1離散型隨機(jī)變量分布列

#/4離散型隨機(jī)變量的分布列、基本知識(shí)概要：.隨機(jī)變量：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量的隨機(jī)變量，記作自R；說(shuō)明：若白是隨機(jī)變量，n=〃己+b，其中凡b是常數(shù)，則n也是隨機(jī)變量。.離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定順序一一列出連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。說(shuō)明：①分類(lèi)依據(jù)：按離散取值還是連續(xù)取值。②離散型隨機(jī)變量的研究?jī)?nèi)容：隨機(jī)變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、穩(wěn)定性等。.離散型隨機(jī)變量的分布列：己x1x2???xi???PP1P2???Pi???設(shè)離散型隨機(jī)變量占可能取的值為x,x,???,x，?…，且P&=x）=p，則12i ii稱(chēng)為隨機(jī)變量占的分布列。離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①P（己=x）=P>0；②P+PH——=1ii 12求解離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)步驟：①確定該隨機(jī)變量所有可能的取值；②分別計(jì)算相應(yīng)的概率。二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)己是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0，1,2,3,…，n，并且P（己=k）=Ckpkqn-k（其中k=0,1,2，…,n，p+q=1）,稱(chēng)這樣的隨機(jī)變量自服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作：自~B（n,P）。注意：要理解二項(xiàng)分布的實(shí)質(zhì)，善于在實(shí)際問(wèn)題中看出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。、例題：例1：在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)占的分布列；放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)占的分布列。剖析：隨機(jī)變量占可以0，1,2,n也可以取0，1,2,3,放回抽樣和不放回抽樣對(duì)隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問(wèn)題具體分析。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"C3 7 C1C2 7 C1C2 1解：(1)P&=0)=土=—,P&=1)=尸=—,P&=2)二尸=:C3 15 C3 15 C3 1510 10 10所以己的分布列為g0g0P1751215115(2)P(n=k)=Ck?0.83-k?0.2k(k=0,1,2,3)，所以n的分布列為n0123pC00.838C10.82?0.28C20.8?0.228C30.238說(shuō)明：放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)事件，即月~B(3,0.8)。例2：一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取3只，以白表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量占的分布列。剖析：因?yàn)樵诰幪?hào)為1,2,3,4,5的球中，同時(shí)取3只，所以小號(hào)碼可能是1或2或3,即自可以取1,2,3。解：隨機(jī)變量工的可能取值為1,2,3。當(dāng)y=1時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為1,則其他兩只球可能在編號(hào)2,3,4,5的四只球中任取兩TOC\o"1-5"\h\zC2 6 3只,故有P《二D"百"而=5;5當(dāng)己=2時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為2,則其他兩只球只能在編號(hào)為3,4,5的三只球中任取兩只，C2 3故有P比二2)二居二百5當(dāng)己=3時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為3,則其他兩只球只能在編號(hào)為4,5的兩只球中任取兩只，C2 1故有P《二3)二C二記;5因此，白的分布列如下表所示:己123P31110說(shuō)明：求隨機(jī)變量的分布列,重要的基礎(chǔ)是概率的計(jì)算,如古典概率,互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等。本題中基本事件總數(shù)，即n=C［取每一個(gè)球的概率都屬古典概率(等可能性事件的概率)。(練習(xí))：從一批有13個(gè)正品和2個(gè)次品的產(chǎn)品中任意取出3個(gè)，⑴求抽得的次品數(shù)占的分布列。(2)求P(2?&?2)的值.TOC\o"1-5"\h\zC3 22 C1C2 12解(1)：0的可能取值為0,1,2.且P&-0)——13———,P&-1)—213=—,\o"CurrentDocument"C3 35 C3 3515 15

C2C1 1P(C=2)=213=—,故所求分布列為C3 3515c012P22121353535P(1<^<5)c012P22121353535乙 乙 JJ說(shuō)明：理解P(1<己<5)的含義.例3：(2004年春季安微)已知盒中有10個(gè)燈泡,其中8個(gè)正品,2個(gè)次品。需要從中取出2個(gè)正品,每次從中取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止，設(shè)自為取出的次數(shù)，求己的分布列及E自。剖析：每次取1件產(chǎn)品，所以至少需2次，即己最小為2,有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時(shí)，自=4,所以自可以取2,3,4。TOC\o"1-5"\h\z8 7 28解：P(己=2)=x—=一 ；\o"CurrentDocument"10 9 45 ;\o"CurrentDocument"8 2 7 2 8 7 14P(c=3)=—x—x—+—x_x_=—\o"CurrentDocument"10 9 8 10 9 8 15\o"CurrentDocument"2814 1P(C=4)=1———=—。454515所以自的分布列如下:c234P2845144511522Em=2xP《=2)+3xP《=3)+4xP《=4)=—。說(shuō)明：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。思考討論：(1)m=4時(shí)哪些情況？(2)本題若改為取出后放回,如何求解？例4、某人騎車(chē)從家到學(xué)校的途中有5個(gè)路口,假設(shè)他在各個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,且概率均為13.(1)求此人在途中遇到紅燈的次數(shù)己的分布列。(2)求此人首次遇到紅燈或到達(dá)目的地而停車(chē)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路口數(shù)n的分布列。(3)此人途中至少遇到一次紅燈的概率.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 12解：⑴由已知m~B(5,-)，故分布列尸&=k)=Ck(—)k(—)5-k,k=0,1,2,3,4,5.\o"CurrentDocument"3 53 3(2)n=k(k=0,1,2,3,4)表示事件:前k個(gè)路口均為綠燈，第k+1個(gè)路口為紅燈;21 2n=5表示5個(gè)路口均為綠燈.故所求的分布列為：P(n=k)=(3)k(3),k=0,1，2，3，4, P(n=5)=(3)5.2 211P=1—(—)5=—3 243說(shuō)明：要能從所給的條件中看出特殊的分布，如本題中白~B(5,3).例5甲乙兩名籃球隊(duì)員獨(dú)立地輪流投籃，直到某人投中為止。甲投中的概率為0.4，乙為0.6，分別求出甲乙兩人投籃次數(shù)的分布列。（假設(shè)甲先投）解:設(shè)己為甲投籃的次數(shù)，n為乙投籃的次數(shù)，（1）設(shè)事件人=前k-1次均不中，第k次甲中；8=前k-1次均不中，第k次甲不中而乙投中，則A與B互斥，故有：尸&=k）=P（A）+P（B）=0.6k-i-0.4k-i-0.4+0.6k?0.450.6=0.76x0.24k-1（k=1,2,3，…）（2）設(shè)事件8=前k-1次均不中，第k次甲不中而乙投中，C=前k次均不中，第k+1次甲投中，則B與C互斥，故尸8=0）=0.4， p（n=k）=p（b）+p（c）=0.6k