5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象-教學設計-高一上學期數(shù)學人教A版(2019)必修第一冊

《5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象》教學設計教材內(nèi)容：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)是在學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)后，對于正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行的研究，在研究正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)時可借鑒研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的經(jīng)驗進行研究。同時本節(jié)課的學習也是對之前所學的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的有一次鞏固復習。對于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、直觀想象的能力也有著極為重要的作用。教學目標：1.理解并掌握正切函數(shù)圖象的推導思路及畫法，即“正弦函數(shù)圖象類比推導法”.2.準確寫出正切函數(shù)的性質(zhì)，并通過練習體驗正切函數(shù)基本性質(zhì)的應用，達到邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平一的要求.教學重點與難點：重點：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；難點：正切函數(shù)定義域的理解及正切曲線與直線無限接近的性質(zhì)；正弦函數(shù)在每一個開區(qū)間上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)。教學過程設計：1、新課導入提問1：前面學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，請回憶我們是如何根據(jù)它們各自的三角函數(shù)線得出它們的函數(shù)圖象的？教師在學生回答后，利用課間演示借助單位圓得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的形成過程2、探索新知思考：（1）根據(jù)研究正切函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應如何研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？一般來說，對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識，再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述.所以可以根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗來研究正切函數(shù).（2）你能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？有了前面的知識準備，我們可以換個角度，即從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的性質(zhì)，再利用性質(zhì)研究正弦函數(shù)的圖象.周期性由誘導公式，且可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.奇偶性由誘導公式，且可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).思考：你認為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質(zhì)會有什么幫助？可以先考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，然后再根據(jù)奇偶性、周期性進行拓展.探究：如何畫出函數(shù)的圖象？如圖，設，在直角坐標系中畫出角x的終邊與單位圓的交點.過點B作x軸的垂線，垂足為M；過點作x軸的垂線與角x的終邊交于點T，則（因為）由此可見，當時，線段AT的長度就是相應角x的正切值.我們可以利用線段AT畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示.觀察上圖可知，當時，隨著x的增大，線段AT的長度也在增大，而且當x趨向于時，AT的長度趨向于無窮大.相應地，函數(shù)的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，且向右上方無限逼近直線.探究：你能借助以上結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？正切函數(shù)的圖象有怎樣的特征？根據(jù)正切函數(shù)的是奇函數(shù)，只要畫出的圖象關于原點的對稱圖形，就可得到的圖象；根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)的圖象向左、向右平移，每次平移π個單位，就可得到正切函數(shù)的圖象，我們把它叫做正切曲線.從圖中可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.提問：類比畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的方法（五點法），你能給出畫正切函數(shù)簡圖的方法嗎？能.圖象上有三個關鍵點：.還有兩條豎線：直線，直線（注意這是兩條虛線）.因此，畫正切函數(shù)簡圖就是先描三點，再畫，兩條平行線，最后用光滑的曲線畫出圖象，這種方法稱為“三點兩線法”.提問：由正切函數(shù)是奇函數(shù)，知它的圖象關于原點對稱.結(jié)合圖象，你還能發(fā)現(xiàn)它的其他對稱中心嗎？有對稱軸嗎？正切函數(shù)的圖象有無數(shù)個對稱中心，包括圖象與x軸的交點和漸近線與x軸的交點.沒有對稱軸.單調(diào)性和最值觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.由正切函數(shù)的周期性可得,正切函數(shù)在每一個區(qū)間上都單調(diào)遞增.當時，在內(nèi)可取到任意實數(shù)值，但沒有最大值、最小值.因此，正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.提問：正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)這種說法是否正確？不正確.正切函數(shù)在定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，但在每一個開區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).歸納：函數(shù)定義域值域R周期性周期函數(shù)，最小正周期為π奇偶性奇函數(shù)，圖象關于原點對稱單調(diào)性在每一個開區(qū)間上都是增函數(shù)對稱性圖象是中心對稱圖形，對稱中心的坐標為例6求函數(shù)的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間.解：自變量x的取值應滿足，即.所以，函數(shù)的定義域是.設，又，所以，即.因為都有，所以，函數(shù)的周期為2.由解得.因此，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.解題規(guī)律形如的函數(shù)性質(zhì)的求解方法：①定義域：把“”作為一個整體，令，可得x的取值范圍，即得函數(shù)的定義域.②值域：.③單調(diào)區(qū)間：（a）把“”作為一個整體；（b）時，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相同（反）；（c）解不等式，得出x的取值范圍，若，一般先用誘導公式將x的系數(shù)化為正值，然后求單調(diào)區(qū)間.④奇偶性：當時為奇函數(shù)，否則，不具備奇偶性.⑤周期：最小正周期3、課堂練習1.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則()A. B. C.1 D.-1【答案】C【解析】本題考查正切函數(shù)圖象性質(zhì)的應用與函數(shù)求值.由圖象過點，代入解析式得，即，所以，又，所以，所以，故有.2.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.【答案】A【解析】當時，，故排除C，D；當時，無意義，故排除B.故選A.3.已知函數(shù),則()

A.增區(qū)間為,

B.增區(qū)間為,

C.減區(qū)間為,

D.減區(qū)間為,【答案】C【解析】令，

解得，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.4.若的周期為1,則的值為()

A. B. C. D.【答案】D【解析】的周期為,

,即，則.5.已知在區(qū)間上的最大值為，則().A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，即，又，所以，所以，所以，.故選A.4、小結(jié)作業(yè)小結(jié)：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象畫法.作業(yè)：完