《金融數(shù)學》（1－2）利息度量

利息的度量：

名義利率、名義貼現(xiàn)率、利息力孟生旺中國人民大學統(tǒng)計學院1精選ppt上節(jié)主要內容回顧實際利率（i）＝利息/期初本金實際貼現(xiàn)率（d）＝利息/期末累積值i與d

之間的關系（下頁）：期初本金期末累積值利息＝期末累積值－期初本金2精選ppt0111+ii1-dd1v11-v3精選ppt累積函數(shù)：貼現(xiàn)函數(shù)：4精選ppt本節(jié)主要內容：名義利率（nominalrateofinterest）名義貼現(xiàn)率（nominalrateofdiscount）利息力（forceofinterest）實際利率、實際貼現(xiàn)率、名義利率、名義貼現(xiàn)率和利息力的關系。5精選ppt實際利率：在每個度量時期末結轉一次利息（或稱為復利一次）的利率，即在每個度量時期末，將當期的利息結轉為下期的本金。名義利率：在一個度量時期內分多次結轉利息的利率。何謂名義利率？6精選ppt考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，每年末支付一次利息，每次支付12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。這兩個利率有何不同？你愿意選擇哪筆貸款？為什么？答案：第一個12％是年實際利率，第二個是年名義利率,對應的年實際利率為12.68％。7精選ppt名義利率度量的是資本在一個小區(qū)間內（如一個月，一個季度等）的實際利率。例如：假設月實際利率為1%，那么與這個月實際利率相對應的年名義利率被定義為1%×12=12%。如果一個季度的實際利率為3%，那么與這個季實際利率相對應的年名義利率被定義為3%×4=12%。8精選ppt名義利率的表述季度的實際利率為3%：年名義利率為12%，每年結轉4次利息；年名義利率為12%，每年復利4次；年名義利率為12%，每個季度結轉一次利息；年名義利率為12%，每個季度復利一次。相關術語利息結轉期：interestconversionperiod；每月結轉一次：convertiblemonthly；每季支付一次：payablequarterly；每半年復利一次：compoundsemiannually；9精選ppt年名義利率

i(m)（m≥1，為整數(shù)）表示每年結轉m次利息，即每1/m年支付一次利息，每次的實際利率為i(m)/m。例：i(4)=8％表示每個季度結轉一次利息，且每個季度的實際利率為2％。例：i(12)=6％表示每個月結轉一次利息，且每月的實際利率為0.5％。問題：三個月定期存款的年利率為1.8％，含義是什么？答案：表明i(4)＝1.8%，三個月的實際利率為1.8%÷4，存1000元滿3個月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。名義利率的定義10精選ppt名義利率與實際利率的關系：名義利率與等價的實際利率有如下關系：

或者由實際利率i也可以計算名義利率i(m)

，即11精選ppt例：貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。求等價的年實際利率是多少？解：問題：如果每周支付一次利息，等價的年實際利率會如何變化（增加還是減少）？每天支付一次呢？12精選ppt

在年名義利率一定的條件下，每年的結轉次數(shù)（復利次數(shù)）越多，年實際利率將越大。年名義利率為10%時，年實際利率隨復利次數(shù)的變化情況年復利次數(shù)年實際利率年初的1000元在年末的累積值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（每周）0.105071105.07365(每天)0.105161105.1613精選ppt問題：年名義利率i(m)一定的情況下，如果復利次數(shù)m為無窮大，年實際利率會是多少？年復利次數(shù)年實際利率年初的1000元在年末的累積值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.1714精選ppt每年的結轉次數(shù)小于1時的名義利率在n個時期支付一次利息的名義利率（即每年結轉1/n次利息）可以表示為i(1/n)

，其中n是大于1的正整數(shù)。名義利率i(1/n)

是指每n個時期支付一次利息，且每n個時期的實際利率為i(1/n)×n例：2年期定期存款的年利率為3.06%，其含義為i(1/2)=3.06%2年期的實際利率為i(1/2)×2=3.06%×2=6.12%問題：等價的1年期的實際利率為多少？15精選ppt例：假設儲蓄業(yè)務的年利率如下，如何比較這些利率？存款利率（％）活期定

期3個月6個月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.14問題：1萬元可以投資一年，請比較投資3個月的定期存款和投資一年期的定期存款，哪個合算？當3個月期的利率為多少時，兩種投資沒有差異？16精選ppt

分析：3個月的實際利率為1.80％÷4＝0.45％，1年下來的累積值為1年期存款的實際利率為2.52％,1年下來的累積值為1.0252結論：直接投資1年合算。17精選ppt如果要求投資3個月期的定期存款等價于投資1年期的定期存款，則應有由此可得18精選ppt存款利率：名義利率和實際利率的比較活期定

期3個月6個月1年2年3年5年年名義利率0.721.802.252.523.063.694.14實際年利率0.7231.8122.2632.523.0153.5623.834注：小于1年時，實際利率大于名義利率；超過一年時，實際利率小于名義利率。19精選ppt名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateofdiscount)

名義貼現(xiàn)率d

(m)

（m>1）定義：d

(m)

是指每1/m時期的實際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。由等價的定義重新整理得20精選pptExample：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名義貼現(xiàn)率為6％，每半年復利一次，第6年末的值為$1000，求其現(xiàn)值）解：這相當于按3％的年貼現(xiàn)率計算在12年末支付$1000的現(xiàn)值。21精選ppt名義利率與名義貼現(xiàn)率的關系（1）一般情況（2）m＝p（3）把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內的實際利率和實際貼現(xiàn)率，則22精選ppt例：確定每季度復利一次的名義利率，使它等價于每月復利一次的6％的名義貼現(xiàn)率。解：，23精選ppt例：已知i

(12)=5.58%。求i、d、

d(12)解：24精選ppt問題：一般性規(guī)律？25精選pptnominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.09517∞1-e-0.1=0.0951626精選ppt小結：期初的1元在期末的累積值（等價度量工具之間的關系）：i(m)：年初投資1，每年復利m次，每1/m年末獲得i(m)/m利息d(m)：年初投資1，每年復利m次，每1/m年初獲得d(m)/m利息27精選ppt思考題某人2006年1月1日在銀行存入10000元，期限為1年，年利率為3%。1月末，銀行的1年期存款利率上調了100個基點。請分析此人是否有必要對該筆存款轉存？假設活期存款利率不變，為0.72%。1年按360天計算，每月按30天計算。假設情景：2007年1月末需要使用這筆存款。注：定期存款若提前支取，按活期計息。一個基點為0.01%。利率調整幅度通常能被9整除。因為一年按360天計息。28精選ppt1年零1月后的累積值：29精選ppt回顧：年實際利率度量了資金在一年內的增長強度（年平均）。名義利率度量了資金在一個小區(qū)間內（如一個月）的增長強度（月平均）。問題：哪一個更能準確度量資金的增值速度？名義利率還是實際利率？如何度量資金在每一個時點上的增長強度？在名義利率中，如果時間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個時點上的增長強度。30精選ppt1.8利息力(forceofinterest)定義：利息力度量了資金在每一時點（也就是在無窮小的時間區(qū)間內）增長的強度。在時間區(qū)間[t,t+h]的實際利率為年名義利率為（1年包含1/h個小區(qū)間）31精選ppt

為在時刻t的利息增長強度（即利息力）。定義：設積累函數(shù)連續(xù)可導，則時刻t的利息力為問題：為什么不用a(t)直接度量利息的增長強度？32精選ppt例：

已知金額函數(shù)為求t＝1/2時的利息力。解：33精選ppt累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)的另一種表達式：

用r代替t，并將此式兩邊在0到t積分，得從而有

因為34精選ppt單利在t時刻的利息力（了解）因為所以時刻t的利息力為單利的利息力是時間的遞減函數(shù)。35精選ppt

單貼現(xiàn)的利息力是時間的遞增函數(shù)。單貼現(xiàn)在t時刻的利息力（了解）36精選ppt復利在時刻t的利息力因為所以時刻t的利息力為復利的利息力是常數(shù)！與時間無關。稱為復利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為37精選ppt問題：復貼現(xiàn)在時刻t的利息力？因為所以時刻t的利息力為復貼現(xiàn)的利息力是常數(shù)！與時間無關。問題：與復利條件下的利息力有何關系？38精選ppt對利息力的另一個解釋：在復利條件下，當m趨于無窮時的名義利率就是利息力：39精選ppt問題：當p趨于無窮時的名義貼現(xiàn)率d(p)與利息力有何關系？40精選pptd與i,d,i(m),d(m)

的關系di（證明略）41精選ppt1.9貼現(xiàn)力(forceofdiscount)用貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)代替積累函數(shù)，在t時刻的貼現(xiàn)力為

增加一個負號使得貼現(xiàn)力為正。利息力與貼現(xiàn)力相等：。因為：42精選ppt1.10利率概念辨析實際利率和名義利率：在經(jīng)濟學文獻中，所謂的實際利率是指扣除了通貨膨脹因素以后的利率；而名義利率是指沒有扣除通貨膨脹因素的利率。如果用i表示名義利率，用r表示實際利率，用

表示通貨膨脹率，則有

(1+i)=(1+r)(1+)i=r+

+r

可近似表示為

i

r+

或r

i－

即實際利率近似等于名義利率減去通貨膨脹率。43精選ppt利率和貼現(xiàn)率：在需要計算現(xiàn)值的場合，利率常常被誤被稱為貼現(xiàn)率。計算現(xiàn)值既可以應用利率，也可以應用貼現(xiàn)率，還可以應用利息力：44精選ppt小結度量工具時刻t的積累值時刻0的現(xiàn)值i(1+i)

tvt=(1+i)

-ti(m)dedte-dtd(p)d(1–d)-t(1–d)t45精選pptExcel應用由每年復利m次的年名義利率j計算年實際利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；由年實際利率i計算每年復利m次的年名義利率，可以使用EXCEL的命令“NO