第八章數(shù)值積分與微分

第八章數(shù)值積分與微分第一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日第8章目錄§1數(shù)值積分的基本概念1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想1.2代數(shù)精度1.3插值型求積公式§2牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式2.1牛頓一柯特斯公式2.2幾種低價(jià)N-C求積公式的余項(xiàng)2.3牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂性§3復(fù)化求積公式3.1復(fù)化梯形公式3.2復(fù)化Simpson公式與復(fù)化Cotes公式第二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日第8章目錄§4變步長(zhǎng)方法（逐次分半算法）4.1梯形公式的逐次分半算法4.2Simpson公式的逐次分半算法§5龍貝格（Romberg）求積公式5.1外推法5.2Romberg求積公式§6高斯（Gauss）型求積公式§7數(shù)值微分第三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日序(1)

計(jì)算定積分的值是經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題，由微積分理論知道：只要求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，就可以利用牛頓—萊布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定積分值：但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實(shí)際使用上述求積分方法時(shí)，往往會(huì)遇到下面情況：1.函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式，只有一些由實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)形成的表格或圖形。第四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日序(2)

3.f(x)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。2.f(x)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示出來(lái)，如：由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn)而建立起上機(jī)計(jì)算定積分的算法，此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。同樣，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，也有類(lèi)似的問(wèn)題，需要研究數(shù)值微分方法。第五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日§1數(shù)值積分的基本概念1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想

定積分I=∫abf(x)dx在幾何上為x=a,x=b,y=0和y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計(jì)算之所以困難，就在于這個(gè)曲邊梯形中有一條邊y=f(x)是曲邊，而不是規(guī)則圖形。由積分中值定理，對(duì)連續(xù)函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使：

也就是說(shuō)，曲邊梯形的面積I恰好等于底為（b-a），高為f()的規(guī)則圖形—矩形的面積（圖7-1），f()為曲邊梯形的平均高度，然而點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因此難以準(zhǔn)確地求出f()的值。但是，由此可以得到這樣的啟發(fā)，只要能對(duì)平均高度f(wàn)()提供一種近似算法，便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。圖7-1abξ第六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)）

如，用兩端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)與f(b)取算術(shù)平均值作為平均高度f(wàn)()的近似值，這樣可導(dǎo)出求積公式：

更一般地，可以在區(qū)間[a,b]上適當(dāng)選取某些點(diǎn)xk

(k=0,1,…,n)，然后用f(xk)的加權(quán)平均值近似地表示f()，這樣得到一般的求積公式：其中，點(diǎn)xk

稱(chēng)為求積節(jié)點(diǎn)，系數(shù)Ak

稱(chēng)為求積系數(shù)，Ak

僅僅與節(jié)點(diǎn)xk

的選取有關(guān)，而不依賴(lài)于被積函數(shù)f(x)的具體形式，即xk決定了，Ak也就相應(yīng)的決定了。第七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想回顧定積分的定義，積

分值I是和式的極限：

其中xk是[a,b]的每一個(gè)分割小區(qū)間的長(zhǎng)度，它與f(x)無(wú)關(guān)，去掉極限，由此得到近似計(jì)算公式：因此，式（7-1）可作為一般的求積公式，其特點(diǎn)是將積分問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，從而避開(kāi)了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難，適合于函數(shù)給出時(shí)計(jì)算積分，也非常便于設(shè)計(jì)算法。便于上機(jī)計(jì)算。求積公式（7-1）的截?cái)嗾`差為：Rn也稱(chēng)為積分余項(xiàng)。第八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日1.2代數(shù)精度

數(shù)值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對(duì)較多的函數(shù)準(zhǔn)確成立，而有的公式只對(duì)較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。為了反映數(shù)值積分公式在這方面的差別，引入代數(shù)精度的概念。定義1

如果某個(gè)求積公式對(duì)所有次數(shù)不大于m的多項(xiàng)式都精確成立，而至少對(duì)一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不精確成，則稱(chēng)該公式具有m次代數(shù)精度。

一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義1容易得到下面定理。定理1

一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對(duì)1,x,x2,…,xm精確成立，而對(duì)xm+1不精確成立。第九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)精度(續(xù)1）試驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。例1同理可證明矩形公式的代數(shù)精度也是一次的第十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)精度（續(xù)2）上述過(guò)程表明，可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來(lái)構(gòu)造求積公式。例如，對(duì)于求積公式（7-1），若事先選定一組求積節(jié)點(diǎn)xk

(k=0,1,…,n,)，xk可以選為等距點(diǎn)，也可以選為非等距點(diǎn)，則可令公式對(duì)f(x)=1,x,…,xn

精確成立，即得：

這是關(guān)于A0、A1、…、An的線性方程組，系數(shù)行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一組解。求解該方程組即可確定求積系數(shù)Ak，所得到的求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度。第十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例2確定求

積公式

使其具有盡可能高的代數(shù)精度。解求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)，可假定近似式（7-3）的代數(shù)精度為m=2，則當(dāng)f(x)=1，x，x2時(shí)，式（7-3）應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：代回去可得：

第十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日公式（7-4）不僅對(duì)特殊的次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式f(x)=1,x,x2,

x3準(zhǔn)確成立，而且對(duì)任意次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式，a0+a1x+a2x2+a2x3（f(x)=1,x,x2,x3的線性組合）也準(zhǔn)確成立，事實(shí)上，令R(f)表式（7-4）的截?cái)嗾`差：檢查（7-4）對(duì)m=3是否成立，為此，令f(x)=x3代入（7-4），此時(shí)左邊。再檢查（7-4）對(duì)m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-），此時(shí):因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為m=3.第十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日由于對(duì)任意的常數(shù),和函數(shù)f(x)，g(x)成立:這表明，誤差對(duì)f(x)=1,x,x2,

x3準(zhǔn)確成立，則對(duì)它們的任意線性組合a0

+a1x+a2x2+a3x3也準(zhǔn)確成立，所以通常檢查一個(gè)求積公式是否具有m次代數(shù)精度，只需檢查對(duì)f(x)=1,x,…,xm

是否準(zhǔn)確成立即可。上述方法稱(chēng)為待定系數(shù)法！

第十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日待定系數(shù)法注釋注1：由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確

切的誤差估計(jì)式，只能從其所具有的代數(shù)精

度去判定求積公式的準(zhǔn)確程度。注2：因此，希望由待定系數(shù)法確定的求積

公式的代數(shù)精度越高越好，通常的方法是要

確定n+1個(gè)待定系數(shù)?？稍O(shè)求積公式具有n次

代數(shù)精度，去建立n+1個(gè)方程求解，否則的

話，只設(shè)其具有0次代數(shù)精度，建立1個(gè)方程

也可以求出n+1個(gè)待定參數(shù).

上述方法稱(chēng)為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的

代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。第十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日1.3插值型求積公式

設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)a

x0<x1<…<xn-1<xn

b，且已知f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，則可求得f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式：其中l(wèi)k(x)為插值基函數(shù)。取f(x)

Ln(x)，則有：記：則有：第十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日插值型求積公式（續(xù)）

這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱(chēng)為插值型求積公式。根據(jù)插值余項(xiàng)定理，插值型求積公式的求積余項(xiàng)為：

其中[a,b]且與x有關(guān)。在插值中，因f(x)不知道，所以無(wú)法估計(jì)插值誤差。而在這里，f(x)作為被積函數(shù)，式（7-6）卻可以用于估計(jì)積分的誤差。第十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日插值型求積公式代數(shù)精度定理關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。

具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積

公式的充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。定理2證：(充分性)設(shè)求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度，那么，由于插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)均是次數(shù)為n的多項(xiàng)式，故式（7-1）對(duì)li(x)精確成立，即:第十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日

(必要性)設(shè)求積公式（7-1）是插值型的，則對(duì)所有次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式f(x)，按（7-6）其求積余項(xiàng)Rn=0，即公式是精確成立的。由定義1知求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（證畢）

定理2說(shuō)明，當(dāng)求積公式（7-1）選定求積節(jié)點(diǎn)xk后，確定求積系數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程組（7-2）或者計(jì)算積分（7-5）。由此得到的求積公式都是插值型的，其代數(shù)精度均不小于n次。第十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日插值型求積公式舉例例3考察求積公式：具有幾次代數(shù)精度。

此例說(shuō)明三個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式不一定具有二次數(shù)精度，

其原因是此求積公式不是插值型的。第二十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日§2牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式

本節(jié)介紹求積節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)的插值型求積公式，即牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。2.1牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式

設(shè)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分，步長(zhǎng)h=(b-a)/n，求積節(jié)點(diǎn)取為xk=a+kh(k=0,1,…,n)，由此構(gòu)造插值型求積公式，則其求積系數(shù)為:第二十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)）稱(chēng)之為n階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式簡(jiǎn)記為N-C公式，稱(chēng)為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]無(wú)關(guān)，且為多項(xiàng)式積分，其值可以事先求出備用。表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。

記：第二十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日柯特斯系數(shù)

表7-19895888-92810496-454010496-92858889891/2835087513577132329892989132335777511/172807412162727227216411/84061975505075191/2885732123271/90413311/831411/62111/21nABk第二十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)1）經(jīng)計(jì)算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。當(dāng)n=1時(shí)，按公式（7-7）有：得求積公式：即為梯形公式

相應(yīng)的求積公式：稱(chēng)為辛卜生

（Simpson）

公式。第二十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式所以柯特斯公式是：當(dāng)n=4時(shí)，所得的公式稱(chēng)作柯特斯公式，它有五個(gè)節(jié)點(diǎn)，其系數(shù)：第二十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日柯特斯系數(shù)的性質(zhì)1、與積分區(qū)間無(wú)關(guān)：當(dāng)n確定后，其系數(shù)和都等于1，即：2、對(duì)稱(chēng)性：此特性由表7-1很容易看出，現(xiàn)就一般情況證明之。第二十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日

3、柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的。

從表7-1可以看出當(dāng)n=8時(shí)，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，在實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)，從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實(shí)際計(jì)算中不用高階的牛頓一柯特斯公式。

2n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。

一般地，由n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公式至少具有n次代數(shù)精度，更進(jìn)一步有以下結(jié)論：定理3（證明見(jiàn)下屏）第二十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日N為偶時(shí)的?！鹿降拇鷶?shù)精度證明上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故積分值為0，即：所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。第二十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日N-C公式應(yīng)用舉例例4驗(yàn)證辛卜生（Simpson）公式:具有三次代數(shù)精度。解：由定理2,辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度,因此只需檢查對(duì)f(x)=x3成立否。當(dāng)f(x)=x3時(shí)：

所以I=S，表明辛卜生公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對(duì)于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。在幾種低階N-C公式中，感興趣的是梯形公式（最簡(jiǎn)單，最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。第二十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例5解：由梯形公式（7-9）得：

由辛卜生公式（7-10）得：由柯特斯公式（7-11）得：事實(shí)上，積分的精確值：與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差，只有兩位有效數(shù)字。分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算積分：第三十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日2.2幾種低價(jià)N-C求積公式的余項(xiàng)考察梯形公式，按余項(xiàng)公式（7-6），梯形公式（7-9）的余項(xiàng)為：這里被積函數(shù)中的因子(x－a)(x－b)在區(qū)間[a,b]上不變號(hào)（非正），故由積分中值定理，在[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使：2.對(duì)于辛卜生公式，為得到其誤差估計(jì)式，在[a,b]區(qū)間上構(gòu)造三次多項(xiàng)式H(x)，讓H(x)滿(mǎn)足插值條件（帶導(dǎo)數(shù)插值）：（緊接下屏）第三十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日辛卜生公式誤差估計(jì)式的推導(dǎo)而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對(duì)上述三次多項(xiàng)式H(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：其插值余項(xiàng)為：因此，辛卜生公式的誤差就是對(duì)上述誤差公式的積分：第三十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日3.柯特斯公式（6-10）的余項(xiàng)為：辛卜生公式誤差估計(jì)式的第三十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日2.3牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂根據(jù)定理2，牛頓一柯特斯公式（6-7）對(duì)f(x)=1精確成立，即：由此可得：下面來(lái)分析f(xk)的誤差對(duì)數(shù)值求積結(jié)果的影響。設(shè)f(xk)有誤差k，并設(shè)，則由此引起的計(jì)算誤差為：第三十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于收斂性可以證明，并非對(duì)一切連續(xù)函數(shù)f(x)，都有：，

也就是說(shuō)牛頓—柯特斯公式的收斂性沒(méi)有保證。因此，在實(shí)際計(jì)算中，一般不采用高階(n8)的牛頓—柯特斯公式。第三十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日在實(shí)驗(yàn)計(jì)算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點(diǎn)，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)n8時(shí)，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實(shí)上，增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必然會(huì)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式?！?復(fù)化求積公式第三十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日3.1復(fù)化梯形公式用分段線性插值函數(shù)近似被積函數(shù)，等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積，即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值。如圖7-2所示，這樣求得的近似值顯然比用梯形公式計(jì)算高。定積分存在定理表明，只要被積函數(shù)連續(xù)，當(dāng)小區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)，小梯形面積之和趨于曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，即定積分的準(zhǔn)確值。第三十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化梯形公式它實(shí)際上就是用定積分定義計(jì)算積分，經(jīng)等分區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上以直線近似替代曲頂（線）然后求知，略掉無(wú)限細(xì)分區(qū)間（求極限）這一步而得到的近似值。圖7-2oabXY式（7-15）稱(chēng)為復(fù)化梯形公式。第三十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差

因?yàn)閒(x)在[a,b]連續(xù)，由介值定理，存在(a,b)，使得：從而有：這就是復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差。第三十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性討論下面簡(jiǎn)單討論復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性。設(shè)

計(jì)算函數(shù)值f(xk)時(shí)產(chǎn)生誤差為k(k=0,1,…,n)，則

用式（7-15）計(jì)算結(jié)果的誤差為：因此，無(wú)論n為多大，復(fù)化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)

定的。第四十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日3.2復(fù)化Simpson公式和復(fù)化Cotes公式

如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計(jì)算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式。整理后得到：式（7-17）稱(chēng)為復(fù)化Simpson公式。

（緊接下屏）第四十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差

如果f(x)C(4)[a,b]，由式（7-13）可得復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差為：因?yàn)閒(4)(x)連續(xù)，故存在(a,b)，使得：

式（7-18）表明，步長(zhǎng)h越小，截?cái)嗾`差越小。與復(fù)化梯形公式的分析相類(lèi)似，可以證明，當(dāng)n

時(shí)，用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。第四十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化Cotes公式將區(qū)間[a,b]分成n等分，分點(diǎn)為：在每個(gè)小區(qū)間：上，共五個(gè)點(diǎn)：

用Cotes公式得到復(fù)化Cotes公式：復(fù)化Cotes公式的截?cái)嗾`差為：

第四十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)函數(shù)表

例6[解]：（1）由復(fù)化梯形公式,n=8,h=1/8：kxkf(xk)=Sinxk/xkkxkf(xk)=Sinxk/xk

001.00000050.6250.93615610.1250.99739860.750.908852

20.250.98961670.8250.877193

30.3750.976727810.841471

40.50.958851第四十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日（2）由復(fù)化Simpson公式,n=4,h=1/4：

與準(zhǔn)確值I=0.9460831…比較，顯然用復(fù)化Simpson公式計(jì)算精度較高。事實(shí)上，由誤差公式（7-16）與（7-18）有RT(f)=O(h2),RS(f)=O(h4)，故當(dāng)h比較小時(shí)，用復(fù)化Simpson公式計(jì)算誤差較小。由誤差估計(jì)公式不僅可以計(jì)算所求近似值的誤差，反之，亦可由給定的精度估計(jì)應(yīng)取多大步長(zhǎng)。第四十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)10-4/2。又因?yàn)?若用復(fù)化求積

公式計(jì)算積分:的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有

四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？

例7[解]因?yàn)楫?dāng)0≤x≤1時(shí)有0.3<e-1≤e-x≤1于是：

因此若用復(fù)化梯形公式求積分，n應(yīng)等于41才能達(dá)到精度。若用復(fù)化Simpson公式，由式（7-18）

即得n

3.2。故應(yīng)取n=4。

由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：第四十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日

例7的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度，用復(fù)化Simpson公式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式少，這也說(shuō)明了復(fù)化Simpson公式的精度較高，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化Simpson公式。

復(fù)化求積方法又稱(chēng)為定步長(zhǎng)方法，要應(yīng)用復(fù)化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計(jì)出合適的步長(zhǎng)或n，進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如同例7一樣。然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計(jì)式給出合適的步長(zhǎng)，就要估計(jì)被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點(diǎn)是相當(dāng)困難的。（緊接下屏）第四十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日要使截?cái)嗾`差不超過(guò)10-3/2，h應(yīng)取多大？如對(duì)例6，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分:第四十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日§4逐次分半算法(變步長(zhǎng)方法)

用復(fù)化求積公式（定步長(zhǎng)方法）必

須要用誤差估計(jì)式對(duì)于預(yù)先給定的精度

給出步長(zhǎng)h或n,但由于誤差估計(jì)式中要估

計(jì)高階導(dǎo)數(shù)，而這一點(diǎn)往往很困難，因

此實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用變步長(zhǎng)方法：逐

步縮小步長(zhǎng)，每次將步長(zhǎng)縮小一半，或

者說(shuō)逐次等分區(qū)間,反復(fù)利用復(fù)化求積公

式，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差不大為

止或者滿(mǎn)足給定精度為止。第四十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日4.1梯形法的遞推公式

第五十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日因此計(jì)算梯形序列{T2m}可按：

第五十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日4設(shè)將區(qū)間[a,b]n等分，共有n+1個(gè)分點(diǎn)，如果將積分區(qū)間再等分一次，則分點(diǎn)增為2n+1個(gè)，將等分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來(lái)加以考察：注意到每個(gè)子區(qū)間經(jīng)過(guò)等分只增加了一個(gè)分點(diǎn)：用復(fù)化梯形公式可求得上的積分值為注意，這里代表等分前的步長(zhǎng)。第五十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日此為復(fù)化梯形公式的遞推公式

將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得：第五十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日按上述逐次分半算法，并利用遞推公式，T2m的計(jì)算較容易，那么，上述算法何時(shí)停止？第五十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化梯形公式的停止計(jì)算控制

∵f(m-1)與f(m)是二階導(dǎo)數(shù)f(x)在[a,b]上2m-1個(gè)點(diǎn)與2m個(gè)點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)（每個(gè)小區(qū)間上取一個(gè)點(diǎn)），∴若f(x)在[a,b]的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則當(dāng)m較大時(shí)：以此作為停止計(jì)算的控制。第五十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)化simpson的停止計(jì)算控制

第五十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日4.2Simpson公式的逐次分半法

（緊接下屏）第五十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日Simpson公式的逐次分半法（續(xù)）第五十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日梯形公式的逐次分半法舉例用自動(dòng)選擇步長(zhǎng)的梯形公式計(jì)算I，要求誤差

例8第五十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例8（續(xù)）上例說(shuō)明{Tn}收斂慢，求T128要計(jì)算64個(gè)新增的函數(shù)值，而將T8與T4重新組合可構(gòu)造S8。第六十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例8說(shuō)明由T8與T4重新組合可構(gòu)造S8，這一結(jié)果并不是偶然，因?yàn)橛校旱诹豁?yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例8說(shuō)明（續(xù)1）我們將此誤差估計(jì)加到T2m上構(gòu)成新的近似值：

在復(fù)化梯形公式逐次分半算法中：而在Simpson逐次分半算法中：

(緊接下屏！)第六十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日由于為復(fù)化Cotes序列，即由Simpson序列可構(gòu)造出收斂更快的Cotes序列。例8說(shuō)明（續(xù)2）第六十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例8說(shuō)明（續(xù)3）

并且我們的具體做法都是利用控制結(jié)束的誤差式，構(gòu)成新的，收斂更快的序列，而由前面的推導(dǎo)可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性：第六十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例8說(shuō)明（續(xù)4）類(lèi)似地，也可以推導(dǎo)出：

第六十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日§5龍貝格（Romberg）求積公式

5.1外推法

從上面例，我們看到復(fù)化梯形序列{T2m}收斂較慢，而利用梯形序列這些較粗略的近似值，重新進(jìn)行線性組合得到的結(jié)果收斂更快，更準(zhǔn)確。這種利用若干精略近似值推算更精確的近似值的方法，稱(chēng)為外推法。

下面再舉例說(shuō)明：第六十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日外推法（續(xù)1）

可見(jiàn)梯形公式序列收斂差，而由T4與T8經(jīng)線性組合卻收斂很快，可見(jiàn)提高收斂速度，研究外推算法很重要。第六十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日外推法（續(xù)4）可見(jiàn)：序列{f2(h)}逼近f(0)的誤差階為O(h3)比{f1(h)}逼近f(0)的O(h2)高。上述過(guò)程我們可以一直繼續(xù)下去，這就是外推算法,可以達(dá)到加快收斂的目的。第六十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日龍貝格(Romberg)求積公式（續(xù)2）復(fù)重上述外推過(guò)程可得（直接用Richardson結(jié)果）

這就是龍貝格（Romberg）求積公式，以近似I，誤差見(jiàn)上：第六十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日外推公式實(shí)際計(jì)算時(shí)可列表計(jì)算：

kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)……0T0(0)↓1T0(1)→T1(0)2T0(2)→

↓T1(1)→T2(0)3T0(3)→T1(2)→T2(1)→T3(0)第七十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日外推公式（續(xù)）第七十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日Romberg方法舉例[解]根據(jù)例6中的函數(shù)表按式（7-9），（7-21）與（7-25）計(jì)算，得：例9用Romberg方法計(jì)算積分：的近似值，要求誤差不超過(guò)

第七十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日§6高斯型求積公式在Newton—Cotes公式中，取xi為等距節(jié)點(diǎn)，使得Ci(n)的計(jì)算容易，也使整個(gè)N─C公式簡(jiǎn)便，我們由此得到的逐次等分區(qū)間的變步長(zhǎng)方法、Romberg方法、均建立在等距節(jié)點(diǎn)基礎(chǔ)上，

是非常方便的。

但xi限定為等距節(jié)點(diǎn)，卻可能使其代數(shù)精度受到限制（且在對(duì)區(qū)間[a,b]劃分時(shí)，也可能不等分）：幾何上非常直觀：如圖7-3（緊接下屏）6.1一般理論ABBAabx1x2圖7-3第七十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)，其幾何意義是曲邊梯形aABb的面積，若以梯形公式計(jì)算I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2即以a,b為節(jié)點(diǎn)(n=1)，用直線AB近似曲線。也即以梯形aABb的面積近似替代曲邊梯形面積。ABBAabx1x2圖7-3第七十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日由于假定是等距節(jié)點(diǎn)，因此n=1只能以a,b為插值節(jié)點(diǎn)，若不限定為等距節(jié)點(diǎn)，即可選擇兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，如以x1,x2為節(jié)點(diǎn)，做直線AB近似曲線,也即以梯形面積aABb近似曲邊梯形面積，更準(zhǔn)確一些，這表明：我們可選擇合適的節(jié)點(diǎn)（不限定為等距節(jié)點(diǎn)）有可能進(jìn)一步提高求積公式的代數(shù)精度。

我們已知N—C公式是由n+1個(gè)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)小于等于

n次的插值多項(xiàng)式Ln(x)逼近f(x)，所以插值型求積公式：（緊接下屏）的代數(shù)精度不會(huì)低于n次，即對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xn準(zhǔn)確成立。（這一點(diǎn)在誤差估計(jì)式中f（

n+1）(

)=0，因此誤差為0非常清楚）亦即插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n次，即代數(shù)精度最低為n次，那么最高能達(dá)到多少次代數(shù)精度呢？第七十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日若只取n個(gè)點(diǎn)，N-C公式為：

則最低次代數(shù)精度為n－1次，最高為多少次？若在上述公式中，限定xi為等距節(jié)點(diǎn)，則只有Ai可選擇，為確定Ai(i=1,2,…,n)，按待定系數(shù)法，可設(shè)上述公式對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xn-1成立構(gòu)成n個(gè)方程的線性方程式求解出A1,A2,…,An。

的代數(shù)精度不會(huì)超過(guò)2n－1次。

假如xi也可選擇，則在上述公式中，有xi,Ai(i=1,2,…,n)共2n個(gè)參數(shù)待定，按待定系數(shù)法可設(shè)上述公式對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xn-1,xn,xn+1,…,x2n-1成立構(gòu)成2n個(gè)方程的非線性方程組可確定x1,x2,…,xn及A1,A2,…,An。這表明插值型求積公式：第七十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日證（反證法）：假定最高代數(shù)精度m＞2n-1。則對(duì)f(x)為2n次多項(xiàng)式時(shí)，上述求積公式準(zhǔn)確成立：

與上式結(jié)果相矛盾，所以最高次代數(shù)精度m≤2n－1。

上述推導(dǎo)和證明表明：可適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)和系數(shù)，使求積公式代數(shù)精度達(dá)到最高次。下面可證明上述插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過(guò)2n－1次。第七十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日一般理論舉例例10

試確定x1,x2,A1,A2使其具有3次代數(shù)精度。解：設(shè)對(duì)f(x)=1,x,x2,x3準(zhǔn)確成立，可得：

寫(xiě)作矩陣為：第七十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日一般理論舉例（續(xù)1）緊接下屏：第七十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日一般理論舉例（續(xù)2）第八十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日一般理論舉例（續(xù)3）

這里n=2,兩個(gè)點(diǎn)代數(shù)精度能夠達(dá)到3次,即2n－1=3,為Gauss型求積公式，其幾何意義，如圖7-4：以梯形OAB1，近似曲邊梯形OAB1，稱(chēng)x1,x2為Gauss點(diǎn)。ABBAox1x2圖7-41第八十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日帶權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式如果一組節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xu,[a,b]，能使求積公式：定義7.2具有2n－1次代數(shù)精度，則稱(chēng)這組點(diǎn){xk}為Gauss點(diǎn)，此公式稱(chēng)為帶權(quán)函數(shù)(x)的Gauss型求積公式。

顯然，我們可按上述例題方法，求解非線性方程組，確定出Ak,xk這2n個(gè)參數(shù)(k=1,2,…,n)（設(shè)對(duì)f(x)=1,x,…x2n-1成立），可使求積公式達(dá)到最高代數(shù)精度2n－1次，即求積公式為Gauss型,但，我們看到：一般求解非線性方程組很困難，所以通常還需尋求別的方法。一般方法是利用正交多項(xiàng)式求出Gauss點(diǎn)與相應(yīng)的求積系數(shù)，即選取正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)為Gauss點(diǎn)。下例說(shuō)明Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系：第八十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例11解：可以同前面例10一樣求解下面采用另外方法（為后面的推導(dǎo)作準(zhǔn)備).因?yàn)?三次代數(shù)精度對(duì)任意三次多項(xiàng)式應(yīng)準(zhǔn)確成立,所以設(shè)f(x)為任意三次多項(xiàng)式，可利用多項(xiàng)式除法，將f(x)表示為：用(x－x1)(x－x2)除f(x)、商為g(x)，余式為為r(x)，其中g(shù)(x)與r(x)不超過(guò)一次。則先商為4x:

x2+14x3+2x2+3x+1-4x3+4x

x2+12x2-4x+3x=2x2-x再商為2:

-2x2+2

-x-2+1=-x-1如f(x)=4x3+2x2+3x+1，以x2+1去除f(x)第八十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日

f(x)：三次，除數(shù)：二次，商g(x)與余式r(x)為一次這樣：由于求積公式：有兩個(gè)點(diǎn)，至少有一次代數(shù)精度，即對(duì)任意的一次多項(xiàng)式應(yīng)準(zhǔn)確成立。特別，對(duì)r(x)=b0+b1x也成立，即對(duì)f(x)=r(x)成立。第八十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例11（續(xù)2）上式對(duì)任意的a0，a1均成立（即對(duì)任意的g(x)成立），對(duì)特殊的g(x)也成立。因此可取g(x)=1，x，即?。旱诎耸屙?yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日例11（續(xù)3）第八十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日求解例11方法小結(jié)上述過(guò)程總結(jié)一下：

1.對(duì)任意的三次多項(xiàng)式f(x)，首先用多項(xiàng)式除法，將f(x)表為：

g(x)與r(x)為商和余，均為一次多項(xiàng)式；2.利用r(x1

)=f(x1

),r(x2

)=f(x2

)，且求積公式有三次代數(shù)精度對(duì)r(x)準(zhǔn)確成立，推導(dǎo)出x1,x2應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式：

4.然后在求積公式中取f(x)為特殊多項(xiàng)式，連同上述已求出的Gauss點(diǎn)一起代入求積公式，求出系數(shù)A1,A2。3.令g(x)為特殊多項(xiàng)式代入上式，可得方程組，求出

Gauss點(diǎn)x1,x2；這是求解此問(wèn)題的另一種方法（相對(duì)前面介紹過(guò)的方法），同時(shí)指明Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系（因?yàn)椋?-30）即為正交條件）。第八十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日求Gauss點(diǎn)的一般方法推廣到一般方法有：（求Gauss點(diǎn)）對(duì)于一個(gè)2n－1次多項(xiàng)式f（x）

=P2n－1(x)，用n次多項(xiàng)式

n(x)=(xx1)…(xxn)去除，設(shè)商為g(x)，余為r(x)則：f(x)=P2n－1(x)=g(x)

n(x)+r(x)同上面做法一樣：由求積公式對(duì)r(x)準(zhǔn)確成立：

此式對(duì)任意g(x)≤n－1次多項(xiàng)式成立，取g(x)=1,x,…,xn-1，代入可得n個(gè)方程可求解n個(gè)Gauss點(diǎn)。

由前面所知（7-31）式即為正交條件（g(x)與

n(x)帶權(quán)(x)正交）。第八十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日Gauss點(diǎn)的充要條件定理7.4由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，n次正交多項(xiàng)式gn(x)在間(a,b)內(nèi)有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)xk(k=1,…,n),所以有：其中an不為零，是gn(x)的最高項(xiàng)（首項(xiàng)）系數(shù)。又因?yàn)椋阂彩荹a,b]上的n次正交多項(xiàng)式，第八十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日推論：在[a,b]上n次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)即為Gauss點(diǎn)。因此我們要求式（7-31）的Gauss點(diǎn)，就轉(zhuǎn)化為求在[a,b]上帶權(quán)(x)正交的n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)實(shí)根xk(k=1,2,…,n)。由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)知：在區(qū)間[a,b]上與任意次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式p(x)均正交，按定理7.4，ωn(x)的零點(diǎn)，亦即gn(x)的零點(diǎn)xk(k=1,2,…,n)即為Gauss點(diǎn)，于是有如下推論：第九十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日顯然pk(x)為n－1次多項(xiàng)式：

并且還可求出系數(shù)Ak:可?。旱诰攀豁?yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日定理7.4證明必要性“”證：是Gauss點(diǎn)必有正交性（n次多項(xiàng)式

n(x)與≤n－1次p(x)正交）。設(shè)x1,x2,…,xn為Gauss點(diǎn)，那么有求積公式：具有2n－1次代數(shù)精度，設(shè)p(x)

n1多項(xiàng)式，

因?yàn)?/p>

n(x)為n次多項(xiàng)式，所以p(x)

n(x)為小于等于2n－1的多項(xiàng)式。因此上述求積公式對(duì)f(x)=p(x)

n(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即：此即

n(x)與p(x)帶權(quán)(x)正交。

第九十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，2022年，8月28日定理7.4證明（充分性）充分性“”(正交可推出xk為Gauss點(diǎn))證：設(shè)f(x)為任意的2n－1次多項(xiàng)式，以

n(x)去除f(x)將f(x)表為：f(x)=g(x)

n(x)+r(x