球和各種幾何體切、接問題專題(一)

球與各種幾何體切、接問題近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1：若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.一、球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1、球與正方體（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時(shí)有2ra.（2）正方體的棱切球，如圖2.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r2a.（3）正方體的外接球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的八個頂點(diǎn)在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r3a.例1棱長為1的正方體ABCDABCD的8個頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱1111AA，DD的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為（）112A．222C．12D．1B．思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球.平面AADD截面所得圓面的半徑112,得知直線EF被球O截得的線段就是球的截面圓的直徑.2ADR122、球與長方體例2自半徑為R的球面上一點(diǎn)M，引球的條三兩兩垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．結(jié)論：長方體的外接球直徑是長方體的對角線．例3（全國卷I高考題）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（）.16B.20C.24D.32A.思路分析：正四棱柱也是長方體.由長方體的體積16與高4可以求出長方體的底面邊長為2，可得長方體的長、寬、高分別為2，2，4，長方體內(nèi)接于球，它的體對角線正好為球的直徑.3、球與正棱柱（1）結(jié)論1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)．（2）結(jié)論2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)．二、球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1、正四面體與球的切接問題（1）正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；64Rha；半徑為，這時(shí)有3a設(shè)正四面體的棱長為，高為hR數(shù)據(jù)關(guān)系：；球的例4正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球的半徑為______．【解析】如圖正四面體A－BCD的中心為O，即內(nèi)切球球心，內(nèi)切球半徑R即為O到正616a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝h＝412四面體各面的距離．∵AB＝a,∴正四面體的高h(yuǎn)＝a.3（2）正四面體的外接球，位置關(guān)系：正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；a設(shè)正四面體的棱長為，高為4R3h6a；（可R半徑為，這時(shí)有數(shù)據(jù)關(guān)系：h；球的用正四面體高h(yuǎn)）到例5求棱長為1的正四面體外接球的半徑。設(shè)SO1是正四面體S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，設(shè)外接球半徑為R，AO1＝r，則在△ABC中，用解直角三角形知識得r＝33，1323從而SO1＝SA2－AO2＝1－＝，123－R)2＋(33)2，解得R＝46.在Rt△AOO1中，由勾股定理得R2＝(ABC結(jié)論：正四面體的高線與底面的交點(diǎn)是△的中心且其高線通過球心，這是構(gòu)造直角三角形解題的依據(jù)．此題關(guān)鍵是確定外接球的球心的位置，突破這一點(diǎn)3此問題便迎刃而解，正四面體外接球的半徑是正四面體高的，內(nèi)切球的半徑是正41四面體高的.4（3）正四面體的棱切球，位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；4R3h2a,h6a.數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為a，高為h；球的半徑為R，這時(shí)有3例6例7設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比與體積之比．此題求解的第一個關(guān)鍵是方法來解決的．思路分析：搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的（4）為什么正四面體外接球和內(nèi)切球心是同一個點(diǎn)？2.其它棱錐與球的切接問題（1）球與正棱錐的組合，常見的上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球R．這有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個頂點(diǎn)在球面心到四個面的距離相等，都為球半徑樣求球的半徑可轉(zhuǎn)為化球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.（2）球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.結(jié)論1：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計(jì)算找到．結(jié)論2：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心．長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點(diǎn)處．以下是常見的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．例8正三棱錐的高為1，底面邊長為26，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高與底面邊長的關(guān)系，由等體積法，得到R23OABC23362．可得：VVOPABVOPACVOPBCVPABC例9（XX高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，由側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.點(diǎn)評：此題突出構(gòu)造法的使用，以與滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．O例10【2012年新課標(biāo)高考卷】已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且SC2；則此棱錐的體積為（）2322D.2A.B.C.663O思路分析：ABC的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點(diǎn)到面ABC的距離.由SC為球O的直徑點(diǎn)S到面ABC的距離即可得求棱錐的體積.練習(xí)：3、由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓與球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．4、內(nèi)切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。三、球與球相切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例11已知有半徑分別為相外切，則此球的半徑為.思路分析：結(jié)合圖形，分析四個球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都AB=6，CD=4.EF.在△ABF中可得BF21，在△EBF中可得F，連結(jié)r，根據(jù)OE+OF=EFEF23.設(shè)AB中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為于由對稱性第五個球的球心O在EF上，連結(jié)OA、OD.設(shè)第五個球的半徑為建立r的方程.例12把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離．思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．四、球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對2棱的一半：a.4r例13把一個球的表面與8根鐵絲都A．l0皮球放入如圖10所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）3cmB．10cmD．30cm2C．10cm思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，102,設(shè)BPA由各個棱都為20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=Rt，在BPM中，BM2PM,得PM103.在RtPAM中,由由BP2PMAM2AP2,得22AB102BP202，在RtONP中得PA102.在RtABP中得sin,,2sinONROPOPR2，OP2R.在RtOAM中,由OMAO2AM2,,從而2OP2R(1022R)2100即可得解建立方程.2五、球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球與其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．例14求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．思路分析：首先畫出球與它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．例15在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。悸贩治觯捍祟}的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖的截面圖，在圖中，觀察R與r和棱長間的關(guān)系即可．綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答