守恒定律與微分方程建模課件

守恒定律與微分方程建模連續(xù)性方程：解決問題：流體流動、傳熱和交通等問題tτ上流體的總物理量為t+Δt時刻的包絡(luò)線所圍體積為（1）

以控制面（C.S.）為邊界，第二、三項極限其中S1為C與A+B之公共表面，上式表示單位時間從表面S1移出的物理量第二項：第三項其中s2為A與A+B之公共部分，表示單位時間內(nèi)從表面S2流入的物理量上式中第一個極限注：A+B所圍的區(qū)域定義為控制體C.V.是固定的（2）

S1與S2組成控制體（A+B）的全部邊界，即控制面（3）聯(lián)立（1）,（2）和（3）微分形式：一般情況下生成率和消失率無源情況下（連續(xù)性方程）

交通流模型2013年全國大學生數(shù)學建模競賽A題和2014年美國大學生建模競賽A題都是交通問題假設(shè)：公路上行駛的車輛為連續(xù)的，可以將車流看作流體定義：車流量q(x,t)：單位時間內(nèi)通過某點的車輛數(shù)交通流密度ρ(x,t):單位距離上的車輛數(shù)交通量速度場u(x,t):車輛速度

交通流關(guān)系：研究路段有出入口

速度—密度線性模型速度-密度是線性關(guān)系，車流量達到最大時的密度和速度分別被稱為臨界密度ρc,臨界速度uc流量-密度關(guān)系：流量-速度關(guān)系

跟馳模型適用條件：單車道，無超車模型假設(shè)：1)汽車單車道形式，無超車2)前后車必須保持安全距離3)前車改變狀態(tài)，后車也要改變，且有一定滯后時間4)兩車距離小于一定閾值時后車制動，加速度與相對速度和距離有關(guān)模型：積分得：交通流處于穩(wěn)定狀態(tài)，車速為u，車距為d，密度為ρ=1/d

2014年美國大學生數(shù)學建模競賽A—靠右行駛問題題目：在一些汽車靠右行駛的國家（比如美國，中國等等），多車道的高速公路常常遵循以下原則：司機必須在最右側(cè)駕駛，除非他們正在超車，超車時必須先移到左側(cè)車道在超車后再返回。

建立數(shù)學模型來分析這條規(guī)則在低負荷和高負荷狀態(tài)下的交通路況的表現(xiàn)。你不妨考察一下流量和安全的權(quán)衡問題,車速過高過低的限制，或者這個問題陳述中可能出現(xiàn)的其他因素。這條規(guī)則在提升車流量的方面是否有效？如果不是，提出能夠提升車流量、安全系數(shù)或其他因素的替代品（包括完全沒有這種規(guī)律）并加以分析。

在一些國家，汽車靠左形式是常態(tài)，探討你的解決方案是否稍作修改即可適用，或者需要一些額外的需要。

最后，以上規(guī)則依賴于人的判斷，如果相同規(guī)則的交通運輸完全在智能系統(tǒng)的控制下，無論是部分網(wǎng)絡(luò)還是嵌入使用的車輛的設(shè)計，在何種程度上會修改你前面的結(jié)果？

模型假設(shè)：假設(shè)高速公路上所有汽車均沿車道做勻速直線運動，當汽車遇到車速比自己小的車便進行超車。2.根據(jù)交通法規(guī)，高速公路上的超車現(xiàn)象是小概率事件。3.超車過程的前后兩個階段的情況相同。4.假設(shè)高速公路每個車道的車速限定是相同的。5.超車率在我們考察的整條高速公路上均勻分布。6.在超車過程中，除超車的車外其余汽車的平均瞬時速度保持不變。7.不考慮路況、天氣等其它因素存在的交通隱患。

符號：宏觀模型：

建立出超車持續(xù)時間T模型，即可得到超車時間T：1）A,B車速度差的減函數(shù)；2）司機的反應(yīng)延遲；3）車輛的安全距離有效超車時間，幾何關(guān)系：

V-t關(guān)系式復雜，數(shù)據(jù)擬合出v-t關(guān)系求導：（2）超車密度：（3）將（2）、（3）帶入（1）物理意義：超車引起的密度變化，路段化為單位長度，Nρ（4）

連續(xù)性方程改寫為：積分區(qū)間[0,T]超車貢獻流量總流量：

超車反應(yīng)時間，一般為0.84s當安全指數(shù)S小于平均反應(yīng)時間，則兩車必然發(fā)生碰撞，我們把稱為安全超車閾值。定義，如果S值落在區(qū)間[0,2]，為一次安全隱患。安全系數(shù)統(tǒng)計模擬安全系數(shù)：假設(shè)1

假設(shè)高速公路上車速（除超車外）分布呈均值為90km/h，方差為9km/h的正

態(tài)分布假設(shè)高速公路上超車車速分布呈均值為v,方差為的正態(tài)分布v/10；3不考慮路況、天氣等其它因素存在的交通隱患。

規(guī)則一：超車返回原車道；規(guī)則二：超車不返回原車道由上圖可知，超車安全指數(shù)隨速度差的增加而降低，符合現(xiàn)實情況。而且對于相同的速度差，超車規(guī)則二的超車安全指數(shù)比規(guī)則一的大，說明規(guī)則二的超車方式在相同情況下比規(guī)則一更加安全。(1)（2）

定義：

為安全超車；不安全超車由圖1的曲線可得到，對于規(guī)則一，95%的超車安全指數(shù)對應(yīng)的速度差為20km/h，對于規(guī)則二則對應(yīng)的速度差為30km/h,。根據(jù)圖2由對應(yīng)的速度差找到最大車流量，則可以得到相應(yīng)的B車車速的平均值，在兩個規(guī)則下均為80km/h，則對于規(guī)則一，限速標準為：上限：100km/h，下限：60km/h；對于規(guī)則二，限速標準為：上限：110km，下限：60km/h。高速路速度設(shè)定：

物種模型Malthus模型生物種群的總數(shù)是整數(shù)，當種群數(shù)量很大時，可將種群總數(shù)看成是連續(xù)可微的。表示t時刻種群個體的數(shù)量，r表示種群增長率假設(shè)：1）種群是孤立的，不考慮遷入和遷出2）個體的繁衍不受環(huán)境和其他個體的影響3）

種群的平均增長率在短時間內(nèi)是常數(shù)當（1）（2）

討論：a)時間跨度小，模型計算結(jié)果與實際有較好的吻合。b)當r>0,且t→∞時，x(t)→∞與實際不符。

Logistic模型：Malthus模型缺陷在與增長率為常數(shù)，沒有考慮種群數(shù)量對增長率的影響3）種群的數(shù)量受到資源的限制，達到最大值后不在增加。增長率r隨著x增加

而線性減少。tx（3）討論：a)當t→∞時，x(t)→xmb)解得：

前面模型隱含假設(shè)：1)自然增長率r(x)只考慮與種群的瞬時數(shù)量有關(guān)，而與過去無關(guān)2)系統(tǒng)是封閉的，沒有遷出與遷入；種群不受系統(tǒng)外的干擾（捕殺）3)不考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)4)不考慮偶然因素，種群的數(shù)量有初始值和模型決定時滯模型1.定常時滯模型一般形式表示t時刻的種群總數(shù)，時滯表示妊娠所需時間，增長率依賴于時刻的種群規(guī)模

b)表示t時刻的成蟲數(shù)，時滯表示幼蟲成熟時間

2.分布時滯模型描述情形：t時刻種群個體的增長率不僅與

時刻的種群規(guī)模有關(guān)，而且依賴于t時刻以前的整個歷史時期中種群規(guī)模的發(fā)展。處理思想：將的變化區(qū)間劃分為小段，總增長率是各個小段作用的疊加。例子

微分方程形式：確定初邊值條件：a)t=0時刻年齡分布函數(shù)為定解條件：b)x=0作為邊界條件令b(x)表示年齡為x的個體單位時間內(nèi)平均生育下一代的數(shù)量調(diào)節(jié)種群數(shù)量主要手段是調(diào)節(jié)出生數(shù)f(t,0)

種群總數(shù)：平均年齡：平均壽命：老齡化指數(shù)：兩個種群的數(shù)學模型：主要研究兩個種群之間的相互作用關(guān)系（共生和捕食等關(guān)系）Lotka-Volterra方程

考慮兩個種群X1和X2，在t時刻的種群數(shù)為,增長率為由泰勒展開Lotka-Volterra方程：在同一自然環(huán)境中，兩者存在三種關(guān)系：1）捕食與被捕食關(guān)系，2）競爭關(guān)系，3）互利共存關(guān)系，

令X1為食餌，X2為捕食者修正捕食者與食餌關(guān)系后

2007年大學生數(shù)學建模真題中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。

近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)還做出了進一步的分析。

關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。

試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。

Logistic模型求解：擬合出

Logistic模型短期預(yù)測較好

中長期預(yù)測：人口繼續(xù)增長，但是增長率放緩，最終在2050年穩(wěn)定于15.4億

年齡結(jié)構(gòu)模型：h(x)是單位時間內(nèi)年齡為x的個體死亡率f(t,x)是時刻t年齡為x的種群個體的分布函數(shù)。t時刻年齡為[x,x+dx]的種群個體數(shù)量是f(t,x)dxb