《金融數(shù)學(xué)》（1－2）利息度量

利息的度量：

名義利率、名義貼現(xiàn)率、利息力孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院1精選ppt上節(jié)主要內(nèi)容回顧實(shí)際利率（i）＝利息/期初本金實(shí)際貼現(xiàn)率（d）＝利息/期末累積值i與d

之間的關(guān)系（下頁）：期初本金期末累積值利息＝期末累積值－期初本金2精選ppt0111+ii1-dd1v11-v3精選ppt累積函數(shù)：貼現(xiàn)函數(shù)：4精選ppt本節(jié)主要內(nèi)容：名義利率（nominalrateofinterest）名義貼現(xiàn)率（nominalrateofdiscount）利息力（forceofinterest）實(shí)際利率、實(shí)際貼現(xiàn)率、名義利率、名義貼現(xiàn)率和利息力的關(guān)系。5精選ppt實(shí)際利率：在每個(gè)度量時(shí)期末結(jié)轉(zhuǎn)一次利息（或稱為復(fù)利一次）的利率，即在每個(gè)度量時(shí)期末，將當(dāng)期的利息結(jié)轉(zhuǎn)為下期的本金。名義利率：在一個(gè)度量時(shí)期內(nèi)分多次結(jié)轉(zhuǎn)利息的利率。何謂名義利率？6精選ppt考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，每年末支付一次利息，每次支付12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。這兩個(gè)利率有何不同？你愿意選擇哪筆貸款？為什么？答案：第一個(gè)12％是年實(shí)際利率，第二個(gè)是年名義利率,對(duì)應(yīng)的年實(shí)際利率為12.68％。7精選ppt名義利率度量的是資本在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)（如一個(gè)月，一個(gè)季度等）的實(shí)際利率。例如：假設(shè)月實(shí)際利率為1%，那么與這個(gè)月實(shí)際利率相對(duì)應(yīng)的年名義利率被定義為1%×12=12%。如果一個(gè)季度的實(shí)際利率為3%，那么與這個(gè)季實(shí)際利率相對(duì)應(yīng)的年名義利率被定義為3%×4=12%。8精選ppt名義利率的表述季度的實(shí)際利率為3%：年名義利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年名義利率為12%，每年復(fù)利4次；年名義利率為12%，每個(gè)季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年名義利率為12%，每個(gè)季度復(fù)利一次。相關(guān)術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每季支付一次：payablequarterly；每半年復(fù)利一次：compoundsemiannually；9精選ppt年名義利率

i(m)（m≥1，為整數(shù)）表示每年結(jié)轉(zhuǎn)m次利息，即每1/m年支付一次利息，每次的實(shí)際利率為i(m)/m。例：i(4)=8％表示每個(gè)季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息，且每個(gè)季度的實(shí)際利率為2％。例：i(12)=6％表示每個(gè)月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息，且每月的實(shí)際利率為0.5％。問題：三個(gè)月定期存款的年利率為1.8％，含義是什么？答案：表明i(4)＝1.8%，三個(gè)月的實(shí)際利率為1.8%÷4，存1000元滿3個(gè)月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。名義利率的定義10精選ppt名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系：名義利率與等價(jià)的實(shí)際利率有如下關(guān)系：

或者由實(shí)際利率i也可以計(jì)算名義利率i(m)

，即11精選ppt例：貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。求等價(jià)的年實(shí)際利率是多少？解：問題：如果每周支付一次利息，等價(jià)的年實(shí)際利率會(huì)如何變化（增加還是減少）？每天支付一次呢？12精選ppt

在年名義利率一定的條件下，每年的結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)（復(fù)利次數(shù)）越多，年實(shí)際利率將越大。年名義利率為10%時(shí)，年實(shí)際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率年初的1000元在年末的累積值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（每周）0.105071105.07365(每天)0.105161105.1613精選ppt問題：年名義利率i(m)一定的情況下，如果復(fù)利次數(shù)m為無窮大，年實(shí)際利率會(huì)是多少？年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率年初的1000元在年末的累積值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.1714精選ppt每年的結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)小于1時(shí)的名義利率在n個(gè)時(shí)期支付一次利息的名義利率（即每年結(jié)轉(zhuǎn)1/n次利息）可以表示為i(1/n)

，其中n是大于1的正整數(shù)。名義利率i(1/n)

是指每n個(gè)時(shí)期支付一次利息，且每n個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率為i(1/n)×n例：2年期定期存款的年利率為3.06%，其含義為i(1/2)=3.06%2年期的實(shí)際利率為i(1/2)×2=3.06%×2=6.12%問題：等價(jià)的1年期的實(shí)際利率為多少？15精選ppt例：假設(shè)儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的年利率如下，如何比較這些利率？存款利率（％）活期定

期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.14問題：1萬元可以投資一年，請(qǐng)比較投資3個(gè)月的定期存款和投資一年期的定期存款，哪個(gè)合算？當(dāng)3個(gè)月期的利率為多少時(shí)，兩種投資沒有差異？16精選ppt

分析：3個(gè)月的實(shí)際利率為1.80％÷4＝0.45％，1年下來的累積值為1年期存款的實(shí)際利率為2.52％,1年下來的累積值為1.0252結(jié)論：直接投資1年合算。17精選ppt如果要求投資3個(gè)月期的定期存款等價(jià)于投資1年期的定期存款，則應(yīng)有由此可得18精選ppt存款利率：名義利率和實(shí)際利率的比較活期定

期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年年名義利率0.721.802.252.523.063.694.14實(shí)際年利率0.7231.8122.2632.523.0153.5623.834注：小于1年時(shí)，實(shí)際利率大于名義利率；超過一年時(shí)，實(shí)際利率小于名義利率。19精選ppt名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateofdiscount)

名義貼現(xiàn)率d

(m)

（m>1）定義：d

(m)

是指每1/m時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。由等價(jià)的定義重新整理得20精選pptExample：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名義貼現(xiàn)率為6％，每半年復(fù)利一次，第6年末的值為$1000，求其現(xiàn)值）解：這相當(dāng)于按3％的年貼現(xiàn)率計(jì)算在12年末支付$1000的現(xiàn)值。21精選ppt名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系（1）一般情況（2）m＝p（3）把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內(nèi)的實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率，則22精選ppt例：確定每季度復(fù)利一次的名義利率，使它等價(jià)于每月復(fù)利一次的6％的名義貼現(xiàn)率。解：，23精選ppt例：已知i

(12)=5.58%。求i、d、

d(12)解：24精選ppt問題：一般性規(guī)律？25精選pptnominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.09517∞1-e-0.1=0.0951626精選ppt小結(jié)：期初的1元在期末的累積值（等價(jià)度量工具之間的關(guān)系）：i(m)：年初投資1，每年復(fù)利m次，每1/m年末獲得i(m)/m利息d(m)：年初投資1，每年復(fù)利m次，每1/m年初獲得d(m)/m利息27精選ppt思考題某人2006年1月1日在銀行存入10000元，期限為1年，年利率為3%。1月末，銀行的1年期存款利率上調(diào)了100個(gè)基點(diǎn)。請(qǐng)分析此人是否有必要對(duì)該筆存款轉(zhuǎn)存？假設(shè)活期存款利率不變，為0.72%。1年按360天計(jì)算，每月按30天計(jì)算。假設(shè)情景：2007年1月末需要使用這筆存款。注：定期存款若提前支取，按活期計(jì)息。一個(gè)基點(diǎn)為0.01%。利率調(diào)整幅度通常能被9整除。因?yàn)橐荒臧?60天計(jì)息。28精選ppt1年零1月后的累積值：29精選ppt回顧：年實(shí)際利率度量了資金在一年內(nèi)的增長強(qiáng)度（年平均）。名義利率度量了資金在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)（如一個(gè)月）的增長強(qiáng)度（月平均）。問題：哪一個(gè)更能準(zhǔn)確度量資金的增值速度？名義利率還是實(shí)際利率？如何度量資金在每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長強(qiáng)度？在名義利率中，如果時(shí)間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長強(qiáng)度。30精選ppt1.8利息力(forceofinterest)定義：利息力度量了資金在每一時(shí)點(diǎn)（也就是在無窮小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)）增長的強(qiáng)度。在時(shí)間區(qū)間[t,t+h]的實(shí)際利率為年名義利率為（1年包含1/h個(gè)小區(qū)間）31精選ppt

為在時(shí)刻t的利息增長強(qiáng)度（即利息力）。定義：設(shè)積累函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，則時(shí)刻t的利息力為問題：為什么不用a(t)直接度量利息的增長強(qiáng)度？32精選ppt例：

已知金額函數(shù)為求t＝1/2時(shí)的利息力。解：33精選ppt累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)的另一種表達(dá)式：

用r代替t，并將此式兩邊在0到t積分，得從而有

因?yàn)?4精選ppt單利在t時(shí)刻的利息力（了解）因?yàn)樗詴r(shí)刻t的利息力為單利的利息力是時(shí)間的遞減函數(shù)。35精選ppt

單貼現(xiàn)的利息力是時(shí)間的遞增函數(shù)。單貼現(xiàn)在t時(shí)刻的利息力（了解）36精選ppt復(fù)利在時(shí)刻t的利息力因?yàn)樗詴r(shí)刻t的利息力為復(fù)利的利息力是常數(shù)！與時(shí)間無關(guān)。稱為復(fù)利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為37精選ppt問題：復(fù)貼現(xiàn)在時(shí)刻t的利息力？因?yàn)樗詴r(shí)刻t的利息力為復(fù)貼現(xiàn)的利息力是常數(shù)！與時(shí)間無關(guān)。問題：與復(fù)利條件下的利息力有何關(guān)系？38精選ppt對(duì)利息力的另一個(gè)解釋：在復(fù)利條件下，當(dāng)m趨于無窮時(shí)的名義利率就是利息力：39精選ppt問題：當(dāng)p趨于無窮時(shí)的名義貼現(xiàn)率d(p)與利息力有何關(guān)系？40精選pptd與i,d,i(m),d(m)

的關(guān)系di（證明略）41精選ppt1.9貼現(xiàn)力(forceofdiscount)用貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)代替積累函數(shù)，在t時(shí)刻的貼現(xiàn)力為

增加一個(gè)負(fù)號(hào)使得貼現(xiàn)力為正。利息力與貼現(xiàn)力相等：。因?yàn)椋?2精選ppt1.10利率概念辨析實(shí)際利率和名義利率：在經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，所謂的實(shí)際利率是指扣除了通貨膨脹因素以后的利率；而名義利率是指沒有扣除通貨膨脹因素的利率。如果用i表示名義利率，用r表示實(shí)際利率，用

表示通貨膨脹率，則有

(1+i)=(1+r)(1+)i=r+

+r

可近似表示為

i

r+

或r

i－

即實(shí)際利率近似等于名義利率減去通貨膨脹率。43精選ppt利率和貼現(xiàn)率：在需要計(jì)算現(xiàn)值的場合，利率常常被誤被稱為貼現(xiàn)率。計(jì)算現(xiàn)值既可以應(yīng)用利率，也可以應(yīng)用貼現(xiàn)率，還可以應(yīng)用利息力：44精選ppt小結(jié)度量工具時(shí)刻t的積累值時(shí)刻0的現(xiàn)值i(1+i)

tvt=(1+i)

-ti(m)dedte-dtd(p)d(1–d)-t(1–d)t45精選pptExcel應(yīng)用由每年復(fù)利m次的年名義利率j計(jì)算年實(shí)際利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；由年實(shí)際利率i計(jì)算每年復(fù)利m次的年名義利率，可以使用EXCEL的命令“NO