數(shù)學(xué)模型方法探究

PAGEPAGE7數(shù)學(xué)模型方法探究數(shù)學(xué)模型方法，不僅僅僅僅僅是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法，而且還是處理科技領(lǐng)域中各種實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法?，F(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于天然科學(xué)與社會科學(xué)的一切領(lǐng)域。曾說：“一門科學(xué)只要成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，能力到達(dá)了完善的地步。〞如今數(shù)學(xué)在發(fā)展高科技、提升生產(chǎn)力及加強(qiáng)系統(tǒng)管理科學(xué)等方面的主要性已日益被人們所認(rèn)識。新課程施行后，數(shù)學(xué)模型是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中的主要內(nèi)容，這些內(nèi)容雖不單獨(dú)設(shè)置卻浸透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中。下面我就對數(shù)學(xué)模型的概念、類別和缺點(diǎn)、在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用及建模能力的培養(yǎng)談?wù)勔恍┛捶?。一、?shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采取形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)構(gòu)造。這種數(shù)學(xué)構(gòu)造是借助于數(shù)學(xué)概念和符號刻畫出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系構(gòu)造，所以在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)成經(jīng)過中，已經(jīng)用了抽象分析法，能夠說抽象分析法是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的基本手段。從廣義上講，數(shù)學(xué)中的各種基本概念如實(shí)數(shù)、向量、集合等可叫做數(shù)學(xué)模型，由于它們是以各自相應(yīng)的實(shí)體為背景加以抽象出來的最基本的數(shù)學(xué)概念，這種可稱為原始模型。如例1：天然數(shù)1、2、3、4…n是用來描繪敘述離散型數(shù)量的模型；例2：每一個(gè)代數(shù)方程或數(shù)學(xué)公式也是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，如ax+bx+c=0。但狹義的解釋，只要那些反映特定問題或特定的詳細(xì)事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)造才叫數(shù)學(xué)模型。一般的，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型都作狹義講，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決實(shí)際問題。二、數(shù)學(xué)模型的類別1.根據(jù)建立模型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分類，如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、規(guī)劃模型等。2.按模型的表現(xiàn)特性，可分為確定性模型與隨機(jī)模型、靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續(xù)模型。3.根據(jù)建模目的分，有描繪敘述型模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。三、數(shù)學(xué)模型的缺點(diǎn)1.模型的非預(yù)制性。實(shí)際問題各種各樣，變化萬千，這使得建模自己經(jīng)常是事先沒有答案::::的問題，在建立新的模型的經(jīng)過中，以至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。2.模型的局限性。首先模型是現(xiàn)實(shí)對象簡化、理想化的產(chǎn)品，所以一旦將模型的結(jié)論用于實(shí)際問題，那些被忽視的因素必需考慮，因而結(jié)論的通用性和精到準(zhǔn)確性只是相對的。另外，由于人們認(rèn)識能力和數(shù)學(xué)自己發(fā)展水平的限制，有不少實(shí)際問題很難得到有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型。四、建模的步驟建模經(jīng)過有哪些步驟與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，下面我們先看兩個(gè)例子：例一：家用電器一件，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，每期付款數(shù)一樣，每期為一個(gè)月，購買后一個(gè)月付款一次，再過一個(gè)月又付款一次，共12次，即購買一年后付清，若按月利率8‰，每月復(fù)利計(jì)算一次，那么每期應(yīng)付款多少？這是一道關(guān)于分期付款的實(shí)際應(yīng)用題，我們要求解就必需構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。通過分析，問題具體表現(xiàn)出出的等量關(guān)系為分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于所購物品的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和。因而，設(shè)每期應(yīng)付款為x元，那么，到最后一次付款時(shí)，第一期付款及所生利息之和為x×1.008，第二期付款及所生利息之和為x×1.008，第三期付款及所生利息之和為x×1.008，…………第十一期付款及所生利息之和為x×1.008，第十二期付款及所生利息之和為x，而所購電器的現(xiàn)價(jià)及其利息之和為2000×1.008，由此x×〔1+1.008+1.008+…1.008〕=2000×1.008，由等比數(shù)例求和公式得：∴x≈175.46〔元〕也就是每期應(yīng)付款175.46元。例二：關(guān)于物體冷卻經(jīng)過一個(gè)問題：設(shè)某物體置于氣溫為24℃的空氣中，在時(shí)刻t=0時(shí)，物體溫度為u=150℃，經(jīng)過10分鐘后物體溫度變?yōu)閡=100℃，試確定該物體溫度u與時(shí)間t之間的關(guān)系并計(jì)算t=20分鐘時(shí)物體的溫度。為了解決此問題就要構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型，首先由于該問題牽涉必定性現(xiàn)象，故要選取一個(gè)確定性數(shù)學(xué)模型。又為了反映物體冷卻經(jīng)過這樣一個(gè)物理現(xiàn)象，還必需應(yīng)用牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化率恒與該物體和所在介質(zhì)之溫差成正比。在該問題里，物體溫度u應(yīng)是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，記為u=u〔t〕。對初始溫度u而言，溫差為u-u〔u為空氣介質(zhì)溫度〕。我們又知道，應(yīng)變量〔函數(shù)〕的變化率可用導(dǎo)數(shù)概念來表述，于是物體冷卻經(jīng)過〔現(xiàn)實(shí)原型〕的數(shù)學(xué)模型就是如下形式的微分方程：=-k〔u-u〕，k為比例常數(shù)，在詳細(xì)問題里可確定下來。詳細(xì)問題要求出函數(shù)關(guān)系u=u〔t〕的顯式表示。易得log〔u-u〕=-kt+c∴u-u=A?e，其中A為常數(shù)，代入t=0時(shí)，u=u，則u-u=Ae°=A，∴u=〔u-u〕e+u這就是方程解。有了一般模型，只要把實(shí)際問題里的詳細(xì)數(shù)據(jù)一一代入即可。100=〔150-24〕e+24∴k=0.051因而對詳細(xì)問題有特殊模型為u=24+126e，將t=20代入則得u〔20〕=24+40=64答案::::即為64℃。所以我們建立數(shù)學(xué)模型的步驟能夠歸納如下：模型預(yù)備：首先要了解問題的實(shí)際情境，情況明白能力方法正確。總之，要做好建模的預(yù)備工作。提出問題：通過恰當(dāng)假設(shè)，將問題進(jìn)行簡化。模型構(gòu)成：根據(jù)分析對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)工具，構(gòu)造各個(gè)量〔常量和變量〕之間的等式〔或不等式〕關(guān)系或其它數(shù)學(xué)構(gòu)造。建模時(shí)應(yīng)遵守的一個(gè)原則是，盡量采取簡單的數(shù)學(xué)工具，這樣才有利于更多的人了解和使用。模型求解：能夠采取解方程、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)方法，可以使用近代的數(shù)學(xué)方法如計(jì)算機(jī)技術(shù)等。模型檢驗(yàn)：把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。若符合則得出結(jié)果：若不符合實(shí)際則應(yīng)從新建模，直到檢驗(yàn)結(jié)果符合實(shí)際為止。四、有關(guān)數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的建議在分析了數(shù)學(xué)建模的物點(diǎn)、經(jīng)過之后，我們知道用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題首先是用數(shù)學(xué)語言表述問題，即構(gòu)造模型，這就需要有廣博的知識、足夠的經(jīng)歷體驗(yàn)、豐富的想象力和敏銳的洞察力。1.老師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)建模的先驅(qū)者，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況提出一些問題供學(xué)生選擇，如關(guān)于哥尼斯堡七橋問題；或者提供一些實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，如銀行的分期付款問題、公平的席位分配、流行癥的隨機(jī)感染、線性規(guī)劃等問題。十分要鼓勵(lì)學(xué)生從自己生活的世界中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。2.數(shù)學(xué)建?？刹捎谜n題組的學(xué)習(xí)形式，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會單獨(dú)考慮，分工合作，溝通討論，相互幫助。3.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器。4.老師應(yīng)指點(diǎn)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模報(bào)告，并及時(shí)給出評價(jià)，評價(jià)內(nèi)容應(yīng)堅(jiān)持創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效