第六章線性代數(shù)方程組的迭代解法

§3超松弛(SOR)迭代法/*OverrelaxationIteration*/一、超松弛(SOR)迭代法思想類似于G-S迭代法的改進方法，利用第k次迭代值和第k+1次的G-S迭代值作加權(quán)平均G-S迭代法的計算公式

：作加權(quán)平均超松弛(SOR)迭代法的分量形式：其中稱為松弛因子；時即為G-S迭代SOR迭代法的迭代矩陣：記超松弛(SOR)迭代法的迭代公式迭代矩陣例4：寫出SOR迭代法求解下列方程組的迭代格式解：SOR迭代法的迭代公式取初始向量選取不同的值進行計算，結(jié)果見下表

要求精度迭代次數(shù)

0.00112(3.00127903.9989342-5.0002665)0.000116(3.00019523.9998374-5.0000407)0.0000121(3.00001863.9999845-5.0000039)0.00112(3.00201913.9982705-5.0004444)0.000118(3.00016733.9998567-5.0000368)0.0000123(3.00002103.9999820-5.0000046)0.0018(2.99974514.0000653-4.9998924）0.000110(2.99998534.0000031-4.9999935）0.0000112(2.99999934.0000001-4.9999996）0.00113(3.00061044.0001741-5.0007434)0.001151(2.99951064.0017780-5.0027919）方程組的近似解的值向后的SOR迭代法：記SOR迭代法的向量形式：迭代矩陣：向后SOR迭代法的分量形式：對稱超松弛迭代法（SSOR）：例5：寫出下列方程組向后的SOR和SSOR的迭代格式解：向后的SOR迭代法的迭代格式SSOR迭代法的迭代格式

所用方法

要求精度迭代次數(shù)

hSOR0.0018(2.99984264.0003635-4.9995660）0.000110(2.99999914.0000051-4.9999831）0.0000111(3.00000123.9999988-5.0000027）SSOR0.00118(3.00089003.9985916-5.0003161)0.000123(3.00009393.9998514-5.0000334)0.00001

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(3.00000993.9999843-5.0000035）方程組的近似解取初始向量選取進行計算，結(jié)果見下表二、SOR迭代法的收斂性：其中對，設(shè)其對角元皆非零，則對所有實數(shù)，有證明：設(shè)迭代矩陣的特征值為推論6.1如果求解方程組的SOR法收斂，則設(shè)為對稱正定矩陣，且則求解方程組的SOR法收斂。證明：迭代矩陣設(shè)的任意特征值為，相應(yīng)的特征向量為，則上式兩邊與作內(nèi)積因為矩陣正定，所以也正定：記則分子減去分母：因為矩陣正定，設(shè)為對稱矩陣，且所有對角元，若求解方程組的SOR法收斂，則正定，且。證明：記由得考察二次型注意到說明二次型是單調(diào)遞減趨于零如果不是正定的，則存在非零向量，滿足且有矛盾設(shè)為對稱正定矩陣，且則求解方程組的SSOR法收斂。證明類似于定理6.13。例6：分別用GS和SOR法計算下列方程組，問：用GS法計算該方程組，則收斂的充要條件是當滿足，且時，SOR法收斂。滿足三、最佳松弛因子的計算公式設(shè)，如果能找到排列陣，使得其中與均為對角方陣，則稱為2-循環(huán)的。設(shè)，且都和無關(guān)，則稱是相容次序矩陣。如果時，矩陣的特征值設(shè)，且的所有對角元且是2-循環(huán)和相容次序矩陣，記的特征值均在上，并記為求解方程組的Jacobi迭代矩陣，且則求解方程組的SOR方法的迭代矩陣的譜半徑滿足：且當