第九章 質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

第九章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日１．動力學(xué)的研究對象

動力學(xué)是研究物體運動的變化與作用在物體上的力之間的關(guān)系。

２．動力學(xué)的主要內(nèi)容（1)牛頓力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)。包括動量定理、動量矩定理、動能定理。慣性參考系：相對于參考系靜止不動或作勻速直線運動的系統(tǒng)。非慣性參考系：相對于參考系有加速度的系統(tǒng)。牛頓三定律只適用于低速、宏觀物體。相對論力學(xué)或量子力學(xué)

（2)

分析力學(xué)的一些內(nèi)容和機械振動的基本理論，如動靜法、虛位移原理、拉格朗日方程和單個、兩個自由度的振動問題。第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日３．動力學(xué)的形成和發(fā)展與社會進步的關(guān)系（1)動力學(xué)與鐘表中國古代計時方式，主要有三種：銅漏；香篆；圭表。世界上最早的機械鐘雛形：東漢張衡所造的渾象儀。計時方法的關(guān)鍵：標準等時運動。伽利略通過實驗得到了“擺的小擺動周期與擺長的平方根成正比”的結(jié)論，從理論上為鐘表的核心裝置——擺奠定了基礎(chǔ)。伽利略對自由落體和擺的研究也標志著人類對動力學(xué)研究的開始。1657年，惠更斯完成了擺鐘的設(shè)計。他還發(fā)表了一系列關(guān)于單擺與動力學(xué)的重要研究結(jié)果，如向心力和向心加速度的概念。1676年，英國學(xué)者胡克發(fā)表了胡克定律，使人們對彈簧出現(xiàn)了兩項改進；彈簧發(fā)條儲能器的改進；彈簧擺輪（或游絲）的發(fā)明?；谶@兩項改進，便于攜帶的鐘表、懷表、手表開始出現(xiàn)。現(xiàn)代鐘表由三部分組成：動力部分、傳動部分和控制部分。更精密的時標：石英晶體振動或原子振蕩→→電子表。第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日（2）動力學(xué)與現(xiàn)代工業(yè)機器和機械設(shè)計上的均衡問題、振動問題和穩(wěn)定問題，結(jié)構(gòu)物在沖擊和振動環(huán)境中的動態(tài)響應(yīng)，交通運輸工具的操縱性、穩(wěn)定性和舒適性以及動力學(xué)載荷的作用、震動等都屬于動力學(xué)問題；高速運轉(zhuǎn)機械的動力計算、高層結(jié)構(gòu)受風載及地震的影響，宇宙飛行、火箭的推進技術(shù)和運行等，更包含著許多動力學(xué)問題。第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日４．動力學(xué)的力學(xué)模型（1）質(zhì)點：指具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。（2）質(zhì)點系：指由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)。包括固體、彈性體和流體。（3）剛體：其中任意兩個質(zhì)點間距離保持不變的固體。（4）力學(xué)模型簡化的條件

由所研究問題的性質(zhì)所決定，具有相對的概念。第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第九章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容及分析思路根據(jù)動力學(xué)基本定律質(zhì)點動力學(xué)的基本方程求解質(zhì)點的動力學(xué)問題第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日§9-1動力學(xué)的基本定律

第一定律(慣性定律):不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)

慣性：不受力作用的質(zhì)點(包括受平衡力系作用的質(zhì)點)，不是處于靜止狀態(tài)，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不變。基本表達式：（9—1）

在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，上式可寫為（9—2）

式(10—2)是質(zhì)點動力學(xué)的基本方程，建立了質(zhì)點的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。第三定律(作用與反作用定律)第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日§9-2質(zhì)點的運動微分方程由質(zhì)點動力學(xué)第二定律，有

質(zhì)點受到n個力作用時，或（9—3）（9—3）’式（10—3）’是矢量形式的微分方程。

第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日1、質(zhì)點運動微分方程在直角坐標軸上的投影設(shè)矢徑在直角坐標軸上的投影分別為x，y，z，在軸上的投影分別為，則式在直角坐標軸上的投影形式為:

力（9—4）第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日2、質(zhì)點運動微分方程在自然軸上的投影點的全加速度ɑ式中和為沿軌跡切線和主法線的單位矢量，如圖所示。式(9—3)在自然軸系上的投影式為（9—5）式中和分別是作用于質(zhì)點的各力在切線、為軌跡的曲率半徑。主法線和副法線上的投影，而第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日3、質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題1)第一類基本問題：已知質(zhì)點的運動,求作用于質(zhì)點的力.2)第二類基本問題：已知作用于質(zhì)點的力,求質(zhì)點的運動.作用在質(zhì)點上的力可以是常力或變力，變力可以是時間、坐標、速度的函數(shù)或同時是上述三種變量的函數(shù)。求質(zhì)點的運動就是求式（9—4）或（9—5）的解，一次、二次積分。積分常數(shù)由質(zhì)點運動的初始條件決定?？梢?，質(zhì)點的運動規(guī)律不僅決定于作用力，也與質(zhì)點的運動初始條件有關(guān)。第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日〔補例1〕電梯如圖所示。已知電梯的加速度ａ＝常數(shù)、方向向上。電梯重量為Ｑ，放在電梯地板上的物質(zhì)重量為Ｐ，求：（1）物體對地板的壓力；（2）電梯吊繩的拉力。

分析：由題意→→動力學(xué)問題→→已知運動求作用力，故屬于質(zhì)點動力學(xué)第一類基本問題。解（1）求物體對地板的壓力選取重物為研究對象，進行受力分析和運動分析（如圖b所示）。建立直角坐標軸，列運動微分方程求解式中FN’,為物體對地板的壓力?；虻谑?，共三十八頁，2022年，8月28日（２）求吊繩的拉力。式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，稱為繩索的靜反力?！灿懻摗硥毫N,由兩部分組成：物體的重量Ｐ，靜壓力；，附加動壓力。超重。當ａ=ｇ時，F(xiàn)N,=0如果加速度方向向下，總壓力為:解得〔討論〕把繩索動反力的值Td和靜反力的值Ｔ的比值稱為動荷系數(shù)，用Ｋd表示：取電梯和重物整體為研究對象，受力如圖a所示。選坐標軸x，由式（9—4）得投影形式的質(zhì)點運動微分方程第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日〔補例2〕如圖所示橋式起重機上，小車吊著質(zhì)量為ｍ的重物，沿橫向作勻速運動，速度為Ｖ。，吊繩長為１。由于突然原因急剎車，重物因慣性繞懸掛點Ｏ向前擺動。試求剎車后繩索的最大張力及剎車前后瞬間繩索張力的比。分析：由題意→→動力學(xué)問題→→質(zhì)點動力學(xué)第一類基本問題，先分析重物位于一般位置時。解取重物為研究對象，受力如圖所示。取自然軸如圖示，由式（9—5）得重物的運動微分方程投影式為（1）（2）式中ｖ與φ均為變量。第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日

〔討論〕起重機的小車急剎車時，繩索張力發(fā)生急劇變化。由式（２）得:由式（1）知：，而ｖ＞０，故重物作減速運動。因此，在初始位置（剛剎車，φ＝０）時，重物的速度最大，，此時，繩索的張力Ｔ’獲得最大值，即剎車前，重物作勻速直線運動。由平衡條件知Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此剎車前后瞬間動荷系數(shù)第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日分析：由題意→→動力學(xué)問題→→質(zhì)點動力學(xué)第一類基本問題。運動方程是,〔補例3〕質(zhì)點M的質(zhì)量為,其中求作用在此質(zhì)點上的力。為常量，解：該質(zhì)點的加速度在坐標軸上的投影分別為

第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日代入式(9—4)，得作用在此質(zhì)點上的力在軸上的投影為

從運動方程中消去時間，得此質(zhì)點的軌跡方程合力可以表示為第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日

例9-1曲柄連桿機構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動,OA=r,AB=l,當比較小時,以O(shè)為坐標原點,滑塊B的運動方程可近似寫為

如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量,試求當,連桿AB所受的力.第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日解:研究滑塊其中已知:則求:第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日有得這屬于動力學(xué)第一類問題。當?shù)玫诙豁?，共三十八頁?022年，8月28日

例9-2質(zhì)量為m的質(zhì)點帶有電荷e,以速度v0進入強度按E=Acoskt變化的均勻電場中,初速度方向與電場強度垂直,如圖所示。質(zhì)點在電場中受力

作用。已知常數(shù)A,k,忽略質(zhì)點的重力,試求質(zhì)點的運動軌跡。第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日分析：1）由題意→→動力學(xué)問題→→質(zhì)點動力學(xué)第二類基本問題。2）求質(zhì)點的運動軌跡→→質(zhì)點運動方程。解:取質(zhì)點為研究對象，受力如圖10-3所示。質(zhì)點運動微分方程在軸和軸上的投影式

(a)按題意以此為下限,式(a)的定積分為(b)第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日得質(zhì)點運動方程軌跡方程(c)[討論]如果，則運動方程式(c)為，

式不變，這是一個直線運動。第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日[補例4]在均勻的靜止液體中，質(zhì)量為

的物體M從液面處無初速下沉，如圖a所示。假設(shè)液體阻力，其中為阻尼系數(shù)。

試分析該物體的運動規(guī)律及其特征。分析：由題意→→動力學(xué)問題→→質(zhì)點動力學(xué)第二類基本問題。第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日解：將坐標系的原點固結(jié)在該點的起始位置上，軸鉛垂向下。該質(zhì)點的受力圖如圖b。

運動微分方程為或式中.起始條件：時，

，式(a)的定積分為

解得第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日再分離變量，運動起始條件為時，，則有積分得這就是該物體下沉的運動規(guī)律。時，該物體下沉速度將趨近一極限值由式(b)知，當時，稱為物體在液體中自由下沉的極限速度。應(yīng)用：采礦工程中的選礦、農(nóng)業(yè)中的選種。第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日[討論]另選坐標系，其原點O在液體底部，軸鉛垂向上。

軸的正向畫出，則該物體的受力圖如圖c所示。設(shè)仍按為運動微分方程或運動起始條件為時，。通過兩次分離變量和積分，可得

第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日(說明)在選擇參考系、建立質(zhì)點的運動微分方程時，宜盡可能將質(zhì)點置于參考坐標系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿著坐標軸的正向；倘若質(zhì)點的真實速度、加速度的分量是沿著坐標軸的負向，也應(yīng)沿正向來假設(shè)，并畫出其受力圖，建立它的運動微分方程。3)第一、二類基本問題的綜合問題：有的工程問題既需要求質(zhì)點的運動規(guī)律，又需要求未知的約束力，是第一類基本問題與第二類基本問題綜合在一起的動力學(xué)問題，稱為混合問題。第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日

例9-3一圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上,繩的另一端系在固定點O,并與鉛直線成角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力。第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日繩的張力與拉力F的大小相等。解得其中分析：由題意→→動力學(xué)問題→→質(zhì)點動力學(xué)第一、二類基本問題的綜合問題。第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日

例9-4粉碎機滾筒半徑為Ｒ，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日解：視鐵球為質(zhì)點.受力如圖b.分析：由題意（滾筒轉(zhuǎn)動；求使鐵球在處筒壁的法向約束力＝0的滾筒轉(zhuǎn)速）→→動力學(xué)點動力學(xué)第一問題→→質(zhì)、二類基本問題的綜合問題。列出質(zhì)點運動微分方程在主法線上的投影式于是解得第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日５）求出末知的力或運動。對第二類問題要應(yīng)用運動初始條件確定積分常數(shù)。

〔總結(jié)〕求解質(zhì)點動力學(xué)問題的主要步驟：1）選取某質(zhì)點為研究對象；２）分析作用在質(zhì)點上的力；３）分析質(zhì)點的運動情況。４）選擇恰當?shù)耐队拜S，寫出在該軸上的運動微分方程的投影式；第三十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日求解質(zhì)點動力學(xué)問題，還應(yīng)注意以下幾點：1）物體的受力分析。２）物體的運動分析。確定質(zhì)點的運動軌跡是否已知、是直線還是曲線；分析質(zhì)點運動要素是否已知，所用的坐標形式。有些情況下雖未直接給出運動，但經(jīng)過運動學(xué)的分析可得出結(jié)果也算是已知的第三十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日建立運動微分方程a）在什么位置建立點的運動微分方程，要根據(jù)題意確定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度則在特殊位