z坐標(biāo)呈正比關(guān)系。應(yīng)力與z坐標(biāo)也成正比，沿板厚度方向線性變化。正應(yīng)力σx,σy在板的橫截面上將合成為彎矩，剪應(yīng)力將合成為扭矩。分別表示如下：第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日彎矩Mx、My與扭矩Mxy3項(xiàng)為薄板彎曲的內(nèi)力，合在一起用列陣表示為第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日將式(5.3)代入上式，并完成積分有其中[D]為薄板彎曲的彈性系數(shù)矩陣，它與平面應(yīng)力問(wèn)題彈性系數(shù)矩陣相似，只是多一個(gè)系數(shù)h3/12。第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日薄板彎曲的彈性應(yīng)變能為其中V為板的體積域。將式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向積分，可得第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日其中S為板中面的面積域，[D]為薄板彎曲的彈性系數(shù)矩陣。由上式可見(jiàn)，薄板彎曲變形時(shí)，單位面積中面的彈性應(yīng)變能為其曲率的二次型。板彎曲的曲率是其撓度w的二階導(dǎo)數(shù)，因而薄板彎曲的彈性應(yīng)變能為包括w二階導(dǎo)數(shù)的二次泛函數(shù)。(5.6)第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日5.2四節(jié)點(diǎn)的矩形薄板單元對(duì)于薄板彎曲，可以只研究其中面的變形；對(duì)于矩形板單元，可以只研究一個(gè)矩形平面，但是，此單元上一點(diǎn)實(shí)際上代表著一個(gè)長(zhǎng)度為板厚的法線段。按基本假設(shè)，此法線段長(zhǎng)度不變，其位移應(yīng)包括中心點(diǎn)的撓度w和法線繞x、y軸的轉(zhuǎn)角θx和θy

。因而板單元任一節(jié)點(diǎn)i應(yīng)有3個(gè)位移分量。第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D5-3為矩形板單元，規(guī)定位移的正方向：wi沿z軸方向；轉(zhuǎn)角θxi和θyi繞x、y軸按右手螺旋規(guī)定正方向。第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日節(jié)點(diǎn)位移按直法線假設(shè)，以小撓度變形下，法線的轉(zhuǎn)角可由撓曲面的斜率表示。i節(jié)點(diǎn)的3項(xiàng)位移可用列陣表示為第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日板單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3項(xiàng)獨(dú)立位移，即有3個(gè)自由度，4個(gè)節(jié)點(diǎn)共有12個(gè)自由度。如e單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為k、l、m、n，則此單元全部節(jié)點(diǎn)位移可以列陣表示為為分析方便，此順序是按節(jié)點(diǎn)分組排列的。如按節(jié)點(diǎn)分塊，上述節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)表示為第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日形狀函數(shù)取矩形單元的對(duì)稱軸為x、y軸，可假定單元內(nèi)撓度具有如下的多項(xiàng)式形式其中a1、a2…

a12為待定系數(shù)。(5.7a)第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日12個(gè)待定系數(shù)對(duì)應(yīng)于單元的12個(gè)自由度。前3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)及線性項(xiàng)，反映出中面平板無(wú)彎曲的剛體位移。3個(gè)二次項(xiàng)經(jīng)二階微分后給出常曲率，反映出中面變形的3種常應(yīng)變形式。因此，前6項(xiàng)滿足了單元的完備性要求。第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日含有完全的三次多項(xiàng)式，其四次項(xiàng)是不完全的，此種近似的撓度函數(shù)具有三次多項(xiàng)式的精度。不完全四次項(xiàng)的兩項(xiàng)是對(duì)稱的，這使單元對(duì)x及y軸具有同等的變形能力；當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)90o時(shí)，單元不會(huì)表現(xiàn)出不同的彎曲撓度形式。在x=常數(shù)及y=常數(shù)的單元邊界上，其撓度都只含三次多項(xiàng)式。由后面的分析可見(jiàn)，這種假定的撓度函數(shù)可以保證單元間撓度的連續(xù)性。第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日式(5.7a)可寫成矩陣形式(5.7b)或簡(jiǎn)寫為其中是[M(x,y)]一個(gè)1X12階的函數(shù)矩陣，而{a}是由12個(gè)待定系數(shù)組成的列陣第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日將(5.7b)對(duì)x、y分別求導(dǎo)，可得到兩個(gè)轉(zhuǎn)角的矩陣表達(dá)式如下：(5.8)第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日依次將單元的4個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(5.7b)及(5.8)中，可得到4個(gè)節(jié)點(diǎn)的撓度w及轉(zhuǎn)角θx和θy這里共有12個(gè)方程，聯(lián)系著12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量及12個(gè)a參數(shù)之間的關(guān)系，其矩陣表達(dá)式為上式的逆轉(zhuǎn)換式為(5.9)第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日將式(5.9)代入式(5.7b)，得(5.10)其中[N(x,y)]即為此矩形薄板單元彎曲的形狀函數(shù)矩陣，是一個(gè)1X12階的行向量，按節(jié)點(diǎn)分塊表示為(5.11)第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于圖5-4所示的矩形單元，其任一節(jié)點(diǎn)i的形狀函數(shù)矩陣[Ni}是一個(gè)1X3的行陣，表達(dá)如(5.12)(p80)第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日單元?jiǎng)傟噷⑹?5.10)代入式(5.1)，可得單元的曲率為第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日式中的[B]也可稱為單元的應(yīng)變矩陣，按節(jié)點(diǎn)分塊表示，有而對(duì)任一節(jié)點(diǎn)i的應(yīng)變矩陣，按圖5-4所示的坐標(biāo)軸，有(5.14)(p81)第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日單元的內(nèi)力如已解出板結(jié)構(gòu)的全部節(jié)點(diǎn)位移{δ}，則對(duì)任意的e單元都可以找出相應(yīng)的單元節(jié)點(diǎn)位移{δ}e，再應(yīng)用應(yīng)變矩陣[B]和薄板彎曲的彈性矩陣[D]，即可得到單元的內(nèi)力上式中[D][B]=[S]為薄板彎曲應(yīng)力矩陣，為3X12的長(zhǎng)方矩陣。第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日將板彎曲的曲率代入板彎曲的應(yīng)變能表達(dá)式(5.6)，可得到單元的應(yīng)變能簡(jiǎn)寫為而其中即為板彎曲的單元?jiǎng)偠染仃嚒?5.16)第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日板彎曲的單元?jiǎng)偠染仃?，其?jì)算式與一般單元?jiǎng)傟嚕ㄈ缙矫鎲?wèn)題）完全一樣，只是這里應(yīng)代入板彎曲的彈性系數(shù)矩陣[D][式(5.5)]和板彎曲的應(yīng)變矩陣[B][式(5.13)]。第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日節(jié)點(diǎn)載荷板結(jié)構(gòu)上如受有集中荷載，一般在劃分單元時(shí)宜將此力作用點(diǎn)劃分為網(wǎng)格中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，此集中力可直接加入結(jié)構(gòu)的總載荷列陣{Q}中。如板面承受有面分布的橫向載荷p(x,y)，則應(yīng)按式(3.10)逐個(gè)單元將分布力等效分配到各節(jié)點(diǎn)上。第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日任一單元e形成的單元節(jié)點(diǎn)載荷為其中[N]為板彎曲的形狀函數(shù)矩陣，由式(5.11)決定。第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)橫向分布載荷為常值p時(shí)（均布載荷），對(duì)圖5-5所示的矩形板單元，其分配得到的單元節(jié)點(diǎn)載荷為其中Zi和Mxi、Myi為i節(jié)點(diǎn)沿z向的力和繞x、y軸的力偶。(5.17)由上式可見(jiàn)，單元在均布的橫向載荷p作用下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)不但分配有全部單元橫向力4pab的1/4，而且對(duì)各節(jié)點(diǎn)還分配有繞x、y軸的力偶。第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日5.3薄板彎曲的相容性問(wèn)題薄板彎曲的總勢(shì)能表達(dá)包含w的二階導(dǎo)數(shù)。完備性要求：所假定的單元位移模式應(yīng)能實(shí)現(xiàn)任意的剛體位移和常曲率狀態(tài)；相容性要求：所假定的單元位移模式保證單元間撓度及其一階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日(5.7a)的假定位移模式滿足完備性要求；但該假定的位移模式不滿足相容性要求，其在各單元邊界上撓度的導(dǎo)數(shù)或是不連續(xù)的。第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日例如：在單元ij邊界y=b

(常數(shù))上有其中四個(gè)常數(shù)Ak,k=0,1,2,3

可以由四個(gè)條件wi,wj,及來(lái)確定，故此時(shí)變形的撓度和沿x方向的轉(zhuǎn)角是連續(xù)的。第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日而對(duì)邊界上的轉(zhuǎn)角

有式中的Bk,k=0,1,2,3

也需要四個(gè)條件才能確定，但現(xiàn)在只有二個(gè)條件，不足以確定Bk，故轉(zhuǎn)角不能唯一確定。此單元相容性條件并不滿足。第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日我們知道相容性只是充分性條件；不滿足相容性條件的單元不保證收斂性；但實(shí)踐證明，這種單元的收斂性還是很好的。為什么？第三十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日薄板問(wèn)題總結(jié)薄板