近年-近年學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法二綜合法與分析法教案(含解析)新人教A版選修4-5

二綜合法與分析法(1)定義:一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推． (2)特點(diǎn)：由因?qū)Ч?即從“已知”看“可知"，逐步推向“未知"．用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為 (1)定義：證明命題時(shí)，常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)(2)特點(diǎn)：執(zhí)果索因,即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知"．式 求證：錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!.[思路點(diǎn)撥]答本題可從左到右證明，也可從右到左的差異，這種差異正是我們思考的方向．左端含有根錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即 [證明]法一：∵a，b,c是不等正數(shù)，且abc＝1，∴a＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!。c∴錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝bc＋ca＋ab＝2＝2＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!.綜合法證明不等式,揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之a(chǎn)2＋b2＋c2≥錯(cuò)誤!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②bc3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即即a2＋b2＋c2≥3(a＋b＋c)2.③在不等式②的兩端同時(shí)加上2(ab＋bc＋ca)得:(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca),即錯(cuò)誤!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。④bcabbcca式本題考查分析法在證明不等式中的應(yīng)用．[證明]要證c－錯(cuò)誤!<a<c＋錯(cuò)誤!，即證|a－c|〈錯(cuò)誤!,222222c (1)當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的(2)分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆．證明：∵錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>0，2錯(cuò)誤!>0，∴要證錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!<2錯(cuò)誤!。只需證(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!)2〈(2錯(cuò)誤!)2.即證221<10,即證21<25(顯然成立)．證明：要證明(x2＋y2)錯(cuò)誤!>(x3＋y3)錯(cuò)誤!，(x2＋y2)3〉(x3＋y3)2.6422466336即證x＋3xy＋3xy64224663364224333xy＋3x42243322∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy。∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)錯(cuò)誤!>(x3＋y3)錯(cuò)誤!。[例3]設(shè)a〉0,b>0，且a＋b＝1，求證:錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!。[思路點(diǎn)撥]所證不等式含有開(kāi)方運(yùn)算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn) [證明]要證錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!，只需證(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!)2≤6，即證(a＋b)＋2＋2錯(cuò)誤!≤6。由a＋b＝1得只需證錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!，即證ab≤錯(cuò)誤!。得ab≤錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!,即ab≤錯(cuò)誤!成立．(1)通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法,或稱“兩頭擠"法,證明：要證2錯(cuò)誤!≤3錯(cuò)誤!，只需證a＋b－2錯(cuò)誤!≤a＋b＋c－3錯(cuò)誤!，即－2錯(cuò)誤!≤c－3錯(cuò)誤!.移項(xiàng),得c＋2錯(cuò)誤!≥3錯(cuò)誤!。得c＋2錯(cuò)誤!＝c＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥3錯(cuò)誤!成立．∵錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>2錯(cuò)誤!。A.＋錯(cuò)誤!≥2B.錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥a＋bC。錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥錯(cuò)誤!解析：選CA項(xiàng)滿足基本不等式；B項(xiàng)可等價(jià)變形為(a－b)2(a＋b)≥0,正確;C項(xiàng)中b＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!?！噱e(cuò)誤!＜錯(cuò)誤!,即a<b.222222222222∴a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)，即S<2P.5．設(shè)a,b，c都是正實(shí)數(shù),且a＋b＋c＝1，若M＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!，則M的取值范圍是________．∴M＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!≥2錯(cuò)誤!·2錯(cuò)誤!·2錯(cuò)誤!＝8.即M的取值范圍是[8，＋∞)．答案:[8，＋∞)∴R＝錯(cuò)誤!≤Q＝錯(cuò)誤!≤P＝錯(cuò)誤!，又(a－c)·錯(cuò)誤!＝[(a－b)＋(b－c)]·錯(cuò)誤!≥2錯(cuò)誤!·2錯(cuò)誤!＝4,當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－∴m∈(－∞,4]．＋b＋c)． (1)a＋b＋c≥錯(cuò)誤!；(2)錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!)．a(chǎn)bc錯(cuò)誤!，由于a,b,c＞0，因此只需證明(a＋b＋c)2≥3.即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，故只需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．22即證a＋b＋c≥ab＋bc22而這可以由ab＋bc＋ca≤錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)證得． (2)錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。中已證a＋b＋c≥3.只需證明錯(cuò)誤!≥錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!，即證abc＋b錯(cuò)誤!＋c錯(cuò)誤!≤1，即證a錯(cuò)誤!＋b錯(cuò)誤!＋c錯(cuò)誤!≤ab＋bc＋ca。而a錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!，b錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!,c錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!.所以a錯(cuò)誤!＋b錯(cuò)誤!＋c錯(cuò)誤!≤ab＋bc＋ca(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝錯(cuò)誤!時(shí)等號(hào)成立)．所以a＋a≥xy2錯(cuò)誤!＝2錯(cuò)誤!。因?yàn)閤－x2＝x(1－x)≤錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!,又因?yàn)?〈a<1，axxax立．所以ax＋ay＞2a，又∵0<a<1，a來(lái)，本文檔在發(fā)布之前我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行仔如有疏漏之處請(qǐng)指正，希望本文能為您解ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticlebutitisinevitablethattherewill