2023屆甘肅省蘭州市高三下學期診斷考試文科數(shù)學試題及答案解析

年蘭州市高三診斷考試文科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.，，則集合（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.2022年8—12月某市場上草莓價格（單位：元/千克）的取值為：12，16，20，24，28，市場需求量（單位：百千克），則市場需求量的方差為（）A.8 B.4 C. D.24.世紀數(shù)學家歐拉研究調(diào)和級數(shù)得到了以下的結(jié)果：當很大時，（常數(shù)）．利用以上公式，可以估計的值為（）A. B. C. D.5.已知點在圓上，其橫坐標為，拋物線經(jīng)過點，則拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.6.已知，，若是與的等比中項，則的最小值是（）A.8 B.4 C.3 D.27.已知命題：“若直線平面，平面平面，則直線平面”，命題：“棱長為的正四面體的外接球表面積是”，則以下命題為真命題的是（）A. B. C. D.8.如圖是某算法的程序框圖，若執(zhí)行此算法程序，輸入?yún)^(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，則輸出的的概率為（）A B. C. D.9.攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度（單位：dm）分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（）A. B. C. D.10.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論不正確的是（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上的最小值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的圖象對稱中心為11.已知雙曲線的一條漸近線上存在關(guān)于原點對稱的兩點和，若雙曲線的左、右焦點與組成的四邊形為矩形，若該矩形的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)，其中，，，則以下判斷正確的是（）A函數(shù)有兩個零點，且，B.函數(shù)有兩個零點，且，C.函數(shù)有兩個零點，且，D.函數(shù)只有一個零點，且，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在梯形中，，，，則______．14.如圖，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，點是底面弧的兩個三等分點，則與所成角的正切值為______．15.用長度為1，4，8，9的4根細木棒圍成一個三角形（允許連接，不允許折斷），則其中某個三角形外接圓的直徑可以是______（寫出一個答案即可）．16.定義：如果任取一個正常數(shù)，使得定義在上的函數(shù)對于任意實數(shù)，存在非零常數(shù)，使，則稱函數(shù)是“函數(shù)”．在①，②，③，④這四個函數(shù)中，為“函數(shù)”的是______（只填寫序號）．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列，，對任意的都有．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，且，求數(shù)列的前項和．18.如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點是的中點，．（1）在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．）（2）在（1）的條件下求點到平面的距離．19.2022年第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，這是繼韓日世界杯之后時隔20年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，本屆世界杯還是首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．每屆世界杯共32支球隊參加，進行64場比賽，其中小組賽階段共分為8個小組，每個小組的4支隊伍進行單循環(huán)比賽共計48場，以積分的方式產(chǎn)生16強，之后的比賽均為淘汰賽，1/8決賽8場產(chǎn)生8強，1/4決賽4場產(chǎn)生4強，半決賽兩場產(chǎn)生2強，三四名決賽一場，冠亞軍決賽一場．下表是某五屆世界杯32進16的情況統(tǒng)計：歐洲球隊美洲球隊非洲球隊亞洲球隊32強16強32強16強32強16強32強16強1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合計66444525256245（1）根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：16強非16強合計歐洲地區(qū)其他地區(qū)合計并判斷是否有95%的把握認為球隊進入世界杯16強與來自歐洲地區(qū)有關(guān)？（2）已知某屆世界杯比賽過程中已有2支歐洲球隊進入8強并相遇，勝者進入4強，此時球迷預測還將有3支歐洲球隊，2支美洲球隊，1支亞洲球隊進入8強，并在這6支球隊中兩兩對決進行3場比賽，產(chǎn)生剩下的三個4強席位，求歐洲球隊不碰面的概率．附：，0.0500.01000013.8416.63510.82820.已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓的短軸，菱形的周長為，面積為，橢圓的焦距大于短軸長．（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓內(nèi)的一點（不在的軸上），過點作直線交于兩點，且點為的中點，橢圓的離心率為，點也在上，求證：直線與相切．21已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，且點在右側(cè)．若函數(shù)在點處的切線為，求證：當時，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，其中．（1）當時曲線與曲線交于、兩點，求線段的長度；（2）過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）與曲線交于、兩點，若，求實數(shù)．[選修4-5：不等式選講]23已知．（1）解不等式；（2）若對于任意正實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．答案解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉法表示集合，根據(jù)并集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法規(guī)則計算即可.【詳解】故選：C.3.2022年8—12月某市場上草莓價格（單位：元/千克）的取值為：12，16，20，24，28，市場需求量（單位：百千克），則市場需求量的方差為（）A.8 B.4 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由草莓價格的方差結(jié)合方差的性質(zhì)得出市場需求量的方差.【詳解】，則草莓價格的方差為.因為，所以市場需求量的方差為.故選：A4.世紀數(shù)學家歐拉研究調(diào)和級數(shù)得到了以下的結(jié)果：當很大時，（常數(shù)）．利用以上公式，可以估計的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】所求式子為，根據(jù)已知中的公式直接計算即可.【詳解】.故選：D.5.已知點在圓上，其橫坐標為，拋物線經(jīng)過點，則拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圓的方程可求得點坐標，代入拋物線方程可確定的值，進而確定準線方程.【詳解】將代入圓方程得：，解得：，或，在拋物線上，或，解得：（舍）或，拋物線方程為，拋物線的準線方程為：.故選：D6.已知，，若是與的等比中項，則的最小值是（）A.8 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用等比中項的性質(zhì)得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【詳解】因為是與的等比中項，所以，即，所以，又，，所以，當且僅當且，即時取等號．所以的最小值為4．故選：B．7.已知命題：“若直線平面，平面平面，則直線平面”，命題：“棱長為的正四面體的外接球表面積是”，則以下命題為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面的關(guān)系判斷命題p的真假，根據(jù)正四面體外接球的表面積公式計算判斷命題q的真假，結(jié)合復合命題真假的判斷方法即可求解.【詳解】命題p：若，，則或，故命題p為假命題；命題q：將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為，對角線長為，則正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，則外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故命題q為真命題.所以命題為真命題，命題為假命題.故選：A.8.如圖是某算法的程序框圖，若執(zhí)行此算法程序，輸入?yún)^(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，則輸出的的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由程序框圖可知：輸入，當時，滿足循環(huán)體，執(zhí)行循環(huán)體，，，當時，滿足循環(huán)體，執(zhí)行循環(huán)體，此時，，當時，滿足循環(huán)體，執(zhí)行循環(huán)體，此時，，當時，滿足循環(huán)體，執(zhí)行循環(huán)體，此時，，當時，不滿足循環(huán)體，退出循環(huán)，由幾何概型，得輸出的概率為.故選：B.9.攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度（單位：dm）分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三棱柱和棱臺表面積公式計算即可.【詳解】由題可得正三棱柱的底面積為：，正三棱柱的外露表面積為：，四棱臺側(cè)面梯形的高為：，四棱臺外露表面積為：，該結(jié)構(gòu)表面積為：.故選：A10.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論不正確的是（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上的最小值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的圖象對稱中心為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換公式，可得，再由函數(shù)圖象的平移法則得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項分析選項，即可.【詳解】因為，所以.對于A：，故A正確；對于B：由知，，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，故B錯誤；對于C：令，因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：令，，所以圖象對稱中心為，故D正確.故選：B11.已知雙曲線的一條漸近線上存在關(guān)于原點對稱的兩點和，若雙曲線的左、右焦點與組成的四邊形為矩形，若該矩形的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)矩形對角線長相等和矩形面積可構(gòu)造方程組，化簡得到關(guān)于的齊次方程，解方程可求得離心率.【詳解】由雙曲線方程知其漸近線方程：，不妨設(shè)在上，設(shè)，則，，四邊形為矩形，，，矩形的面積，由得：，即，解得：，.故選：C.12.已知函數(shù)，其中，，，則以下判斷正確的是（）A.函數(shù)有兩個零點，且，B.函數(shù)有兩個零點，且，C函數(shù)有兩個零點，且，D.函數(shù)只有一個零點，且，【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，，進而利用零點存在性定理可得結(jié)論．【詳解】解：因為，，又，所以，即，又，，，則，，又為定義域上的連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)必有兩個不相同的零點，存在，使得，且，存在，使得，，，函數(shù)有兩個零點，，且，．故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在梯形中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】，，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，，，，.故答案為：.14.如圖，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，點是底面弧的兩個三等分點，則與所成角的正切值為______．【答案】【解析】【分析】易證得，由異面直線所成角定義可知所求角為，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面圓心為，連接，為弧的兩個三等分點，，又，為等邊三角形，，，即為異面直線與所成角，平面，平面，，，，，即與所成角的正切值為.故答案為：.15.用長度為1，4，8，9的4根細木棒圍成一個三角形（允許連接，不允許折斷），則其中某個三角形外接圓的直徑可以是______（寫出一個答案即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)三角形性質(zhì)確定三邊邊長，利用余弦定理和正弦定理計算出對應(yīng)三角形外接圓的直徑.【詳解】4根細木棒圍成一個三角形的三邊長可以為5，8，9，設(shè)邊長為9的邊所對的角為，由余弦定理可知：，因為，所以，由正弦定理知，，所以其中某個三角形外接圓的直徑可以是.故答案為：（答案不唯一）.16.定義：如果任取一個正常數(shù)，使得定義在上的函數(shù)對于任意實數(shù)，存在非零常數(shù)，使，則稱函數(shù)是“函數(shù)”．在①，②，③，④這四個函數(shù)中，為“函數(shù)”的是______（只填寫序號）．【答案】②【解析】【分析】根據(jù)“函數(shù)”，依次判斷各選項中的是否為常數(shù)即可.【詳解】對于①，令，則，不是常數(shù)，不是“函數(shù)”；對于②，令，則為常數(shù)，是“函數(shù)”；對于③，令，則，不是常數(shù)，不是“函數(shù)”；對于④，令，則，不是常數(shù)，不是“函數(shù)”.故答案為：②.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠充分理解“函數(shù)”的定義，即為常數(shù)的函數(shù)，從而根據(jù)運算法則來求解即可.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列，，對任意的都有．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，且，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取，即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可求得；（2）利用累乘法可求得，采用裂項相消法可求得.【小問1詳解】對任意的，都有，當時，，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）得：，當時，，又滿足，，.18.如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點是的中點，．（1）在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．）（2）在（1）的條件下求點到平面的距離．【答案】（1）條件選擇見解析，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理逆定理證得，由等腰三角形的幾何性質(zhì)可得出，利用線面和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；選條件①③，利用正弦定理推導出，，由等腰三角形的幾何性質(zhì)可得出，利用線面和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；選條件②③，利用余弦定理求出的長，利用勾股定理逆定理證得，由等腰三角形的幾何性質(zhì)可得出，利用線面和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計算出三棱錐的體積，計算出的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：方案一：選條件①②.因為在四棱錐中，，點為的中點，則，因為，在中，，，又因為四邊形為矩形，，則，，因為，，，所以，，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，側(cè)面平面；方案二：選條件①③.因為在四棱錐中，，點為的中點，則，在中，，，，由正弦定理可得，即，所以，，所以，，即，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，側(cè)面平面；方案三：選條件②③.因為在四棱錐中，，點為的中點，則，且，在中，，，又因為四邊形為矩形，，則，所以，，在中，，則，設(shè)，由余弦定理可得，整理可得，解得或（舍），所以，，因為，，，所以，，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，側(cè)面平面.【小問2詳解】解：在（1）的條件下，平面，因為為的中點，，，在中，，，則，所以，，則，，在中，，，則，所以，，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由可得，所以，.因此，點到平面的距離為.19.2022年第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，這是繼韓日世界杯之后時隔20年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，本屆世界杯還是首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽．每屆世界杯共32支球隊參加，進行64場比賽，其中小組賽階段共分為8個小組，每個小組的4支隊伍進行單循環(huán)比賽共計48場，以積分的方式產(chǎn)生16強，之后的比賽均為淘汰賽，1/8決賽8場產(chǎn)生8強，1/4決賽4場產(chǎn)生4強，半決賽兩場產(chǎn)生2強，三四名決賽一場，冠亞軍決賽一場．下表是某五屆世界杯32進16的情況統(tǒng)計：歐洲球隊美洲球隊非洲球隊亞洲球隊32強16強32強16強32強16強32強16強1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合計66444525256245（1）根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：16強非16強合計歐洲地區(qū)其他地區(qū)合計并判斷是否有95%的把握認為球隊進入世界杯16強與來自歐洲地區(qū)有關(guān)？（2）已知某屆世界杯比賽過程中已有2支歐洲球隊進入8強并相遇，勝者進入4強，此時球迷預測還將有3支歐洲球隊，2支美洲球隊，1支亞洲球隊進入8強，并在這6支球隊中兩兩對決進行3場比賽，產(chǎn)生剩下的三個4強席位，求歐洲球隊不碰面的概率．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，即可求解；（2）利用平均分組的方法求所有比賽的方法數(shù)，再由排列問題的應(yīng)用求出歐洲球隊不碰面的比賽方法數(shù)，再由古典概型概率公式.【小問1詳解】解：根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：16強非16強合計歐洲地區(qū)442266其他地區(qū)365894合計8080160所以，所以有的把握認為球隊進入世界杯強與來自歐洲地區(qū)有關(guān)；【小問2詳解】由題意，3支歐洲球隊，2支美洲球隊，1支亞洲球隊這6支球隊中兩兩對決進行3場比賽，一場比賽對應(yīng)著將6個球隊平均分成3組，每組2支球隊的一種分組方法，共有(種)比賽方法；若歐洲球隊不碰面，可將3支歐洲球隊看成三個空格，將2支美洲球隊，1支亞洲球隊在3個空格進行排列，一種排列方法對應(yīng)著一種滿足條件的比賽方法，共有(種)排列，所以歐洲球隊不碰面的比賽方法共有6種.故歐洲球隊不碰面的概率為20.已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓的短軸，菱形的周長為，面積為，橢圓的焦距大于短軸長．（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓內(nèi)的一點（不在的軸上），過點作直線交于兩點，且點為的中點，橢圓的離心率為，點也在上，求證：直線與相切．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的周長和面積可構(gòu)造方程組求得，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，結(jié)合中點坐標公式可求得點坐標；將與橢圓聯(lián)立，可得，由在橢圓上可得等量關(guān)系，化簡可得，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】菱形的周長為，面積為，，又，或，又橢圓的焦距大于短軸長，即，，，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】由題意知：直線的斜率必然存在，可設(shè)其方程為：，由得：，設(shè)，則，即，，，，；橢圓的離心率為，，解得：，，由得：，，在橢圓上，，整理可得：，，直線與相切.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的證明問題，解題關(guān)鍵是能夠利用點在橢圓上得到變量之間所滿足的等量關(guān)系，將等量關(guān)系代入判別式中進行化簡整理即可得到直線與橢圓的位置關(guān)系.21.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，且點在右側(cè)．若函數(shù)在點處的切線為，求證：當時，．【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入