2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)圓錐曲線中的證明問題（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)圓錐曲線中的證明問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1數(shù)量關(guān)系的證明【例1】（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，圓心在直線y＝eq\f(1,2)x上的圓E與x軸相切，且點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M(－1,0)對(duì)稱．(1)求E和Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線l與圓E交于A，B兩點(diǎn)，與Γ交于C，D兩點(diǎn)，求證：|CD|＞eq\r(2)|AB|.【解題指導(dǎo)】【解題技法】解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消參”的推理及運(yùn)算，借助幾何直觀，達(dá)到證明的目的.【跟蹤訓(xùn)練】（2022·華南師大附中三模）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作橢圓的兩條弦，（，分別位于第一、二象限）．若，與直線分別交于點(diǎn)，．求證：．考法2位置關(guān)系的證明【例2】（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點(diǎn)為，，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是．【解題指導(dǎo)】（Ⅰ）利用離心率以及焦點(diǎn)的坐標(biāo)→求出和的值→求出的值→橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）先證明充分性，設(shè)直線的方程→利用圓心到直線的距離公式求出的值→聯(lián)立直線與橢圓的方程→求出即可；再證明必要性，設(shè)直線的方程→由圓心到直線的距離公式求出和的關(guān)系→聯(lián)立直線與橢圓的方程→求出，得到方程→求出和的值→得到直線必過點(diǎn)→結(jié)論．【解題技法】樹立“轉(zhuǎn)化”意識(shí)，證明位置關(guān)系，關(guān)鍵是將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)邊相等斜率相等，或向量平行對(duì)邊相等橫（縱）坐標(biāo)差相等對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合兩邊垂直數(shù)量積為0【跟蹤訓(xùn)練】（2022?山東煙臺(tái)一中高三模擬）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于，兩點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作相互垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線垂直于軸，與橢圓交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在橢圓上．2．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，是雙曲線（，）上一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為3.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，求證：直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為M，證明：三點(diǎn)共線.4．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．5．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)，直線與圓相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB斜率為，，且，證明：6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.7．（2023·河南平頂山·葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為．(1)設(shè)M是C上任意一點(diǎn)，M到直線的距離為d，證明：為定值．(2)過點(diǎn)且斜率為k的直線與C自左向右交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．8．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，，為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn).延長，分別交拋物線于點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn).(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點(diǎn)在定直線上.9．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線與圓柱，圓錐關(guān)系非常密切.有一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱豎直放置，與水平面成45°方向截圓柱，所得截面恰為橢圓，以該橢圓中心為原點(diǎn)，長軸為軸，短軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求該橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，一條斜率不為0的直線過原點(diǎn)與該橢圓交于，，直線和分別與橢圓交于，，過原點(diǎn)作，垂足為，證明：存在定點(diǎn)使得恒成立.10．（2023·北京海淀·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓交x軸于與G交于y軸．(1)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若與G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍(3)設(shè)直線交G于（l的傾斜角正弦值的絕對(duì)值小于等于），以為鄰邊作平行四邊形在橢圓G上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：的最小值與的某三角函數(shù)值相等圓錐曲線中的證明問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1數(shù)量關(guān)系的證明【例1】（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，圓心在直線y＝eq\f(1,2)x上的圓E與x軸相切，且點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M(－1,0)對(duì)稱．(1)求E和Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線l與圓E交于A，B兩點(diǎn)，與Γ交于C，D兩點(diǎn)，求證：|CD|＞eq\r(2)|AB|.【解題指導(dǎo)】【解析】(1)設(shè)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py，p＞0，則F.已知點(diǎn)E在直線y＝eq\f(1,2)x上，故可設(shè)E(2a，a)．因?yàn)镋，F(xiàn)關(guān)于M(－1,0)對(duì)稱，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋0,2)＝－1，,\f(\f(p,2)＋a,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,p＝2.))所以拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.因?yàn)閳AE與x軸相切，故半徑r＝|a|＝1，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，那么其方程為y＝k(x＋1)(k≠0)．則E(－2，－1)到l的距離d＝eq\f(|k－1|,\r(k2＋1))，因?yàn)閘與E交于A，B兩點(diǎn)，所以d2＜r2，即eq\f(k－12,k2＋1)＜1，解得k＞0，所以|AB|＝2eq\r(1－d2)＝2eq\r(\f(2k,k2＋1)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋1))消去y并整理得，x2－4kx－4k＝0.Δ＝16k2＋16k＞0恒成立，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，那么|CD|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(k2＋1)·eq\r(k2＋k).所以eq\f(|CD|2,|AB|2)＝eq\f(16k2＋1k2＋k,\f(8k,k2＋1))＝eq\f(2k2＋12k2＋k,k)＞eq\f(2k,k)＝2.所以|CD|2＞2|AB|2，即|CD|＞eq\r(2)|AB|.【解題技法】解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消參”的推理及運(yùn)算，借助幾何直觀，達(dá)到證明的目的.【跟蹤訓(xùn)練】（2022·華南師大附中三模）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作橢圓的兩條弦，（，分別位于第一、二象限）．若，與直線分別交于點(diǎn)，．求證：．【解析】（1）∵橢圓過點(diǎn)，則，又，則．又，∴聯(lián)立上述式子，解得，，故橢圓的方程為．（2）由題意，可設(shè)直線：，：，，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，將直線方程代入橢圓，整理得，而，由韋達(dá)定理可得，，，同理得：，，∵，，且三點(diǎn)，，共線，∴，將，代入并整理可得，又，即，∴，同理：，∴，∴，，故．考法2位置關(guān)系的證明【例2】（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點(diǎn)為，，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是．【解題指導(dǎo)】（Ⅰ）利用離心率以及焦點(diǎn)的坐標(biāo)→求出和的值→求出的值→橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）先證明充分性，設(shè)直線的方程→利用圓心到直線的距離公式求出的值→聯(lián)立直線與橢圓的方程→求出即可；再證明必要性，設(shè)直線的方程→由圓心到直線的距離公式求出和的關(guān)系→聯(lián)立直線與橢圓的方程→求出，得到方程→求出和的值→得到直線必過點(diǎn)→結(jié)論．【解析】（Ⅰ）由題意可得，橢圓的離心率，又，所以，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）證明：先證明充分性，若，，三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線的方程為，卡殼點(diǎn)：，，三點(diǎn)共線不能轉(zhuǎn)化直線MN過點(diǎn)F則圓心到直線的距離為，解得，聯(lián)立方程組，可得，即，所以；所以充分性成立；下面證明必要性，【提醒】忽視必要性的證明當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，則，聯(lián)立方程組，可得，則△，因?yàn)椋?，，因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，則，易錯(cuò)點(diǎn)：忽視則直線的方程為恒過焦點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線，所以必要性得證．綜上所述，，，三點(diǎn)共線的充要條件是．【解題技法】樹立“轉(zhuǎn)化”意識(shí)，證明位置關(guān)系，關(guān)鍵是將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)邊相等斜率相等，或向量平行對(duì)邊相等橫（縱）坐標(biāo)差相等對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合兩邊垂直數(shù)量積為0【跟蹤訓(xùn)練】（2022?山東煙臺(tái)一中高三模擬）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于，兩點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作相互垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱．【解析】（1）設(shè)，點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直于軸的直線交的點(diǎn)，，又，，即，，解得，，，橢圓的方程為．（2）證明：由題意得直線，的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，即直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，△，由韋達(dá)定理可得，，為的中點(diǎn)，，，，，同理用代替得，，，設(shè)，，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最小，即最大，此時(shí)，解得，，，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，即得證．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線垂直于軸，與橢圓交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在橢圓上．【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓上的兩點(diǎn)求得的值，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，，不妨令，可得直線的直線方程，聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，將橫縱坐標(biāo)代入橢圓方程進(jìn)行驗(yàn)證即可證明.【詳解】（1）由題意知，將點(diǎn)代入橢圓方程得，即，所以橢圓C的方程．（2）證明：由（1）知，設(shè)，，設(shè)，，不妨令，則，，聯(lián)立兩直線方程解得，，從而，，有，，從而，所以點(diǎn)M在橢圓上．2．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，是雙曲線（，）上一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為3.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，求證：直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)斜率公式，結(jié)合點(diǎn)滿足，即可求雙曲線的漸近線方程；（2）首先利用點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)直線的直線方程，并聯(lián)立求交點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，證明.【詳解】（1）由題意，，，滿足，即.于是，，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由題，，，直線，直線.聯(lián)立直線與直線方程，解得，故.由（1）知雙曲線，故，于是直線，即，即，與雙曲線聯(lián)立得：，即，即，因?yàn)?，所以直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為M，證明：三點(diǎn)共線.【分析】（1）根據(jù)題意求得c，結(jié)合離心率求得，即得答案；（2）判斷直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，并和橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，的坐標(biāo)，利用向量的共線證明三點(diǎn)共線，即得結(jié)論.【詳解】（1）∵橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的焦點(diǎn)為,∴,又，∴,∴,∴橢圓C的方程為.（2）證明：由（1）知橢圓C的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為：，此時(shí)直線l與橢圓C沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，則.聯(lián)立，消去y得，∴，解得,∴，,∵，，又，，∴，∵與共線，而與有公共點(diǎn),即、、三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題涉及到直線和橢圓的位置關(guān)系的問題，解答并不困難，要證明三點(diǎn)共線，一般結(jié)合向量的共線來證明，利用向量共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可.4．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．【分析】（1）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長公式，求出的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為或，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，由,消元得，，，；由弦長公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．法二：設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，．因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中的證明問題的關(guān)鍵是：設(shè)出直線的橫截距或者縱截距方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理，把目標(biāo)逐步化簡(jiǎn)，得出待證明的結(jié)論.5．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)，直線與圓相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB斜率為，，且，證明：【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合得出，或，進(jìn)而由證明.【詳解】（1）由題意可得，，解得.故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和橢圓方程，得則即，整理得解得，或當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題二時(shí)，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理以及得出或與的關(guān)系，再由斜率公式證明.6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為2和，即可求得本題答案；（2）（i）設(shè)AB直線方程為，，得，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消，然后由韋達(dá)定理得，，把逐步化簡(jiǎn)，即可求得本題答案；（ii）把和的直線方程分別求出，聯(lián)立可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得到本題答案.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線其中一條漸近線方程為，又點(diǎn)到它的距離為2，所以，又，得，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線C的方程為.（2）（2）設(shè)AB直線方程為，則，代入雙曲線方程整理得：，設(shè)，則，，（i）而，所以，，則，所以；（ii）過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為與聯(lián)立，得，即，則，所以，由，兩式相除得，，則，所以，因?yàn)?，所以，故P為線段MQ的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小題第一問考了如何用表示出來，進(jìn)而利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的求解能力7．（2023·河南平頂山·葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為．(1)設(shè)M是C上任意一點(diǎn)，M到直線的距離為d，證明：為定值．(2)過點(diǎn)且斜率為k的直線與C自左向右交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【分析】（1）利用橢圓方程及左焦點(diǎn)可得到，設(shè)，代入橢圓方程，即可計(jì)算出為定值；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓可得二次方程，利用判別式可得，寫出韋達(dá)定理，然后利用題意的向量關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求證【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，即，設(shè)，則，即，所以，故為定值．（2）依題意可知過點(diǎn)P的直線方程為，，，聯(lián)立得，由，得，，．依題意可設(shè)，由點(diǎn)Q在線段AB上，得，所以，由，，得，即，則，即，將，代入上式并整理得，解得，所以．又，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，，為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn).延長，分別交拋物線于點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn).(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點(diǎn)在定直線上.【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得拋物線方程，設(shè)，，直線的方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)弦長公式求得，再結(jié)合基本不等式即可得解；（2）設(shè)，，，根據(jù)，，三點(diǎn)共線和，，三點(diǎn)共線，求得，再結(jié)合（1）即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線定義可知，，解得，即拋物線方程為，由題意，設(shè)，，直線的方程，由，消去得，恒成立，由韋達(dá)定理可知：，，故，因?yàn)椋灾本€的方程為，于是，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為32；（2）設(shè)，，，因?yàn)?，，，都在上，所以，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以有，即，整理得：，同理，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得，即，解得：，由（1）可知，，代入上式可得：，得，即點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式及拋物線與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了拋物線中四邊形的面積的最值問題，及拋物線中的定直線問題，考查了邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度.9．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線與圓柱，圓錐關(guān)系非常密切.有一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱豎直放置，與水平面成45°方向截圓柱，所得截面恰為橢圓，以該橢圓中心為原點(diǎn)，長軸為軸，短軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求該橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，一條斜率不為0的直線過原點(diǎn)與該橢圓交于，，直線和分別與橢圓交于，，過原點(diǎn)作，垂足為，證明：存在定點(diǎn)使得恒成立.【分析】（1）由幾何意義判斷出橢圓短軸長為2，長軸為，求出，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)，.利用“設(shè)而不求法”證明出直線過定點(diǎn).利用圓的性質(zhì)判斷出，滿足，且.【詳解】（1）由題意可知橢圓短軸長為圓柱直徑2，長軸