空間向量在立體幾何中的應用

空間向量在立體幾何中的應用1.立體幾何中有關垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明．

對于垂直問題，一般是利用進行證明；

對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明．

2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角或其補角，而求兩個向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。

要點詮釋：

平面的法向量的求法：

設n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個法向量（如圖）。

線線角的求法：

設直線AB、CD對應的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。

（注意：線線角的范圍[00,900]）

線面角的求法：

設n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。

二面角的求法：

設n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補角的大?。ㄈ鐖D）

3.用向量法求距離的公式

設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為（如圖）。

要點詮釋：

（1）點A到平面的距離：

，其中，是平面的法向量。

（2）直線與平面之間的距離：

，其中，是平面的法向量。

（3）兩平行平面之間的距離：

，其中，是平面的法向量。題組一一、填空題1．（北京五中2011屆高三上學期期中考試試題理）一個正方體形狀的無蓋鐵桶的容積是，里面裝有體積為的水，放在水平的地面上（如圖所示）.

現(xiàn)以頂點為支撐點，將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要從頂點處流出時，棱與地面所成角的余弦值為

答案2.

（福建省廈門雙十中學2011屆高三12月月考題理）平面內(nèi)有兩定點A，B，且|AB|=4，動點P滿足，則點P的軌跡是

.答案：以AB為直徑的圓；二、簡答題3．（福建省廈門雙十中學2011屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1=2。

（I）求證：C1D//平面ABB1A1；

（II）求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。答案（I）證明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，

…………2分ABCD是正方形，所以CD//AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，所以C1D//平面ABB1A1

…………4分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD因為A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz，

…………5分在中，由已知可得所以，

…………6分因為A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥平面A1B1C1D1A1D⊥B1D1。又B1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1D，

…………7分所以平面A1C1D的一個法向量為n=（1，1，0）

…………8分設與n所成的角為，則

所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為

…………9分

（III）解：平面A1C1A的法向量為

則

所以

令可得

…………11分則所以二面角的余弦值為

…………12分4．（北京五中2011屆高三上學期期中考試試題理）如圖①，正三角形邊長2，為邊上的高，、分別為、中點，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖②(1)判斷翻折后直線與面的位置關系，并說明理由(2)求二面角的余弦值(3)求點到面的距離圖①

圖②答案解：（1）平行（證明略）（2）取AE中點M,角BMD即所求,余弦值為（３），可得點到面的距離為5．（福建省惠安荷山中學2011屆高三第三次月考理科試卷）

（本題滿分13分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D為AB的中點.（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求證：；（3）求證：答案

5.

解：（1）在直三棱柱中

是所成的角（或其補角）………2分

在中，

…………4分

（2）連結(jié)交于，連結(jié)?！?分

則為的中點

又為的中點

……………7分

………………9分

（3）在直三棱柱中

…………10分

…………11分

…………12分

同理：

…………13分6．（寧夏銀川一中2011屆高三第五次月考試題全解全析理）（本小題滿分12分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．（1）求證：AE//平面DCF；（2）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為．【分析】（1）只要過點作的平行線即可；（2）由于點是點在平面內(nèi)的射影，只要過點作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計算問題。或者建立空間直角坐標系，使用法向量的方法求解?！窘馕觥?/p>

方法一：（Ⅰ）證明：過點作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，

從而四邊形為平行四邊形，故．因為平面，平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因為，，

所以，．又因為，所以，從而，于是，因為所以當為時，二面角的大小為………12分方法二：如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．設，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因為平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因為，，所以，，從而

解得．所以，．設與平面垂直，則，，解得．又因為平面，，所以，

得到．所以當為時，二面角的大小為．………12分【考點】空間點、線、面位置關系，空間向量與立體幾何?！军c評】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運算問題，空間向量有三個分坐標，在進行運算時極易出現(xiàn)錯誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢并不明顯，所以在復習立體幾何時，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應用。7．（北京龍門育才學校2011屆高三上學期第三次月考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，與的交點為，為側(cè)棱上一點．

（Ⅰ）當為側(cè)棱的中點時，求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）當二面角的大小為時，試判斷點在上的位置，并說明理由．

答案7.

（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，與的交點為，為側(cè)棱上一點．

（Ⅰ）當為側(cè)棱的中點時，求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）當二面角的大小為時，

試判斷點在上的位置，并說明理由．解法一：證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥．因為平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由已知可得，,是中點，所以．又因為四邊形是正方形，所以．因為，所以．又因為，所以平面平面．（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）知．而,

所以．又．所以是二面角的平面角，即．設四棱錐的底面邊長為2，在中，,

,

所以．又因為,

,所以是等腰直角三角形．由可知，點是的中點．解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，．建立如圖所示的空間直角坐標系．設四棱錐的底面邊長為2，則，，，，，．

所以，．設（），由已知可求得．所以，．設平面法向量為，則

即令，得．易知是平面的法向量．因為，所以，所以平面平面．（Ⅲ）解：設（），由（Ⅱ）可知，平面法向量為．因為，所以是平面的一個法向量．由已知二面角的大小為．所以，所以，解得．所以點是的中點．8．（北京四中2011屆高三上學期開學測試理科試題）（本小題滿分13分）已知：如圖，長方體

中，、分別是棱,上的點，,.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；（

2）證明平面；（

3）求二面角的正弦值.答案

解：

法一：

如圖所示，以點

A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設

,

依題意得,,,

（1）易得,,于是

所以異面直線與所成角的余弦值為（2）已知,

,

于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面（3）設平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是

，從而,

所以二面角的正弦值為法二：

（1）設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=連接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，由

,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知

BM=CM=,所以

,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）連接AC，設AC與DE交點N

因為，所以

，從而，又由于

,所以，故

AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.

連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,

所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1ED.

（3）連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角.易知，所以，

又

所以，在

,連接A1C1,A1F

在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為.9．（浙江省金麗衢十二校2011屆高三第一次聯(lián)考理）（本題滿分14分）如圖，在長方體中，，且．（I）求證：對任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影

平分？若存在,

求出的值,

若不存在，說明理由．答案解：（I）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，從而，

，即．（４分）（II）由（Ｉ）及得，，設平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設二面角為，所以（９分）（III）假設存在實數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，即

，即，解得

．所以存在滿足題意得實數(shù)，使得在平面上的射影平分

（14分）空間向量在立體幾何中的應用題組二一、選擇題1．（浙江省菱湖中學2011屆高三上學期期中考試理）

三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D為AB的中點∠ABC=90°，則點D到面SBC的距離等于（

）A．

B．

C．

D．答案

C.2．（河南省長葛第三實驗高中2011屆高三期中考試理）向量與共線（其中等于

（

）A．

B．

C．－2

D．2答案

A.二、填空題3．（浙江省桐鄉(xiāng)一中2011屆高三文）如圖，邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，現(xiàn)給出下列命題：①動點A′

在平面ABC上的射影在線段AF上；②三棱錐A′—FED的體積有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；④異面直線與BD不可能互相垂直；⑤異面直線FE與所成角的取值范圍是.其中正確命題的序號是

．（將正確命題的序號都填上）．答案

①②③⑤三，解答題4.

（河北省唐山一中2011屆高三文）（本題滿分12分）已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD.異面直線PB與CD所成的角為45°.求：

⑴二面角B—PC—D的大??；⑵直線PB與平面PCD所成的角的大小.答案

4.解：⑴∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB與CD所成的角，即∠PBA=45°,……1分

于是PA=AB.

作BE⊥PC于E，連接ED，在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，△ECB≌△ECD，∴∠CED=∠CEB=90°,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………4分設AB=a，則BD=PB=，PC=，

BE=DE=,cos∠BED=,∠BED=120°二面角B—PC—D的大小為120°；

……………6分⑵還原棱錐為正方體ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F,

∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，

∴BF⊥平面PB1CD,………………8分連接PF,則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角.……………10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°.所以就是直線PB與平面PCD所成的角為30°.…12分注：也可不還原成正方體,利用體積求出點B到平面PCD的距離，或用向量法解答.5.（廣東省河源市龍川一中2011屆高三文)（14分）如圖，一簡單幾何體的一個面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC。（1）證明：平面ACD平面；（2）若，，，試求該幾何體的體積V．答案

5.解：（１）證明：

∵DC平面ABC,平面ABC

∴．

----------------2分∵AB是圓O的直徑∴且

∴平面ADC．

---------------------------------------------------------------4分∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴DE//BC

∴平面ADC------------------------------------------------------------------6分又∵平面ADE

∴平面ACD平面-------------------------7分（2）解法１：所求簡單組合體的體積：-----9分∵，，

∴,-------------11分∴-------12分---------13分∴該簡單幾何體的體積-------------------------------14分解法5：將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱---8分如圖∵，，

∴,-------------10分∴=-----------------------------12分

=-----------------------------------------------14分6.

（廣西桂林十八中2011屆高三第四次月考試卷文）

（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，,點E是棱PB的中點.（1）證明：;（2）若AD=1，求二面角的大小.答案7