第十四章整式的乘法與因式分解

第十四章整式的乘法與因式分解第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日本章知識結構：一、整式的有關概念

1、代數式2、單項式3、單項式的系數及次數

4、多項式5、多項式的項、次數6、整式二、整式的運算（一）整式的加減法去括號，合并同類項第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日

1、單項式除以單項式

2、多項式除以單項式（三）整式的除法

1、同底數冪的乘法2、冪的乘方

3、積的乘方4、同底數的冪相除

5、單項式乘以單項式6、單項式乘以多項式

7、多項式乘以多項式8、平方差公式

9、完全平方公式（二）整式的乘法第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、整式的有關概念1、單項式：數與字母乘積，這樣的代數式叫單項式。單獨的一個數或字母也是單項式。2、單項式的系數：單項式中的數字因數。3、單項式的次數：單項式中所有的字母的指數和。4、多項式：幾個單項式的和叫多項式。5、多項式的項及次數：組成多項式中的單項式叫多項式的項，多項式中次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。特別注意，多項式的次數不是組成多項式的所有字母指數和?。?！第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日6、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱整式。（分母含有字母的代數式不是整式）二、整式的運算（一）整式的加減法基本步驟：去括號，合并同類項。第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日1、同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。數學符號表示：（其中m、n為正整數）（二）整式的乘法練習：判斷下列各式是否正確。第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日2、冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。數學符號表示：（其中m、n為正整數）練習：判斷下列各式是否正確。（其中m、n、P為正整數）第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日3、積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。符號表示：練習：計算下列各式。第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日4.單項式與單項式相乘的法則：

單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日法則：多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=

a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)5.多項式與多項式相乘：=am+an+bm+bn第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日（1）、平方差公式即兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫（乘法的）平方差公式說明：平方差公式是根據多項式乘以多項式得到的，它是兩個數的和與同樣的兩個數的差的積的形式。6.乘法公式：一般的，我們有：第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日

1、205×1952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、

(x+y+z)(x+y-z)第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日（2）、完全平方公式法則：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。一般的，我們有：第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日注意：（1）(a-b)=-(b-a)(2)（a-b)2=(b-a)2(3)(-a-b)2=(a+b)2(4)(a-b)3=-(b-a)3第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日7.添括號的法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號。第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日（1）、同底數冪的除法即：同底數冪相除，底數不變，指數相減。一般地，我們有（其中a≠0，m、n為正整數,并且m＞n）8.整式的除法：即任何不等于0的數的0次冪都等于1第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日（2）、單項式除以單項式法則：單項式除以單項式，把它們的系數、同底數冪分別相除作為商的一個因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。（3）、多項式除以單項式法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日練習第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日練習：計算下列各題。第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日分解因式定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，象這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解或分解因式。與整式乘法的關系：互為逆過程，互逆關系方法提公因式法公式法步驟一提：提公因式二用：運用公式三查：檢查因式分解的結果是否正確（徹底性）平方差公式

a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日（1）.公因式：一個多項式的各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式（2）找公因式：找各項系數的最大公約數與各項都含有的字母的最低次冪的積。（3）.提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，作為多項式的一個因式，然后用原多項式的每一項除以這個公因式，所得的商作為另一個因式，將多項式寫成因式乘積的形式，這種因式分解的方法提公因式法。第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日知識點1因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。X2-1(X+1)(X-1)因式分解整式乘法第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日知識點2提公因式法多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的因式m,我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2–x=x(x-1)，

8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)x2a第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日探究交流下列變形是否是因式分解？為什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.提公因式錯誤，可以用整式乘法檢驗其真?zhèn)?不滿足因式分解的含義因式分解是恒等變形而本題不恒等.是整式乘法.第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日典例剖析例1用提公因式法將下列各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)x3+(b-a)-(a-b)(a-b)第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日小結運用提公因式法分解因式時，要注意下列問題：

(1)因式分解的結果每個括號內如有同類項要合并，而且每個括號內不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出現像(2)小題需統(tǒng)一時，首先統(tǒng)一,盡可能使統(tǒng)一的個數少，這時注意到(a-b)n=(b-a)n(n為偶數)例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本題既可以把(x-y)統(tǒng)一成(y-x)，也可以把(y-x)統(tǒng)一成(x-y),但比較而言把(x-y)化成(y-x)比較簡便，因為(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).

(3)因式分解最后如果有同底數冪，要寫成冪的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日做一做把下列各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；

(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；2(2a+b)22(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1)第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.知識點3公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日探究交流下列變形是否正確？為什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.目前在有理數范圍內不能再分解.不是完全平方式，不能進行分解不是完全平方式，不能進行分解第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日例2把下列各式分解因式.(1)(a+b)2-4a2

；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2做一做把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).(1)(x2+3)2(2)(x+y-2)2(2)1-10x+25x2(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)2=1-10x+(5x)24a2(2a)2+2a-2a25x2(5x)2第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日綜合運用例3分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2(2)x2(x-y)+y2(y-x)x

=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2=(x-y)(x2-y2)小結解因式分解題時，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式；如果沒有公因式是兩項，則考慮能否用平方差公式分解因式.是三項式考慮用完全平方式，最后，直到每一個因式都不能再分解為止.第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日探索與創(chuàng)新題例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k=—分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即兩數的平方和與這兩個數乘積的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2∴±kxy=2·3x·6y=36xy∴k=±36做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式，則k=___k=3或k=-9第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日思考題分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10分析:把x4+x2作為一個整體，用一個新字母代替，從而簡化式子的結構.解：令x4+x2=m，則原式可化為(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)