考研數(shù)學一(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)模擬試卷47(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷47(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)X1，X2，…Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，記EX＝μ，DX＝σ2，DS＞0，則A．S是σ的無偏估計．B．S2是σ2的無偏估計．C．是μ2的無偏估計·D．是EX2的無偏估計．正確答案：B解析：從上題知S2是無偏估計，應選(B)．進一步分析DS＝ES2一(ES)2>0(ES)2≠ES2＝σ2ES≠σ．σ2＋μ2≠μ2，知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計2．設(shè)是從總體X中取出的簡單隨機樣本X1，…，Xn的樣本均值，則是μ的矩估計，如果A．X～N(μ，σ2)．B．X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．C．P{X＝m}＝μ(1一μ)m－1，m＝1，2，…D．X服從[0，μ]上均勻分布．正確答案：A解析：若X～N(μ，σ2)，則EX＝μ，μ的矩估計為，應選(A)．若x服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則，μ的矩估計；對于選項(C)，X服從參數(shù)為μ的幾何分布，EX＝，μ＝的矩估計；對選項(D)，EX＝，μ＝2EX，于是μ的矩估計．知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計3．假設(shè)總體X的方差DX＝σ2存在(σ>0)，X1，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其方差為S2，且DS＞0，則A．S是σ的矩估計量．B．S是σ的最大似然估計量．C．S是σ的無偏估計量．D．S是σ的相合(一致)估計量．正確答案：D解析：由各選項中概念的定義及知，正確選項是(D)，這是因為σ2DX的矩估計量，因而S不是σ的矩估計量，(A)不成立；題中未對X的分布做出假設(shè)，因此σ的最大似然估計量是否存在不知，(B)不成立。如果S2是σ2的最大似然估計量，根據(jù)最大似然估計的不變性，可以斷言S是σ的最大似然估計量，選項(B)成立，否則選項(B)不成立．如果S是σ的無偏估計即ES＝σ，由此得(ES)2＝σ2，又ES2＝σ2，所以DS＝ES2一(ES)2＝0，與假設(shè)矛盾，所以(C)不成立，因此選(D)．事實上，由大數(shù)定律及依概率收斂性質(zhì)知故，即S是σ的相合估計量．知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計填空題4．設(shè)X1，X2，…Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，是總體方差σ2的無偏估計量，則a＝_______，b＝______．正確答案：解析：樣本方差是總體方差σ2的無偏估計，所以知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計5．設(shè)總體X服從(a，b)上的均勻分布，X1，X2，…Xn是取自X的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)a，b的矩估計量為＝______．＝______．正確答案：解析：知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。6．設(shè)總體X的概率分布為其中p(0＝p，故p的矩估計量．最大似然估計：似然函數(shù)解得p＝，故p的最大似然估計量(Ⅱ)由于，要證無偏性只要驗證即相應的估計量均為無偏估計量．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計7．設(shè)總體X的概率密度為f(x，α，β)＝其中α和β是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估計值和最大似然估計值．正確答案：由f(x；α，β)≥0和f(x；α，β)dx＝1，得到α≥0，β≥0且α＋β＝1.于是(I)求矩估計值．由于而(－0．5＋0．3－0．2－0．6－0．1＋0．4＋0．5－0.8)＝，令E(X)＝，解得α的矩估計值．(Ⅱ)求最大似然估計值．由于在給定的8個樣本值中，屬(一1，0)的有5個，屬[0，1)的有3個，故似然函數(shù)為令，解得α的最大似然估計值(顯然這時L(α)最大)．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計8．已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量，并問這個估計量是否為無偏估計量?正確答案：記EX＝μ，DX＝σ2，則由等式，因此參數(shù)θ的矩估計量為由于樣本均值與總體X的期望相等，因此，計算可知是θ的有偏估計量．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計9．接連不斷地、獨立地對同一目標射擊，直到命中為止，假定共進行n(n≥1)輪這樣的射擊，各輪射擊次數(shù)相應為k1，k2，…，后，試求命中率P的最大似然估計值和矩估計值．正確答案：依題意，總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X＝k}＝p(1－p)k－1，k＝1，2，…，由于EX＝，所以p的矩估計值．樣本(k21，k2，…，kn)的似然函數(shù)L為L(k1，k2，…，kn；p)＝P{X1＝k1，X2＝k2，…，Xn＝kn}因此P的最大似然估計值涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計10．設(shè)X服從[0，6]上的均勻分布，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求a，b的最大似然估計量．正確答案：設(shè)χ的樣本觀測值為x1，…，xn則似然函數(shù)顯然，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i＝1，…，n}＝{b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i＝1，…，n}＝{a≤(xi，…，xn)}，所以只有當b＝max{Xi}，a＝{Xi}時，L才達到最大值，故a，b的最大似然估計值分別為，從而可知其最大似然估計量分別是．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計11．已知總體X的密度函數(shù)為其中θ，β為未知參數(shù)，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求θ和β的矩估計量．正確答案：因此θ與β的矩估計量分別為涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計12．設(shè)總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)為其中α>0為已知，θ>0是未知參數(shù)，試根據(jù)來自X的簡單隨機樣本X1，X2，…Xn，求θ的最大似然估計量．正確答案：設(shè)x1，x2，…，xn是樣本X1，…，Xn的觀測值，當Xi>0(i＝1，2，…，n)時其似然函數(shù)為因此θ的最大似然估計值為，最大似然估計量為．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計13．設(shè)某種電子器件的壽命(以小時計)T服從指數(shù)分布，概率密度為其中λ＞0未知．現(xiàn)從這批器件中任取n只在時刻t＝0時投入獨立壽命試驗，試驗進行到預定時間T0結(jié)束，此時有k(0＜k＜n)只器件失效，試求λ的最大似然估計．正確答案：考慮事件A：“試驗直至時間T0為止，有k只器件失效，而有n—k只未失效”的概率．記T的分布函數(shù)為F(t)，即有一只器件在t＝0時投入試驗，則在時間T0以前失效的概率為P{T≤T0}＝F(T0)：1一；而在時間T0未失效的概率為P{T>T0}＝1一F(T0)＝．由于各只器件的試驗結(jié)果是相互獨立的，因此事件A的概率為這就是所求的似然函數(shù)．取對數(shù)得lnL(λ)＝lnCnk＋kln(1一)＋(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估計為涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計14．設(shè)總體X在區(qū)間[0，θ]上服從均勻分布，X1，X2，…Xn取自總體X的簡單隨機樣本，，X(n)＝max(X1，…，Xn)．(I)求θ的矩估計量和最大似然估計量；(Ⅱ)求常數(shù)a，b，使均為θ的無偏估計，并比較其有效性；(Ⅲ)應用切比雪夫不等式證明：均為θ的一致性(相合性)估計．正確答案：(I)依題意總體X的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為令μ＝EX=，解得θ＝2μ，于是θ的矩估計量為．又樣本X1，…，Xn的似然函數(shù)為L(θ)為θ的單調(diào)減函數(shù)，且O≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，因此θ的最小取值為max(x1，…，xn)，θ的最大似然估計量＝max(X1，…，Xn)＝X(n)．為求得b，必須求X(n)的分布函數(shù)F(n)(x)及密度函數(shù)f(n)(x)，由X(n)＝max(X1，…，Xn)得涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計15．設(shè)有一批同型號產(chǎn)品，其次品率記為P．現(xiàn)有五位檢驗員分別從中隨機抽取n件產(chǎn)品，檢測后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(I)若已知P＝2．5％，求n的矩估計值；(Ⅱ)若已知n＝100，求P的極大似然估計值；(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗員從該批產(chǎn)品中再隨機檢測100個產(chǎn)品，試用中心極限定理近似計算其次品數(shù)大于3的概率．正確答案：記X為n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～B(n，P)．(Ⅰ)由＝EX＝np，即＝2.5%n，得＝80.(Ⅱ)(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心極限定理知X近似服從N(2，)，于是涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計16．假設(shè)批量生產(chǎn)的某種配件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，今隨機抽取16個配件，測得平均內(nèi)徑＝3．05毫米，樣本標準差s＝0．4毫米，試求μ和σ2的90％置信區(qū)間．正確答案：這是一個正態(tài)總體的區(qū)間估計，由于σ2未知，關(guān)于μ的置信區(qū)間公式為其中滿足P{｜t(15)｜＞}＝0．1，查表可知t0.05(15)＝1．753，于是置信度為90％關(guān)于μ的置信區(qū)間為I＝(3.05－×1.753，3.05＋×1.753)＝(2.87，3.23)μ未知關(guān)于σ2的置信區(qū)間公式為其中(n一1)分別滿足P{χ2(n－1)≥}＝0.05，P{χ2(n－1)≥1－}＝0.95，查χ2分布上分位數(shù)表得χ0.952(15)＝7．261，χ0.052(15)＝24．996，于是置信度為90％關(guān)于σ2的置信區(qū)間為涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計17．在測量反應時間中假設(shè)反應時間服從正態(tài)分布，一心理學家估計的標準差是0．05秒．為了以95％的置信度使他對平均反應時間的估計誤差不超過0．01秒，應取的樣本容量n為多少?正確答案：對于正態(tài)總體方差已知μ的置信區(qū)間為其中滿足P{｜U｜≥}＝0．95，U—N(0，1)，所以＝1．96對平均反應時間的估計誤差為，解不等式因此應取的樣本容量n至少為97．涉及知識點：概率論與數(shù)理統(tǒng)計18．某裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠家稱低于190℃．今從一個由16臺裝置構(gòu)成的隨機樣本測得工作溫度的平均值和標準差分別為195℃和8℃，根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否支持廠家結(jié)論?設(shè)a＝0．05，并假定工作溫度近似服從正態(tài)分布．正確答案：這是一個正態(tài)總體方差未知關(guān)于期望值μ的假