彈塑性力學第九章課件

第九章空間軸對稱問題

本章討論空間軸對稱問題的基本方程和一些軸對稱問題的基本解。對于一般空間問題的解法我們在第五章已有討論，但一般空間問題一般解（具體求解）通解討論在杜慶華等編著的“彈性理論”中有較多的論述。我們不刻意從數(shù)學上論述一般空間問題一般解的表達式，而對于空間軸對稱問題作一些討論和舉例。3/27/20231

1.1空間軸對稱問題特點：1.域內(nèi)所有物理量（體力、面力、位移、應力、應變）均為r、z的函數(shù)。與平面軸對稱問題類似，空間軸對稱問題的求解域、荷載和約束繞某一軸（z軸）對稱，導致如下簡化，2．荷載：體力f=0，面力

，位移u=0，應力r=z=0，應變r=z=0。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程3/27/20232第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程3．待求的物理量（10個）：ur、w、r、、z、rz=zr、r、、z、rz=zr1.2基本方程1.平衡微分方程（兩個）：3/27/202334.物理方程（四個）：第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程3/27/20235

r=e2Gr、=e2G、

z=e2Gz、rz=Grz

第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程其中——體積應變或

3/27/202365.邊界條件第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程位移邊界：在Su上6.按應力解法

力的邊界：在r=r0

在z=z0

四個應力分量r、、z、rz為基本未知量。3/27/20237第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程(r,z)滿足第一個平衡微分方程，而第二個平衡方程及四個相容方程，共同要求

22=4=0

——(r,z)應滿足的基本微分方程。3/27/20239

7．按位移法解

第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程其中

a．基本未知函數(shù)：ur和w基本方程兩個：

并考慮適當?shù)倪吔鐥l件。3/27/202310b.

引入Love（拉甫、勒夫）位移函數(shù)（當無體力作用時）第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程對于位移法的基本方程的解可由考慮體力的一個特解加上齊次方程的通解。軸對稱問題齊次拉梅方程的通解可以引入一個Love位移函數(shù)(r,z),使得位移由(r,z)表示：3/27/202311軸對稱問題按位移求解，歸結(jié)為尋找一個恰當?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)(r,z)，使按其導出位移和應力能滿足給定的邊界條件。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程比較應力函數(shù)解法和love位移法知：(r,z)=

(r,z)3/27/202313第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）半空間體，體力不計，邊界受法向集中力P作用.軸對稱問題，P作用在坐標原點上。zRrPx

yz已知，當z=0且r0時,z=0,zr=0；當R0時，應力奇異。當R

時，R=(r2+z2)1/2，

應力、位移

0；3/27/202314選

(r,z)

為r和z的正一次冪式:(r,z)=A1R+A2[R-zln(R+z)]——為雙調(diào)和函數(shù)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）Boussinesq采取Love函數(shù)求解，(r,z)為重調(diào)和函數(shù)，由(r,z)的三次微分導出應力。zRrPx

yz3/27/202315應力：

第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）3/27/202317根據(jù)邊界條件來確定A1和A2：第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）zRrPx

yz在z=0且r0邊界上,z=0自然滿足。在z=0且r0邊界上,zr=0（1-2）A1+A2=0—(a)3/27/202318在z=z0

0平面上，要求z的合力與P平衡。還需一個條件（包括P的）。第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）將z表達式代入，得zPrrdrz0z3/27/202319由式(a)、(b)解得

A1=P/(2)、A2=-（1-2）P/（2）第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）

代回位移、應力表達式，見徐芝綸（上冊）P.297（9－17）、（9－18）式，稱為Boussinesq問題解。由P.297（9－17）、（9－18）式見：位移和應力隨R的增加而減小。3/27/202321Prz第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）在z=0平面上3/27/202322第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q已知條件：半空間體在邊界上受均布法向荷載q作用，在半徑為a的圓面積。zaqar尋求解答：1.

z=0邊界上的沉陷wz=0

=?2.r=0（對稱軸）上的應力和位移。求解方法：采用疊加法和半空間體邊界受法向集中力P的計算結(jié)果求解。3/27/202323圓面積均布荷載q對圓外M點豎向位移影響可取一個微面元，距M點為s，角度為處，dA=sdds，dA上q對M點影響：

第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力qrraMs1s2sdsdzaqar3/27/202325rraMs1s2sdsd第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/202326由圖形可見

asin=rsin,兩邊微分

acosd=rcosd第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd3/27/202329第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q的取值范圍：由0

1

rraMs1s2sdsd的取值范圍：0

3/27/202330第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/202331第二類橢圓積分

第一類橢圓積分第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q對于不同a/r可由橢圓積分表得到。3/27/2023322．M點載荷在圓之內(nèi)：Masdsdrmn第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q圓內(nèi)距M點s處微面積q對M點沉陷的影響仍為3/27/202333整個圓面積荷載引起M點沉陷為：第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q第二類橢圓積分利用asin=rsin

3/27/202334當r=0為圓心處沉陷：當r=a時圓周上沉陷：

3.2在z軸r=0上的應力和位移在z軸上的應力和位移比同一水平面上其它點的應力和位移要大。第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/2023351.應力：由于z軸對稱軸，所以在z軸上的應力無剪應力，均為主應力：

r=、z第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/2023362．位移：z軸上的ur=0，僅存在w第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/202337第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q3/27/202338第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力接觸壓力問題是在機械工程、土木工程中經(jīng)常碰到的問題，接觸問題在1881年由德國赫茲（HeinrichHerty）首先用數(shù)學彈性力學導出了計算公式。4.1接觸問題的特點：

1．兩個彈性體互相接觸，當無壓力作用時，為點接觸或線接觸。當有壓力作用時，彈性體發(fā)生變形，點接觸（或線接觸）變?yōu)槊娼佑|。3/27/2023392．彈性體變形后的接觸面為非常小的局部區(qū)域（相對于彈性體幾何尺寸）所以可看成半空間（半無限平面）體法向受局部分布力作用問題，但這里分布力q不是均勻的，同時q也未知，接觸面的局部區(qū)域也是未知的。第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力3．不計接觸面摩擦力。

3/27/202340

4.2

兩球體之間的接觸壓力：已知兩球體變形前在o點接觸，兩個坐標系

roz1、roz2第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1球1：E1

、1、R1球2：E2

、2、R2

M1M2r距接觸點z軸為r的兩球表面上M1和

M2點的z坐標分別為（M1和M2與點o很近）3/27/202341第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r則3/27/202342第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力在已知P壓力作用下，兩球在接觸點附近發(fā)生變形有一個接觸面，根據(jù)對稱性接觸面為以a為半徑的圓。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar3/27/202343第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力1．a(chǎn)為待求量，同時接觸面上有接觸壓力q（待求）。2．由于接觸問題是局部變形，在球體遠離o點的任意點位移為剛體位移。兩球內(nèi)距o點很遠處的相對位移（剛體位移）為

？下面要建立（找出）三個條件（幾何、物理、平衡方程）尋求a

、q

和。3/27/202344第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力求解：首先根據(jù)接觸面變形（位移）來建立一個關(guān)系球1：觸面上o點、M1點沿z1軸位移為w1(o)、w1而w1(o)=w1+z1

M1rPPoz1z2O1M2ar3/27/202345第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力球2：觸面上o點、M2點沿z2軸位移為w2(o)、w2w2(o)=w2+z2

而w1(o)+w2(o)=w1+z1+w2+z2w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2或M1rPPoz1z2O1M2ar3/27/202346而w1(o)+w2(o)=第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力——兩球體距o點較遠處兩點的趨近距離。

=w1+w2+r2——變性協(xié)調(diào)關(guān)系w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2由于接觸問題可看成半無限體受局部垂直分布力問題，w1和w2可以利用上一節(jié)的結(jié)果。M1rPPoz1z2O1M2ar3/27/202347第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力—相當物理和幾何關(guān)系3/27/202348代入

=w1+w2+r2在此式中a、q和未知。第四節(jié)兩球體