空間向量與立體幾何補充專題1：已知角求角問題專練 高三數(shù)學二輪專題復習

空間向量與立體幾何：已知角求角問題專練如圖，點是正方形的中心，，，，．

證明：平面；

若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．2.如圖，四棱柱中，底面是平行四邊形，，，，

，為的中點．

求證：；

若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．3.在四棱錐中，底面為正方形，．

證明：平面平面；若與底面所成的角為，，求二面角的正弦值．4.如圖，菱形中，，動點，分別在邊，上不含端點，且，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖所示．當為何值時，若直線與平面所成角的正切值為，求平面和平面夾角的大?。?.如圖，，，，將圖中左右兩個三角形沿著翻折成為圖所示的三棱錐，棱上的點滿足．過點作截面平面，寫出作法并證明當二面角的大小為時，求直線與中平面所成角的正切值．6.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，平面平面，為棱上的點，且．求證：平面；若，二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．7.如圖所示，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，是的中點．求證：平面平面；若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．8.如圖，在幾何體中，，，，四邊形為矩形，，，分別為，的中點．求證：平面；若直線與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．

答案和解析1.【答案】解：證明：四邊形為正方形，，又，，，平面，平面；平面，；

又，，，平面，平面．

以為坐標原點，的正方向為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

平面，直線與平面所成角為，

，解得：；

，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

則，令，解得：，，；

設(shè)平面的法向量，

則，令，解得：，，；

，

二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．

2.【答案】證明：由條件得，在中，，，，

由余弦定理得，，

所以，所以，

又因為，，平面，

所以平面，

因為平面，所以．

解：因為，，，

平面，

所以平面，

因為，，

所以為二面角的平面角，

因為二面角的大小為，所以，

在中，，，，所以，

取的中點，連接，則，

以為原點，分別以為，，正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，所以，

則，，

設(shè)平面的法向量為，

則取，

因為，，

所以，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

直線與平面所成角的正弦值為．

3.【答案】證明：連接，與的交點為，

四邊形為正方形，，

，，，

又，，平面，

平面，

又平面，

平面平面．

解：過點作，垂足為，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

與底面所成的角為，，

又，設(shè)，

則，，，，，

如圖所示，

以為坐標原點，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設(shè)平面法向量為，

，

，令，則，，

，

設(shè)平面法向量為，

，

，令，則，，

，

，

則，

二面角的正弦值為

4.【答案】解：菱形中，，故，，是等邊三角形，又，也是等邊三角形，平面平面，取的中點，則，且平面，連接，由，而，，平面，，延長交于點，則，又，為的重心，又點在上，，，即．方法一：由連接，設(shè)邊長為，則，，平面，直線與平面所成角為，，解得，是的中位線，在棱錐中，設(shè)與相交于點，連接，

又設(shè)平面平面于直線，則過點，，平面，平面，又平面平面于直線，，同理，由上可知，，平面，平面，就是平面和平面所成二面角的平面角，又，且，，即平面與平面的夾角為．方法二：以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)菱形邊長為，則，，，，，，平面，即為與平面所成的角，，解得，平面，即為平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，，，平面與平面的夾角為．

5.【答案】解：作法：如圖，作交于，作交于，連接，則即截面．證明：，平面，平面，平面同理平面，

而，，平面，平面平面，即截面平面方法一：綜合法如圖，在平面中作，，

則，，平面，平面，平面平面，

即二面角的一個平面角，

而，，平面，平面，而平面，易知，平面平面，

設(shè)點在平面上的投影為，則在的延長線上，連接，則，即直線與平面所成的角，也等于與平面所成的角，，故H，

直線與平面所成角的正切值為方法二：向量法如圖，在平面中作，，

則，，平面，平面，平面平面，

即二面角的一個平面角，即，

而，，平面，平面，

由第問可知直線與平面所成的角等于與平面所成的角可建立如圖所示的空間直角坐標系，軸在平面上．計算得點，，取平面的一個法向量為設(shè)與平面所成的角為，則，因為，直線與平面所成角的正切值為

6.【答案】解：設(shè)點為的一個三等分點，且，連接，，

如圖所示．

，，

，且，

又，且，從而可得，且．

可知四邊形是平行四邊形．

．

平面，平面，

平面．

因為平面平面，平面平面，，平面，

所以平面．

又平面，則，所以是二面角的平面角．

由題意得，由，即為等邊三角形．

如圖，取的中點，連接，同理可證平面，

以為原點，為軸，過點在平面內(nèi)作

的垂線為軸，為軸建立空間直角坐標系．

則有，

所以

平面的一個法向量為，

可得，．

直線與平面所成角的正弦值為．

7.【答案】證明：平面，平面，，

，，，

，，

又，，平面

平面，

平面，

平面平面

解：如圖，以為原點，取中點，、、分別為軸、軸、軸正向，建立空間直角坐標系，

則，，．

設(shè)，則，

，，，

取，則，為面的法向量．

設(shè)為面的法向量，則，

即取，，，則，

依題意，，，

則．

于是，．

設(shè)直線與平面所成角為，

則，，

即直線與平面所成角的正弦值為．

8.【答案】解：取的中點，連接，，如圖所示，、分別、的中點，，四邊形為矩形，且為的中點，，，，，則四邊形為平行四邊形，即．平面，平面，平面．由，，，可得，由為等腰三角形可知，，