2023屆安徽省淮北實驗高考沖刺模擬數學試題含解析

2023年高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

?2020,o?

1.若2=^^——,則Z的虛部是（）

1+Z

A.iB.2zC.-1D.1

2.已知函數/（力=§皿的+9）（0>0,網<19的最小正周期為乃,/（￡）的圖歲a向左平移弓個單位長度后關于）'軸對

TT

稱，則/Xx-?。┑膯握{遞增區(qū)間為（）

6

TT5TTTTTT

A.一+攵乃,——+Z乃keZB.---+kr,—+krkeZ

L36JL36J

71.5%冗i冗，i）

C.----卜k兀,--FK7TZEZD.----卜k7T、FK71kJZ

_1212J[63.

3.已知色一=a+2i（aeR）,i為虛數單位，則。=（）

l-2i

A.y/3B.3C.1D.5

4.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長

為（）.

匹&m左?UB

Z

A.y/2B.GC.1D.V6

2

5.若復數z=——，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（）

1+1

;

A.z的虛部為-B.|z|=2C.z的共軌復數為—ITD.z為純虛數

6.近年來，隨著4G網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的“勿相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為

了調查在校大學生使用WP的主要用途，隨機抽取了56290名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統計如

圖所示，現有如下說法：

①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數；

②可以估計不足10%的大學生使用主要玩游戲；

③可以估計使用app主要找人聊天的大學生超過總數的

4

其中正確的個數為（）

16>411~戢人狎天

I44AO-IT?ILK,新聞.資訊

「XI"）"1玩游戊

「c力。—I價押糧、圖片

「4岫）"I聽行樂

I"如“1找附近的人

|）加0-1找共同興趣的人

A.0B.1C.2D.3

7./+62=1是asine+bcosGW1恒成立的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知向量〃滿足|a|=l,|5|=百,且￡與5的夾角為［，則（〃+分（2。一很）=（）

A.72B.2C.6D.3

11.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有一點3,4）,貝！|sin2a=（）.

122416

A.B.

2525T

12.已知函數/（x）=lnr—，+a在xe［l,e］上有兩個零點，則a的取值范圍是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數y=>/3sinxcosx+cos2x在區(qū)間(。,萬)上的值域為.

14.已知集合人="€區(qū)|1—2犬<5},B={-2,-1,1,2},則A08=.

15.已知一組數據一1,1,0,-2,x的方差為10,則》=

16.設函數/(x)(xeR)滿足/(-1)=/0),/。)=/(2-》),且當》6[0,1]時/(x)=/,又函數g(x)=|xcos(%x)|,

則函數〃(幻=8(%)-/(幻在號,力上的零點個數為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知直線/的參數方程為《，(0Wa<〃，，為參數)，曲線C的極坐標方程為夕=—二.

y=1+rsinasin'0

(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；

(2)若直線I經過點(1,0),求直線/被曲線C截得的線段的長.

18.(12分)已知{4}是公比為4的無窮等比數列，其前〃項和為S“，滿足%=12,,是否存在正整數3

使得鼠>2020?若存在，求攵的最小值；若不存在，說明理由.

從①4=2,②q=g,③。=-2這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

19.(12分)已知函數/(x)=〃?ln(l+x)-x,g(x)=/nx-sinx.

(1)若函數/(x)在(0,+8)上單調遞減，且函數g(x)在澧上單調遞增，求實數的值;

秒2

(2)求證：(l+sinl)|l+sin-^—||1+sin—1+sin-~—<e2(〃eN*,且〃N2).

V1x2八2x3JI

20.(12分)已知函數/(x)=x----Inx.

⑴若/(x)=x-g-lnx在x=x(，w(玉處導數相等，證明：/a)+/(w)>3-21n2；

(2)若對于任意左W(F,1),直線y="+A與曲線y=/(x)都有唯一公共點，求實數力的取值范圍.

[&優(yōu)

x=3----1

2

21.(12分)在平面直角坐標系中，直線/的參數方程為《廣?為參數).在以原點。為極點，x軸

正半軸為極軸的極坐標系中，圓。的方程為夕=2逐sin。.

(1)寫出直線/的普通方程和圓C的直角坐標方程：

⑵若點P坐標為(3,右)，圓C與直線/交于A,3兩點，求IPAI+IMI的值.

22.(10分)已知函數/(x)=e'-"—ln(x+a)(a>0).

(1)證明：函數/‘(X)在(0,+8)上存在唯一的零點：

(2)若函數f(x)在區(qū)間(0,+?))上的最小值為1,求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

通過復數的乘除運算法則化簡求解復數為：a+瓦的形式，即可得到復數的虛部.

【詳解】

產0+3i_l+3i_(l+3i)(l-i)_1+2'3/

由題可知2=-2+i,

1+z1+z(l+z)(l-z)1-z2

所以z的虛部是1.

故選：D.

【點睛】

本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的基本概念，屬于基礎題.

2.D

【解析】

先由函數/(x)=sin(5+0)的周期和圖象的平移后的函數的圖象性質得出函數/(x)=sin(ox+0)的解析式，從而

jrTT

得出/(X-7)的解析式，再根據正弦函數/(x)=sinx的單調遞增區(qū)間得出函數/。-二)的單調遞增區(qū)間，可得選

66

項.

【詳解】

因為函數/10)=5皿⑻+°)(3>0,冏<$的最小正周期是萬，所以兀=&,即0=2,所以/(x)=sin(2x+。)，

/(x)=sin(2x+°)的圖象向左平移弓個單位長度后得到的函數解析式為

\

y=sin2(x+-sinf2x+y1,

LI6；7

由于其圖象關于軸對稱，所以f+0=g+2版■，左eZ,又冏所以9=2，所以/(x)=sin(2x+?J,

3226

7171sin(2x—A

所以/(左一看)=5可2(x+一

6I6J

7TTT

因為/(x)=SinX的遞增區(qū)間是：-3、2k兀,2k兀+3,keZ,

兀冗冗冗冗

由----卜2k,7iW2x---W2&乃H—,kwZ,得：-----FkjixH—,keZ,

26263

所以函數/(x-工n)的單調遞增區(qū)間為-g+上萬,g+上萬(ZeZ).

6o3

故選：D.

【點睛】

本題主要考查正弦型函數的周期性，對稱性，單調性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數，屬于

中檔題.

3.C

【解析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案.

【詳解】

由一--=a+2i,得l+2i=a+2i,解得。=1.

l-2i

故選:C.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘法運算，是基礎題.

4.B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長.

【詳解】

解：根據三視圖還原幾何體如圖所示,

所以，該四棱錐體的最長的棱長為/=F=，.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

5.D

【解析】

將復數-整理為1-，?的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.

【詳解】

22(l-z),.

7=-----=---------------=1—7

1+i(l+z)(l-z)

Z的虛部為一1,A錯誤；|z|=jm=0,8錯誤；z^l+i,C錯誤；

22

Z=(1-Z)=-2/,為純虛數，。正確

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復數的模長、實部與虛部、共匏復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.

6.C

【解析】

根據利用。加主要聽音樂的人數和使用〃印主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用

“卬主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用。川主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結論.

【詳解】

使用即P主要聽音樂的人數為538(),使用即P主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數為4450,所以①正確；

Q130

使用。川主要玩游戲的人數為8130,而調查的總人數為56290,-------?0.14,故超過10%的大學生使用?！āㄖ?/p>

56290

要玩游戲，所以②錯誤：

使用a〃〃主要找人聊天的大學生人數為1654(),因為|||黑〉；，所以③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查統計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.

7.A

【解析】

a=cosa,.

設｛=>asind+hcosO=sin0coscif+cos^sina=sin(^+cr)<1成立；反之，a=Z;=0滿足

b=sina

Qsin6+Z?cose<l,但。故選A.

8.A

【解析】

根據向量的運算法則展開后利用數量積的性質即可.

【詳解】

(a+b)-(2a-b)=2a-b+〃4=2-3+lxGx^^=g?

故選：A.

【點睛】

本題主要考查數量積的運算，屬于基礎題.

9.B

【解析】

根據函數為偶函數排除AC,再計算/(；)=；In3>0排除。得到答案.

【詳解】

1V

/(x)=xlnL定義域為：(-1,1)

1-x

/(—x)=—xlnF=xln，^=/(x),函數為偶函數，排除AC

1+x\—x

/(1)=1ln3>0,排除O

故選B

【點睛】

本題考查了函數圖像，通過函數的單調性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.

10.A

【解析】

直接將三=，,兩邊同時乘以求出復數二，再求其模即可.

1—1

【詳解】

解：將三=，兩邊同時乘以1得

1-z

z=z(l—z)=l+?

|z|=V2

故選：A

【點睛】

考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.

11.B

【解析】

根據角終邊上的點坐標，求得sina,cose,代入二倍角公式即可求得sin2e的值.

【詳解】

43

因為終邊上有一點P(-3,4),所以sina=w，cosa=1g,

sin2a=2sinacosa=2x-x——=---

5I5j25

故選：B

【點睛】

此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.

12.C

【解析】

對函數求導，對a分類討論，分別求得函數/(X)的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.

【詳解】

當時，/'(x)NO,在［l,e］上單調遞增，不合題意.

當aW—e時,/'(x)VO,/(x)在［l,e］上單調遞減，也不合題意.

當一e<a<-l時,則時,r(x)<0,/(x)在［1,—。)上單調遞減，x?-a,e］時,/'(x)>0,在

(一a,e］上單調遞增，又〃1)=0,所以〃x)在xe［l,e］上有兩個零點，只需“。=1一0+心0即可，解得

----<a<-\.

l-e

綜上，a的取值范圍是丁上，-11.

Ll-e)

故選C.

【點睛】

本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

由二倍角公式降塞，再由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質可求得值域.

【詳解】

r~.,G.c1+COS2x百.日1日1.(萬)1/八乃、

y=v3sinxcosx+cos*-x---sm2xd---------=——sin2x-\■—cos2x+--sm2x+—+—e0,—

-22222<6j2I2；

c71(717萬、.f.乃、(1,

2x+—G>則sm|2x+二?一不1，

6\66JV6JV2_

.消1葭3'

I6j2(2］

3

故答案為：(0,1］.

【點睛】

本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式)，考查正弦函數的的單調性和最值.求解三角函數的性質的

性質一般都需要用三角恒等變換化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數的性質得出結論.

14.{-1,1,2)

【解析】

由于A={xeR|l-2x<5}={xeR|x>-2},ff={-2,-1,1,2),則408={-1,1,2}.

15.7或一8

【解析】

依據方差公式列出方程，解出即可.

【詳解】

r—2

-1,1,0,-2,X的平均數為三一，

叱iff,x-2丫x-2丫<x-2?(cx-2Y(x-2?-in

解得x=7或x=-8.

【點睛】

本題主要考查方差公式的應用.

16.1

【解析】

113

判斷函數為偶函數，周期為2,判斷g(x)為偶函數，計算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(-)=g(--)=g(-)=0,

畫出函數圖像，根據圖像到答案.

【詳解】

/(—x)=/(x)知，函數f(x)為偶函數，f(x)=f(2-x),函數關于x=l對稱。

f(x)=f(2-x)=f(x-2),故函數/(x)為周期為2的周期函數，且/(0)=0,/⑴=1。

g(x)=|xcos(萬x)|為偶函數，g(0)=gg)=g(-g)=g(|)=0,g⑴=1，

當xe0,；時，g(x)=xcos(4x),g'(x)=cos(〃x)-;rxsin(；TX),函數先增后減。

當時，g(x)=rc°s(G),g'(x)="sin(G)—cosOx),函數先增后減。

在同一坐標系下作出兩函數在［-g,|］上的圖像，發(fā)現在［-g,：內圖像共有1個公共點,

13

則函數人>)在上的零點個數為1.

故答案為：6.

本題考查了函數零點問題，確定函數的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數圖像是解題的關鍵.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)曲線。表示的是焦點為(LO),準線為％=-1的拋物線;(2)8.

【解析】

4cos2

試題分析：(1)將曲線。的極坐標方程為0=—兩邊同時乘以「，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其

sinP

直角坐標方程；(2)由直線/經過點(1,0),可得tana的值，再將直線/的參數方程代入曲線C的標準方程，由直線參

數方程的幾何意義可得直線/被曲線C截得的線段C的長.

試題解析：(1)由/?=—^可得02sin2e=4"cos。，即丁=以，

sirr。

曲線C表示的是焦點為(1,0),準線為》=一1的拋物線.

x=tcosa1=tcosa

(2)將(1,0)代入一得:.tana=-l,

y=i+tsina0=1+tsina'

V2

x=------1

342

,:0<a<7ua=——,，直線/的參數方程為(，為參數).

94憶

y=1H---1

,2

將直線/的參數方程代入/=4x得產+6萬+2=0,

由直線參數方程的幾何意義可知，

[A8]=卜]—J|=+6J—=472-8=8.

18.見解析

【解析】

選擇①或②或③，求出％的值，然后利用等比數列的求和公式可得出關于A的不等式，判斷不等式是否存在符合條件

的正整數解我,在有解的情況下，解出不等式，進而可得出結論.

【詳解】

選擇①：因為%=12，所以。尸§=3,所以=3(1-2")

=3(2"-1)-

1-2

2023.92023

令黑>2020,即2">-----,-/2<-----<，°,所以使得Sk>2020的正整數k的最小值為1()；

33

選擇②：因為。3=12,所以4=烏=48,

1——.

qr)

因為S?<96<2020,所以不存在滿足條件的正整數k；

3x1-(-2)°

選擇③：因為q=12,所以％=與=3,所以$

1-(-2)”.

q"1一(一2)

令Sk>2020,BP1-(-2/>2020,整理得(一2)/<-2019.

當A為偶數時，原不等式無解;

當攵為奇數時，原不等式等價于2*>2019,

所以使得鼠>2020的正整數k的最小值為11.

【點睛】

本題考查了等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

19.(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)分別求得/(力與g(x)的導函數，由導函數與單調性關系即可求得”的值;

(2)由⑴可知當x>0時，ln(l+x)<x,當0cxq時，sinx<x,因而

sinl,sin-^—,sin—sin涓而>0,(〃cNS2),構造

1x22x3

/

1.1)］、

In(1+sinl)I+sin1+sin--.-.-.1+sin,由對數運算及不等式放縮可證明

1^22x3j〃一l)x

In(l+sinl)fl+sinl+sin-^-1____

...l+sin=2--<2,從而不等式可證明.

2x3〃一l)x〃.n

【詳解】

(1)???函數/(x)在(O，+8)上單調遞減，

=即mWl+x在(O,+8)上恒成立,

:.m￡1,

又???函數g(x)在上單調遞增，

:.(x)=m—cosx>0即加之COSX在上恒成立,m>1,

,綜上可知，m=l.

(2)證明：由(1)知，當機=1時，函數〃％)=ln(l+x)-%在(0,+8)上為減函數,

g(x)=x-sinx在靜，g上為增函數，而/⑼=(),g(0)=0,

二當x>0時，ln(l+x)<x,當0<x<^■時，sinxcx.

?sinl?sin」一，sin——，…，sin----\--->0,(〃eN",〃》2

1x22x3(〃-l)x〃'

AIn(l+sinl)(l+sin1.I)1

l+sin----...l+sin

2x3；

/

/1+In(l+sin」-1____

ln(l+sinl)+lnl+sin...+lnl+sin

1x2I2x3〃-l)x〃.

<sinl+sin+sin—^―+...+sin]

1x22x3(n-l)xn

<l+，+，+...+^v=l+」+!」+???+

1x22x3(H-I)XH(2)(23

n

gpIn(l+sinl)ll+sin---IIl+sin-―-l+sin------——<2,

(77-l)X7?I

/.(l+sinl)f1+sin1

1+sin--1+sin-----------〈/《neN*,n>T\.

2x3(7?-1)X7?J'>

【點睛】

本題考查了導數與函數單調性關系，放縮法在證明不等式中的應用，屬于難題.

20.(I)見解析(II)Z?>-ln2

【解析】

(1)由題X>0,/，(X)=l+4-->由f(X)在X=X|,X2(X#X2)處導數相等，得到/'(石)=/'(9)=機，得

XX

--o

--O

11,

由韋達定理得一+—=1由基本不等式得玉+/=%?%>2^E,得西?々>4,由題意得

%々

/(%)+/(%)一足(石々)一1,令，=玉?/>4,則XW—ln(X|X2)-l=7-lnf-l,令

g(r)=r-lnr-l?>4),,利用導數性質能證明g(r)>g(4)=3—21n2.

1,1,

?Ir(\i?xp,x------lux—b人x------Irtv—b

<2)由/(%)=履+?得x,令/心.)二二,

XX

利用反證法可證明證明〃(x)<1恒成立.

由對任意丘(…[)，Mx)=左只有一個解，得Mx)為(0,田)上的遞增函數，.磯力=工1上”20得

2?

b>------lnx+1,令=------lnx+l(x>0),由此可求/7的取值范圍??

XX

【詳解】

⑴r(x)=i+g-J

--1----1--,!■]_〃/=(C)

令/'(%)=/"(々)=〃2,得<]:，

----------\-\-m=0

x2x2

11?

由韋達定理得一+—=1

X]x2

即X[+/=西?犬2>2y]x]x2,得九1?工2>4

+/(/)=(%+*2)——?(in%]+lnx))

\XlX27

=%%2-InQw)一1

令，=玉?/>4,則F9-ln(xlx2)-l=r-ln/-l,令g⑺=r-lnr-l(f〉4),

則g'(f)=l-；>0(f>4),得g?)>g(4)=3-21n2

(ID由/(*)=辰+。得〃―――1nx

K-

X

1,,

*x----\nx-b

令〃(力=7-----------,

X

則x—0+,A(x)->-oo,x->+oo,/z(x)->l

下面先證明恒成立.

若存在不€(0,小)，使得〃(%)之1,???Xf0+,〃(x)fF,且當自變量X充分大時，na廣二一<],

X

所以存在玉e(O,xo),x2?用,+00),使得〃(玉)<1,〃伍)<1,取左=max{/i(%J,//(X2)}<1,則y=Z與y=〃(x)

至少有兩個交點，矛盾.

由對任意0(F,l),/i(x)=Z只有一個解，得〃(X)為(0,”)上的遞增函數，.\")=/巴上"0

X

得----lnx+1,令〃z(x)=------lnx+l(x>0),貝!|〃z'(x)=-y——=—

XXXXX

得A2rn(x)mx=m(2)=-ln2

【點睛】

本題考查函數的單調性，導數的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力屬難題.

21.(1)/+0-、歷)2=5(2)30

【解析】

試題分析：(1)由加減消元得直線/的普通方程，由夕sin。=乂P2=/+/2得圓。的直角坐標方程；a)把直線1的

參數方程代入圓C的直角坐標方程，由直線參數方程幾何意義得|PA|+|PB|=|h|+|t2|=t1+t2,