空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運(yùn)算來證明．

對(duì)于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；

對(duì)于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明．

2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。

要點(diǎn)詮釋：

平面的法向量的求法：

設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量（如圖）。

線線角的求法：

設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。

（注意：線線角的范圍[00,900]）

線面角的求法：

設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。

二面角的求法：

設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）

3.用向量法求距離的公式

設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為（如圖）。

要點(diǎn)詮釋：

（1）點(diǎn)A到平面的距離：

，其中，是平面的法向量。

（2）直線與平面之間的距離：

，其中，是平面的法向量。

（3）兩平行平面之間的距離：

，其中，是平面的法向量。題組一一、填空題1．（北京五中2011屆高三上學(xué)期期中考試試題理）一個(gè)正方體形狀的無蓋鐵桶的容積是，里面裝有體積為的水，放在水平的地面上（如圖所示）.

現(xiàn)以頂點(diǎn)為支撐點(diǎn)，將鐵桶傾斜，當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點(diǎn)處流出時(shí)，棱與地面所成角的余弦值為

答案2.

（福建省廈門雙十中學(xué)2011屆高三12月月考題理）平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A，B，且|AB|=4，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡是

.答案：以AB為直徑的圓；二、簡(jiǎn)答題3．（福建省廈門雙十中學(xué)2011屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1=2。

（I）求證：C1D//平面ABB1A1；

（II）求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。答案（I）證明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，

…………2分ABCD是正方形，所以CD//AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，所以C1D//平面ABB1A1

…………4分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD因?yàn)锳1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，

…………5分在中，由已知可得所以，

…………6分因?yàn)锳1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥平面A1B1C1D1A1D⊥B1D1。又B1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1D，

…………7分所以平面A1C1D的一個(gè)法向量為n=（1，1，0）

…………8分設(shè)與n所成的角為，則

所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為

…………9分

（III）解：平面A1C1A的法向量為

則

所以

令可得

…………11分則所以二面角的余弦值為

…………12分4．（北京五中2011屆高三上學(xué)期期中考試試題理）如圖①，正三角形邊長(zhǎng)2，為邊上的高，、分別為、中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖②(1)判斷翻折后直線與面的位置關(guān)系，并說明理由(2)求二面角的余弦值(3)求點(diǎn)到面的距離圖①

圖②答案解：（1）平行（證明略）（2）取AE中點(diǎn)M,角BMD即所求,余弦值為（３），可得點(diǎn)到面的距離為5．（福建省惠安荷山中學(xué)2011屆高三第三次月考理科試卷）

（本題滿分13分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求證：；（3）求證：答案

5.

解：（1）在直三棱柱中

是所成的角（或其補(bǔ)角）………2分

在中，

…………4分

（2）連結(jié)交于，連結(jié)?！?分

則為的中點(diǎn)

又為的中點(diǎn)

……………7分

………………9分

（3）在直三棱柱中

…………10分

…………11分

…………12分

同理：

…………13分6．（寧夏銀川一中2011屆高三第五次月考試題全解全析理）（本小題滿分12分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．（1）求證：AE//平面DCF；（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為．【分析】（1）只要過點(diǎn)作的平行線即可；（2）由于點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，只要過點(diǎn)作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計(jì)算問題?；蛘呓⒖臻g直角坐標(biāo)系，使用法向量的方法求解?！窘馕觥?/p>

方法一：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，

從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?，?/p>

所以，．又因?yàn)?，所以，從而，于是，因?yàn)樗援?dāng)為時(shí)，二面角的大小為………12分方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?/p>

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?，，所以，，從?/p>

解得．所以，．設(shè)與平面垂直，則，，解得．又因?yàn)槠矫?，，所以?/p>

得到．所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．………12分【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何?！军c(diǎn)評(píng)】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。7．（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，試判斷點(diǎn)在上的位置，并說明理由．

答案7.

（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，

試判斷點(diǎn)在上的位置，并說明理由．解法一：證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥．因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由已知可得?是中點(diǎn)，所以．又因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕驗(yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫嫫矫妫á螅┙猓哼B接，由（Ⅱ）知．而,

所以．又．所以是二面角的平面角，即．設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，在中，,

,

所以．又因?yàn)?

,所以是等腰直角三角形．由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)．解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，則，，，，，．

所以，．設(shè)（），由已知可求得．所以，．設(shè)平面法向量為，則

即令，得．易知是平面的法向量．因?yàn)椋?，所以平面平面．（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，平面法向量為．因?yàn)椋允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量．由已知二面角的大小為．所以，所以，解得．所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．8．（北京四中2011屆高三上學(xué)期開學(xué)測(cè)試?yán)砜圃囶}）（本小題滿分13分）已知：如圖，長(zhǎng)方體

中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；（

2）證明平面；（

3）求二面角的正弦值.答案

解：

法一：

如圖所示，以點(diǎn)

A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

,

依題意得,,,

（1）易得,,于是

所以異面直線與所成角的余弦值為（2）已知,

,

于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面（3）設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是

，從而,

所以二面角的正弦值為法二：

（1）設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=連接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由

,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知

BM=CM=,所以

,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N

因?yàn)?，所?/p>

，從而，又由于

,所以，故

AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.

連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,

所以AF⊥A1D因?yàn)?，所以AF⊥平面A1ED.

（3）連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角.易知，所以，

又

所以，在

,連接A1C1,A1F

在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為.9．（浙江省金麗衢十二校2011屆高三第一次聯(lián)考理）（本題滿分14分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，且．（I）求證：對(duì)任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影

平分？若存在,

求出的值,

若不存在，說明理由．答案解：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，從而，

，即．（４分）（II）由（Ｉ）及得，，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，所以（９分）（III）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，即

，即，解得

．所以存在滿足題意得實(shí)數(shù)，使得在平面上的射影平分

（14分）空間向量在立體幾何中的應(yīng)用題組二一、選擇題1．（浙江省菱湖中學(xué)2011屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚?/p>

三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D為AB的中點(diǎn)∠ABC=90°，則點(diǎn)D到面SBC的距離等于（

）A．

B．

C．

D．答案

C.2．（河南省長(zhǎng)葛第三實(shí)驗(yàn)高中2011屆高三期中考試?yán)恚┫蛄颗c共線（其中等于

（

）A．

B．

C．－2

D．2答案

A.二、填空題3．（浙江省桐鄉(xiāng)一中2011屆高三文）如圖，邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題：①動(dòng)點(diǎn)A′

在平面ABC上的射影在線段AF上；②三棱錐A′—FED的體積有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；④異面直線與BD不可能互相垂直；⑤異面直線FE與所成角的取值范圍是.其中正確命題的序號(hào)是

．（將正確命題的序號(hào)都填上）．答案

①②③⑤三，解答題4.

（河北省唐山一中2011屆高三文）（本題滿分12分）已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD.異面直線PB與CD所成的角為45°.求：

⑴二面角B—PC—D的大??；⑵直線PB與平面PCD所成的角的大小.答案

4.解：⑴∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB與CD所成的角，即∠PBA=45°,……1分

于是PA=AB.

作BE⊥PC于E，連接ED，在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，△ECB≌△ECD，∴∠CED=∠CEB=90°,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………4分設(shè)AB=a，則BD=PB=，PC=，

BE=DE=,cos∠BED=,∠BED=120°二面角B—PC—D的大小為120°；

……………6分⑵還原棱錐為正方體ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F,

∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，

∴BF⊥平面PB1CD,………………8分連接PF,則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角.……………10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°.所以就是直線PB與平面PCD所成的角為30°.…12分注：也可不還原成正方體,利用體積求出點(diǎn)B到平面PCD的距離，或用向量法解答.5.（廣東省河源市龍川一中2011屆高三文)（14分）如圖，一簡(jiǎn)單幾何體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC。（1）證明：平面ACD平面；（2）若，，，試求該幾何體的體積V．答案

5.解：（１）證明：

∵DC平面ABC,平面ABC

∴．

----------------2分∵AB是圓O的直徑∴且

∴平面ADC．

---------------------------------------------------------------4分∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴DE//BC

∴平面ADC------------------------------------------------------------------6分又∵平面ADE

∴平面ACD平面-------------------------7分（2）解法１：所求簡(jiǎn)單組合體的體積：-----9分∵，，

∴,-------------11分∴-------12分---------13分∴該簡(jiǎn)單幾何體的體積-------------------------------14分解法5：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱---8分如圖∵，，

∴,-------------10分∴=-----------------------------12分

=-----------------------------------------------14分6.

（廣西桂林十八中2011屆高三第四次月考試卷文）

（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).（1）證明：;（2）若AD=1，求二面角的大小.答案7