基本公式直線的斜率直線的方程

基本公式直線的斜率直線的方程第1頁/共88頁第2頁/共88頁第3頁/共88頁第4頁/共88頁第5頁/共88頁第6頁/共88頁第7頁/共88頁第8頁/共88頁第9頁/共88頁第10頁/共88頁第11頁/共88頁第12頁/共88頁第13頁/共88頁1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三點(diǎn)共線，則x等于()(A)-1(B)1(C)-3(D)3【解析】選C.因?yàn)橛諥、B、C三點(diǎn)共線，所以kAB=kAC，即解得：x=-3.第14頁/共88頁2.直線x-y+a=0(a為常數(shù))的傾斜角為()(A)30°(B)60°(C)150°(D)120°【解析】選B.由直線方程得y=x+a，所以斜率k=,設(shè)傾斜角為α,所以tanα=,又0°≤α<180°，所以α=60°.第15頁/共88頁3.A、B為數(shù)軸上的兩點(diǎn),B的坐標(biāo)為-5,BA=-6,則A的坐標(biāo)為()(A)-11(B)-1或11(C)-1(D)1或-11【解析】選A.設(shè)A的坐標(biāo)為x,則BA=x-(-5)=x+5,又∵BA=-6,∴x+5=-6,x=-11.第16頁/共88頁4.如果A·C<0,且B·C<0，那么直線Ax+By+C=0不通過()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選C.由已知得直線Ax+By+C=0在x軸上的截距在y軸上的截距故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.第17頁/共88頁5.過點(diǎn)(2，1)且在x軸上的截距是在y軸截距2倍的直線方程為____________.【解析】若直線過原點(diǎn)，滿足條件，方程為若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為又過(2,1)點(diǎn)，解得b=2.答案：或x+2y-4=0第18頁/共88頁第19頁/共88頁第20頁/共88頁第21頁/共88頁

兩點(diǎn)間距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式【例1】(1)已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1=a+b,x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).(2)已知函數(shù)求f(x)的最小值，并求取得最小值時(shí)x的值.【審題指導(dǎo)】(1)明確AB為數(shù)軸上的數(shù)量(或坐標(biāo))，明確d(A,B)為A、B兩點(diǎn)間的距離.(2)將兩被開方式配方，可發(fā)現(xiàn)f(x)表示平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)的距離之和，最后利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.1第22頁/共88頁【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b;d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.(2)上式表示點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(2，2)的距離加上點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)B(1，1)的距離，即求x軸上一點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)A(2，2)、B(1，1)的距離之和的最小值.第23頁/共88頁由圖利用對(duì)稱可知，函數(shù)f(x)的最小值為兩點(diǎn)B′(1,-1)和A(2，2)間的距離.再由兩點(diǎn)式直線方程得B′A的方程為3x-y-4=0，令y=0得故時(shí)，f(x)取得最小值第24頁/共88頁【規(guī)律方法】1.數(shù)軸的公式(1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A(x1),B(x2),則向量的坐標(biāo)AB=x2-x1,A、B兩點(diǎn)間的距離為d(A,B)=｜AB｜=｜｜=｜x2-x1｜.(2)數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C,都有和AC=AB+BC成立.第25頁/共88頁提醒：要注意、AB與｜AB｜的不同.表示起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量的坐標(biāo)(或數(shù)量),它是一個(gè)實(shí)數(shù),其前面的正號(hào)或負(fù)號(hào)表示向量的方向與軸同向或反向;｜AB｜表示向量的大小,即線段AB的長(zhǎng)度.第26頁/共88頁2.兩點(diǎn)間的距離公式平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離表示為(1)當(dāng)P1P2平行于x軸時(shí)，d(P1,P2)=|x2-x1|;(2)當(dāng)P1P2平行于y軸時(shí)，d(P1,P2)=|y2-y1|;(3)當(dāng)P2點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，d(P1,P2)=第27頁/共88頁【互動(dòng)探究】若本例(2)中求f(x)的最大值，并求取得最大值時(shí)x的值.【解析】上式表示P(x,0)到A(2，2)與到B(1，1)的距離之差，∵AB的方程為x-y=0，令y=0得x=0.∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)max=.第28頁/共88頁【變式訓(xùn)練】已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).【解題提示】利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即得.第29頁/共88頁【解析】如圖，若ABCD1成平行四邊形,∵對(duì)角線AC、BD1互相平分,∴AC、BD1的中點(diǎn)重合.設(shè)D1(x1，y1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有解得第30頁/共88頁∴點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(-3,0).若ABD2C成平行四邊形,則同理可求得點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(1,8).若AD3BC成平行四邊形,則同理可求得點(diǎn)D3的坐標(biāo)為(9,-4).綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,0)或(1，8)或(9，-4).第31頁/共88頁

直線的傾斜角與斜率【例2】(1)若直線l與直線y=1,x=7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，則直線l的斜率為()(2)直線的傾斜角的范圍是()2第32頁/共88頁【審題指導(dǎo)】(1)關(guān)鍵抓住PQ的中點(diǎn)，求出P、Q的坐標(biāo)(2)關(guān)鍵抓住直線方程，求出斜率取值范圍,從而結(jié)合正切函數(shù)圖象得到傾斜角的取值范圍.【自主解答】(1)選B.依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1),Q(7,b),則有解得a=-5,b=-3,從而可知直線l的斜率為(2)選B.由得直線斜率∵-1≤cosα≤1，設(shè)直線的傾斜角為θ，則結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，第33頁/共88頁【規(guī)律方法】1.若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)，一般根據(jù)k=tanα求斜率.2.若已知直線上兩點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)(x1≠x2)，一般根據(jù)斜率公式求斜率.第34頁/共88頁3.已知傾斜角的范圍，求斜率的范圍，實(shí)質(zhì)上是求k=tanα的值域問題；已知斜率k的范圍求傾斜角的范圍，實(shí)質(zhì)上是在上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式問題.由于函數(shù)k=tanα在上不單調(diào)，故一般借助該函數(shù)圖象來解決此類問題.第35頁/共88頁【互動(dòng)探究】若將本例(2)中直線變?yōu)?(m∈R且m≠0)，則該直線傾斜角的范圍如何？【解析】選A.由得斜率得：或設(shè)直線的傾斜角為θ，則或結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知：或第36頁/共88頁【變式訓(xùn)練】(2011·長(zhǎng)沙模擬)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(-1，1)和Q(2，2)，若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】如圖所示，直線l:x+my+m=0過定點(diǎn)A(0，-1)，當(dāng)m≠0時(shí)第37頁/共88頁解得或當(dāng)m=0時(shí)，直線l方程為x=0，與線段PQ有交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為第38頁/共88頁

直線的方程【例3】(2011·廈門模擬)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)且與x,y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△OAB的面積為12,求直線l的方程.【審題指導(dǎo)】抓住題目中△AOB的面積與截距有關(guān)，從而選直線方程的截距式求解，若關(guān)注直線l過定點(diǎn)P(3,2)，可選用直線的點(diǎn)斜式方程求解.3第39頁/共88頁【自主解答】方法一：設(shè)直線l的方程為(a>0,b>0),∴A(a,0),B(0,b),解得∴所求直線l的方程為即2x+3y-12=0.方法二：設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0，得直線l在x軸的正半軸上截距令x=0,得直線l在y軸的正半軸上的截距b=2-3k,第40頁/共88頁解得∴所求直線l的方程為即2x+3y-12=0.第41頁/共88頁【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法有：1.直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程.2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程.再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程.提醒：求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論.在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0,若不確定，則需分類討論.第42頁/共88頁【變式訓(xùn)練】求適合下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-3)，傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.【解析】(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為即2x-3y=0.若a≠0,則設(shè)l的方程為∵l過點(diǎn)(3，2)，∴a=5,∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0.綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.第43頁/共88頁(2)由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為α,則所求直線的傾斜角為2α,∵tanα=3，又直線經(jīng)過點(diǎn)A(-1，-3),因此所求直線方程為即3x+4y+15=0.第44頁/共88頁【例】直線l過點(diǎn)P(1,4),分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程；(2)當(dāng)|PA|·|PB|最小時(shí)，求l的方程.【審題指導(dǎo)】抓住直線l過點(diǎn)P(1,4),設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程.將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)用斜率k表示.進(jìn)而將|OA|+|OB|、|PA|·|PB|再分別表示為斜率k的函數(shù)，然后求其最值.第45頁/共88頁【規(guī)范解答】設(shè)直線l的斜率為k.依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù),則y-4=k(x-1)(k<0).令y=0,可得A(0)；令x=0,可得B(0,4-k).第46頁/共88頁(1)∴當(dāng)且僅當(dāng)且k<0,即k=-2時(shí)，|OA|+|OB|取最小值.這時(shí)l的方程為2x+y-6=0.第47頁/共88頁(2)|PA|·|PB|=∴當(dāng)且僅當(dāng)且k<0即k=-1時(shí)，|PA|·|PB|取最小值.這時(shí)l的方程為x+y-5=0.第48頁/共88頁【規(guī)律方法】直線方程的綜合問題常見的類型及解法：(1)與函數(shù)相結(jié)合命題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x、y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的某函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)來解決.(2)與方程、不等式相結(jié)合命題：一般是利用方程、不等式等知識(shí)來解決.第49頁/共88頁【變式備選】已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.第50頁/共88頁【解析】(1)直線l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令解得∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1).(2)由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k>0;當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=1，符合題意，故k≥0.第51頁/共88頁(3)由l的方程，得依題意得解得k>0.“=”成立的條件是k>0且即∴Smin=4,此時(shí)l的方程為:x-2y+4=0.第52頁/共88頁第53頁/共88頁

忽略“極端”情況的討論【典例】(2011·徐州模擬)與點(diǎn)M(4,3)的距離為5,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為_______.【審題指導(dǎo)】解答本題應(yīng)抓住直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，分類設(shè)出直線的方程求解.第54頁/共88頁【規(guī)范解答】當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為即x+y-a=0,∵點(diǎn)M(4,3)與所求直線的距離為5,∴∴第55頁/共88頁∴所求直線方程為當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為y=kx,即kx-y=0.同理可得∴所求直線方程為即4x+3y=0.綜上所述，所求直線方程為答案：第56頁/共88頁【誤區(qū)警示】解答本題易忽略截距為0的“極端”情況導(dǎo)致失誤，在選用直線方程時(shí)常易忽視的“極端”情況有：1.選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況;2.選用截距式時(shí)，忽視截距為零的情況；3.選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況.第57頁/共88頁【變式訓(xùn)練】求滿足下列條件的直線方程；(1)過(1,2)，(2，b)兩點(diǎn)；(2)過點(diǎn)P(2,-1)，在x軸和y軸上的截距分別為a,b且滿足a=3b.第58頁/共88頁【解析】(1)當(dāng)b≠2時(shí)，由兩點(diǎn)式，得：得：(2-b)x+y+b-4=0,當(dāng)b=2時(shí)，直線方程為y=2.(2)①若a=3b=0，則直線過原點(diǎn)(0,0),此時(shí)直線斜率直線方程為x+2y=0.②若a=3b≠0，設(shè)直線方程為即由于點(diǎn)P(2,-1)在直線上，所以從而直線方程為-x-3y=1,即x+3y+1=0.綜上所述，所求直線方程為x+2y=0或x+3y+1=0.第59頁/共88頁第60頁/共88頁1.(2010·遼寧高考)已知點(diǎn)P在曲線上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()【解題提示】先求y的導(dǎo)數(shù)，并確定其值域即tanα的范圍，再結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象，求出α的取值范圍.第61頁/共88頁【解析】選D.∵∴y′∈［-1,0),∴tanα∈［-1,0)，又α∈［0，π),故選D.第62頁/共88頁2.(2011·威海模擬)已知直線l1:y=2x+3,直線l2與l1關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則直線l2的斜率為()【解析】選A.∵l2、l1關(guān)于y=-x對(duì)稱，∴l(xiāng)2的方程為-x＝-2y+3,即y=x+,∴l(xiāng)2的斜率為，故選A.第63頁/共88頁3.(2011·泉州模擬)已知函數(shù)y=a1-x(a＞0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(m＞0,n＞0)上，則m+n的最小值為____________.【解析】∵函數(shù)y=a1-x(a＞0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).又∵點(diǎn)A在直線上，∴(m＞0,n＞0)，∴m+n的最小值為4.答案：4第64頁/共88頁第65頁/共88頁一、選擇題（每小題4分，共20分）1.對(duì)于數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、O，在如下的關(guān)系中，不恒成立的是()(A)AB=OB-OA(B)AO+OB+BA=0(C)AB=AO+OB(D)AB+AO+BO=0第66頁/共88頁【解析】選D.A顯然成立;B.∵AO+OB+BA=AB+BA=AB-AB=0，成立；C.由公式AC=AB+BC知成立;D.∵AB=AO+OB,∴AB+AO+BO=AO+OB+AO+BO=2AO+OB-OB=2AO,①AO=0時(shí)成立,②AO≠0時(shí)不成立.第67頁/共88頁2.設(shè)直線3x+4y-5=0的傾斜角為θ，則該直線關(guān)于直線x=m(m∈R)對(duì)稱的直線的傾斜角β等于()(A)-θ(B)θ-(C)2π-θ(D)π-θ【解析】選D.結(jié)合圖形可知θ+β=π,故β=π-θ.第68頁/共88頁3.已知直線l過點(diǎn)(m,1)，(m+1,tanα+1)，則()（A）α一定是直線l的傾斜角（B）α一定不是直線l的傾斜角（C）α不一定是直線l的傾斜角（D）180°-α一定是直線l的傾斜角

【解題提示】判斷α是否為直線l的傾斜角，就是看tanα是否等于k且看α的范圍是否是［0,π).第69頁/共88頁【解析】選C.根據(jù)題意，直線l的斜率令θ為直線的傾斜角，則一定有θ∈［0,π),且tanθ=k,所以若α∈［0,π),則α是直線l的傾斜角；若α［0,π),則α不是直線l的傾斜角，所以α不一定是直線l的傾斜角.第70頁/共88頁4.已知直線PQ的斜率為將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得的直線的斜率是()(A)0(B)(C)(D)【解析】選C.∵PQ的斜率為∴其傾斜角為120°.將直線PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得直線的傾斜角為60°,故斜率為第71頁/共88頁5.若直線l的斜率為k,傾斜角為α,而α∈［)∪［π),則k的取值范圍是()(A)［-,1)(B)［1)(C)［-,0)(D)［-，0)∪［1)第72頁/共88頁【解析】選D.∵k=tanα在［)和［π)上都是增函數(shù)，∴k∈［1)∪［-,0).第73頁/共88頁二、填空題(每小題4分，共12分)6.直線3x-2y+k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k的值是________.【解析】分別令x=0,y=0得直線3x-2y+k=0在y軸,x軸上的截距為解得k=12.答案:12第74頁/共88頁7.不論m取何值，直線(m-1)x-y+2m+1=0恒過定點(diǎn)_____.【解題提示】將原方程化為關(guān)于參數(shù)m的方程f(x,y)m+g(x,y)=0，解得(x,y)即定點(diǎn).第75頁/共88頁【解析】已知直線方程可化為(x+2)m-x-y+1=0，解得定點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，3).答案:(-2，3)第76頁/共88頁8.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)(ab≠0)三點(diǎn)共線，則的值為_____.【解析】根據(jù)A(a,0),B(0,b),確定直線的方程為:又C(-2,-2)在該直線上,故答案:第77頁/共88頁三、解答題(每小題9分，共18分)9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，求的最值.【解題提示】可利用的幾何意義求解.也可利用條件用x表示y，進(jìn)而將所求轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.第78頁/共88頁【解析】方法一：如圖，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，因?yàn)閤,y滿足2x+y=8,且2≤x≤3,所以點(diǎn)P(x,y)在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，4)，B(3，2).因?yàn)榈膸缀我饬x是直線OP的斜率，且kOA=2,kOB=所以的最大值為2，最小值為第79頁/共88頁方法二：代數(shù)解法：由2x+y=8得y=8-2x,故根據(jù)單調(diào)性可知,當(dāng)x=2