大學1線性代數(shù)試卷A

20XX年復習資料大學復習資料專業(yè)：班級：科目老師：日期：1/13一、填空（2分×14=28分）本題分數(shù)得分28T1.設向量組，2，021135T1123132T，則r(,,)，寫3出的一個極大無關組。,,1232.若A為3階方陣，且A2,1是A的特征值，A*為A的伴隨矩1,12陣，則A*，A*2A。ab3.實數(shù)域上線性空間V的一組基a,b,cRbc為，維數(shù)為。4.設A為3階矩陣，且A2，將A按列分塊為A()，則行列式3，12132232121r(,,)。132325.三階矩陣A，，則初等矩陣P3B1231325使BAP，若矩陣A1QA，則矩陣BQB。1246．三階實對稱矩陣，AE是不可逆矩陣，且A（AE為三維非零000向量），則A的特征值為，行列式A23AE。121相似，則二次型7．實對稱矩陣A與的規(guī)fxxxXAX(,,)T3B03112043范形為f，此二次型（填“是”或者“不是”）正定二次型。本題分數(shù)得分32二、計算題（要求寫出主要計算過程）（8分×4=322/13分）1a001．計算行列式值01a0。D001aaaa11002．已知三階矩陣，求矩陣，使得滿足矩陣方程BA2BA。BA010024ab3、設線性空間V上的線性變換A使得a,b,Rba01AXXPPX,P，101001下的矩陣。12,10求A在基013/132324．設3階矩陣，判斷是否能與對角形矩陣相似。AA1421314/13三、（20XXXX分）已知下列非齊次線性方程組（I），（II）本題分數(shù)20XXXX得分xxx2124（I）xx2x12（II）134x2x6x4x71234xxx2124xx2x11232x4x2x7x12341.求線性方程組（I）的通解。2.當線性方程組（II）中參數(shù)取何值時，方程組（I）與（II）同解。5/13四、（20XXXX分）本題分數(shù)20XXXX得分二次型fx,x,x2x22x22x22xx2xx2xx231231231213寫出此二次型的系數(shù)矩陣A；1．用正交變換將二次型化為標準形，并寫出正交變換XTY及二次型的標2．準形。6/13本題分數(shù)20XXXX五（5315分）證明題得分1．設矩陣滿足A，證明：r(A)r(AE)n。AA22．設為階實對稱矩陣，且An，證明：A2A。r(A)r(AE)n3．設A(a)是三階非零矩陣，A為元素a的代數(shù)余子式，且滿足ijijijAa0(i,j1,2,3)，則A的行列式等于1。ijij7/13一、填空（每空2分，共28分）10010011．2；，。2．4；0。3．；3。001001,,21005004．18；2。5．；。0100201019046．1,1,0；5。7．；是。zzz212223二、計算題(32分)1a001a0a001a001a0101aa(1)141a0101aa41．D-------（4001aaa101aaa1aaa1分）(1aa3)a41a2a3a4-----（8分）a12．BA2BA-----------（2分）,B(A2E)A11-----------（4分）A2E=2211111------------（81BA(A2E)1==2422112分）8/13013．A210A2E2----------（6分）01221012202故所求的矩陣為------------（8分）204．232232|EA|142142-13130332142(3)2(1)-------------（3分）0031故的特征值為1,3。----------（5分）---A231320002EA112220，，3r(EA)121321323故A不與對角陣相似。-------------（8分）11012110121120102213三、解：----------（3分）1）A42647000124x41201x25,1一般解為：X------（5分）-------------（752x1022202分）通解為：Xk（為11任意常數(shù)）。-----------（8分）k012）將代入（II）中得1--------（20XXXX分）0~以k也是X11，所r(A)r(A)30此時，也是（II）的導出組的解且19/13(II)的通解。綜上所述，所求的1即為所求。----------（20XXXX分）10/13四、211------------------（2分）1．A1211122111111112．IA121321210212011102(1)2(4)，故A的特征值為4,1。---------------231（4分）解(IA)X012111121IA1210111120001111基礎解系，單位化q。--------------（7分）131111解(IA)X021111111，IA11100000011111,10基礎解系為23，--------------（9分）0111q21，201111111，(,q)q011q31。--------22263332221011/13（20XXXX分）為正交變換，標準形f4y2y2y。-----（令13分）T(qqq),XTY212312312/13證明題五、1．由原式可得A(AE)0r(A)r(AE)n。------（2分）又r(A)r(AE)r(A)r(EA)r(E)n。------（4分）所以r(A)r(AE)n。-----------（5分）2．由條件知，存在可你矩陣P使得APdiag(,,,0,,0)P1，其中rr(A),0(i1,,r)。-----（2分）i1rAEPdiag(1,,1,1,,1)P1為對稱矩陣。-----（3分）1r由r(AE)nr(A)可得1101。-----（4分）1r1r于是1A。-----（5分）AP