牛人寫的數(shù)學(xué)參考書

（一）從"數(shù)學(xué)分析"的課本講起吧。下面開始講一些課本,或者說參考書:1.菲赫今哥爾茨的"微積分學(xué)教程","數(shù)學(xué)分析原理"。前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本;后一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本。此書堪稱經(jīng)典。"微積分學(xué)教程"其實(shí)連作者都承認(rèn)不太合適作為教材,為此他才給出了能夠做教材的后一套書,可以說是一個(gè)精簡(jiǎn)的版本。相信直到今天,很多老師在開課的時(shí)候還是會(huì)去找"微積分學(xué)教程",因?yàn)槔锩娓鞣N各樣的例題實(shí)在太多了，如果想比較扎實(shí)的打基礎(chǔ)的話,可以考慮把里面的例題當(dāng)做有答案的習(xí)題來做,當(dāng)然不是每道題都可以這么辦的。毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數(shù)學(xué)分析內(nèi)容(指不引入實(shí)變,泛函的觀念)的最高水平。2.Apostol的"MathematicalAnalysis"在西方(西歐和美國(guó)),算得上相當(dāng)完整的課本。3.W.Rudin的"PrinciplesofMathematicalAnalysis"(中譯本:盧丁"數(shù)學(xué)分析原理")是一本相當(dāng)不錯(cuò)的書,后面我們可以看到,這位先生寫了一個(gè)系列的教材。該書的講法(指一些符號(hào),術(shù)語的運(yùn)用)也是很好的。學(xué)完"高等數(shù)學(xué)"以后,可以找一本西方advancedcalculus水平的書來看(特別是Rubin的書),基本上就能夠達(dá)到一般數(shù)學(xué)系的要求了。說到AdvacedCalculus,在這個(gè)標(biāo)題下面有一本書也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus。這本書的觀點(diǎn)還是很高的,畢竟是人家Harvard的課本.4."數(shù)學(xué)分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等的"數(shù)學(xué)分析習(xí)題集","數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材"。北大的這套課本寫得還是可以的,不過最好的東西還是兩本關(guān)于習(xí)題的東西。大家知道,吉米多維奇并不是很適合數(shù)學(xué)系的學(xué)生的,畢竟大多是計(jì)算題。相比之下北大的這本習(xí)題集就要好許多,的的確確值得一做。那本習(xí)題課教材也是很有意思的書,包括一些相當(dāng)困難的習(xí)題的解答。5.克萊鮑爾的"數(shù)學(xué)分析"。記得那是一本以習(xí)題的形式講分析的書,題目也很不錯(cuò)。6.張筑生的"數(shù)學(xué)分析新講"(共三冊(cè))。我個(gè)人認(rèn)為這是中國(guó)人寫的觀點(diǎn)最新的數(shù)學(xué)分析課本,張老師寫這書也實(shí)在是嘔心瀝血,手稿前后寫了差不多五遍。象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的，以致他自己在后記中也引了"都云作者癡,誰解其中味"。在這套書里,對(duì)于許多材料的處理都和傳統(tǒng)的方法不太一樣.非常值得一讀。唯一的遺憾是,按照張老師本人的說法,北大出版社找了家根本不懂怎么印數(shù)學(xué)書的印刷廠,所以版面不是很好看。下面的一些書可能是比較"新穎"的.7a.尼柯爾斯基"數(shù)學(xué)分析(教程?)"是清華的人翻譯的,好象沒翻全。那屬于80年代以后蘇聯(lián)的新潮流的代表,不管怎么說,人家是蘇聯(lián)科學(xué)院院士.7b."數(shù)學(xué)分析"忘了是誰寫的了,也是蘇聯(lián)的,莫斯科大學(xué)的教材。第一卷的中譯本,分兩冊(cè)，從極限的講法(對(duì)于拓?fù)浠?開始就能夠明顯得讓人感覺到觀點(diǎn)非常的"高".8.狄多涅"現(xiàn)代分析基礎(chǔ)(第一卷)"是一套二十世紀(jì)的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術(shù)語相當(dāng)"高深",可能等以后學(xué)了實(shí)變,泛函再回過頭來看感覺會(huì)更好一些.9.說兩句關(guān)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)。強(qiáng)烈推薦理圖里面幾本法國(guó)人寫的數(shù)學(xué)書。因?yàn)樵诜▏?guó)高等教育系統(tǒng)里面,對(duì)于最好的學(xué)生,中學(xué)畢業(yè)以后念的是兩年大學(xué)預(yù)科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數(shù)學(xué)(如J.Dixmier院士的"高等數(shù)學(xué)"第一卷)或者叫"普通數(shù)學(xué)",其水平基本上介于國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系和物理系的數(shù)學(xué)課之間)10.再補(bǔ)充個(gè)技術(shù)性的小問題.對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,一致收斂是充分而非必要的,有一個(gè)充要條件叫"亞一致收斂性",在"微積分學(xué)教程"里面提了一句,其詳細(xì)討論,似乎僅見于魯金(Lusin)的"實(shí)變函數(shù)論"里面。11.華羅庚先生的"高等數(shù)學(xué)引論"第一卷。這套書(其實(shí)沒有完成最初的計(jì)劃)是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對(duì)科大學(xué)生開課時(shí)的講義。那時(shí)候他們做過個(gè)實(shí)驗(yàn),就是一個(gè)教授負(fù)責(zé)一屆學(xué)生的教學(xué),所以華先生這書里面其實(shí)是涉及很多方面的(附帶提一句,另外兩位負(fù)責(zé)過一屆學(xué)生的是關(guān)肇直先生和吳文俊先生)。也是出于一種嘗試吧,華先生這書里面有一些不屬于傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的東西,還包括一些應(yīng)用?？梢砸蛔x。12.何琛,史濟(jì)懷,徐森林的"數(shù)學(xué)分析"。這應(yīng)該是科大的教材,雖然好象影響不是很大,我本人還是很喜歡的,高一的時(shí)候第一次學(xué)數(shù)分就是用的這套書,感覺是條理清晰,配的習(xí)題也很好。印刷質(zhì)量也相當(dāng)不錯(cuò)。關(guān)于數(shù)學(xué)分析的習(xí)題,還有一本書,就是G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數(shù)學(xué)分析中的問題和定理"。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的階段,可以考慮其第一卷的前面一半,后面就全是復(fù)變的東西了。該書的內(nèi)容還是非常豐富的，在歷史上,這是一套曾經(jīng)使好幾代數(shù)學(xué)家都受益匪淺的經(jīng)典著作。這套書的一個(gè)好處就是題目難歸難,后面還是有答案或提示的。（二）"空間解析幾何"的參考書"空間解析幾何"實(shí)在是一門太經(jīng)典,或者說古典的課。從教學(xué)內(nèi)容上說,可以認(rèn)為它描述的主要是三維歐氏空間里面的一些基本常識(shí),包括最基本的線性變換(那是線性代數(shù)的特例),和二階曲面的不變量理論。蘇步青和胡和生先生等編的"空間解析幾何"非常薄，但內(nèi)容較豐富，特別是有些習(xí)題并不是非常容易，最后一章射影的內(nèi)容還不是很好念的。當(dāng)然,這里還要提到十來年前大概作過教材的一本書:項(xiàng)武義和潘養(yǎng)廉等"古典幾何學(xué)"。這書的內(nèi)容與課本不是很一樣,不過處理方法還是很不錯(cuò)的。可以考慮的參考書包括:1.陳(受鳥)的"空間解析幾何學(xué)"。內(nèi)容基本上和課本差不多,不過要厚許多,自然要好念點(diǎn)。陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開多年的教務(wù)長(zhǎng))的夫人,也是中國(guó)早期留學(xué)海外的女學(xué)者.2.朱鼎勛的"解析幾何學(xué)"基本上只在歐氏空間里面討論問題，優(yōu)點(diǎn)是非常易懂,連二維的不變量理論也在附錄里面交代得異常清楚。習(xí)題也比較合理,不是非常的難(如果我沒有記錯(cuò)的話)。朱先生相當(dāng)有才華,可惜英年早逝。3.Postnikov的"解析幾何學(xué)與線性代數(shù)(?)"是莫斯科大學(xué)新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作為對(duì)剛進(jìn)大學(xué)的學(xué)生的一個(gè)引導(dǎo),給出一些具體的對(duì)象的話,遲早是要給吃到線性代數(shù)里面去的。我個(gè)人以為,現(xiàn)在教委的減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的做法遲早是要遭報(bào)應(yīng)的。中國(guó)的中學(xué)教育水平也就比美國(guó)最糟糕的中學(xué)好點(diǎn),從整體上說,比整個(gè)歐洲都要差。我相信所謂三維的"解析"幾何的內(nèi)容總有一天要下放到高中里面去。上面的書如果撐不飽你,你又不想學(xué)其它的課程的話，可以考慮下面兩本經(jīng)典，其好處是看過以后可以對(duì)很多幾何對(duì)象(當(dāng)然具體說是指三維空間里面的二次曲面)有相當(dāng)深刻的了解。4.狄隆涅的"(解析)幾何學(xué)"。這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論,記得五年前看的時(shí)候感覺非常有意思。這位蘇聯(lián)科學(xué)院院士真是夠能寫的。5.穆斯海里什維利的"解析幾何學(xué)教程"。特別值得參考的是它里面關(guān)于射影的一些觀點(diǎn)和講法(比如認(rèn)為橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已).（三）“高等代數(shù)”的參考書高等代數(shù)可以認(rèn)為處理的是有限維線性空間的理論，如嚴(yán)格一點(diǎn),關(guān)于線性空間的理論應(yīng)叫線性代數(shù),再加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論(就是可完全算做代數(shù)內(nèi)容的)就叫高等代數(shù)了。這門課在西方的對(duì)應(yīng)一般叫LinearAlgebra,就是蘇聯(lián)人喜歡用高等這個(gè)詞,你可以在外國(guó)教材中心里面找到一本Kurosh(庫落什)的HigherAlgebra.北大的"高等代數(shù)"(第二版?)可以說是四平八穩(wěn),基本上該講的都講了，但是你要說它有什么地方講得特別好,恐怕說不出來。從這門課的內(nèi)容上說,是可以有很多種講法的。線性空間的重點(diǎn)自然是線性變換,那么如果在定義空間和像空間里面取定一組基的話,就有一個(gè)矩陣的表示。因此這門課的確是可以建立在矩陣論上的，而且如果要和數(shù)值搭界的話還必須這么做。1.蔣爾雄,吳景琨等的"線性代數(shù)"是那時(shí)候計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的課本,其教學(xué)要求據(jù)說是比數(shù)學(xué)專業(yè)相應(yīng)的課程要高。因?yàn)槠蛴?jì)算,可以找到一些比較常用的算法，我個(gè)人以為還是比較有意思的。2.屠伯塤等的"高等代數(shù)"將80%的篇幅貢獻(xiàn)給矩陣的有關(guān)理論，有大量習(xí)題,特別是每章最后的"選做題".能獨(dú)立把這里面的習(xí)題做完對(duì)于理解矩陣的各種各樣的性質(zhì)非常有益。當(dāng)然這不是很容易的:據(jù)說屠先生退休時(shí)留下這么句話:"今后如果有誰開高等代數(shù)用這本書做教材,在習(xí)題上碰到麻煩的話可以來找我."由此可見一斑。如果從習(xí)題方面考慮,覺得上面的書太難吃下去的話,那么下面這本應(yīng)該說是比較適當(dāng)?shù)摹?.屠伯塤等的"線性代數(shù)-方法導(dǎo)引"。這本書比上面那本可能更容易找到,題目也更"實(shí)際"些，值得一做。另外,講到矩陣論.就必須提到4.甘特瑪赫爾的"矩陣論"。這恐怕是這方面最權(quán)威的著作了，譯者是柯召先生。在這套分兩冊(cè)的書里面,講到了很多不納入通常課本的內(nèi)容。舉個(gè)例子,大家知道矩陣有Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,但是化一個(gè)矩陣到它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣該怎么求?請(qǐng)看"矩陣論"。這書里面還有一些關(guān)于矩陣方程的討論,非常有趣.5.許以超的"線性代數(shù)和矩陣論"。這本書寫得很不錯(cuò),習(xí)題也不錯(cuò)。必須指出,這里面其實(shí)對(duì)于空間的觀念很重視。不管怎么樣,他還是算華先生的弟子的。6.華羅庚的"高等數(shù)學(xué)引論"。華先生做數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是其初等直觀的方法別具一格,在矩陣?yán)碚摲矫嫠灿泻芎玫墓ぷ?甘特瑪赫爾的書里面你只能找到兩個(gè)中國(guó)人的名字,一個(gè)是樊畿先生,另一個(gè)就是華先生?？赡苁撬谝淮伟严率鲇^點(diǎn)引進(jìn)中國(guó)的數(shù)學(xué)教材的(不記得是不是在這本書里面了):n階行列式是n個(gè)n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個(gè)把一組標(biāo)準(zhǔn)基映到1的反對(duì)稱線性函數(shù)。這就是和多線性代數(shù)或者說張量分析的觀點(diǎn)很接近了。高等代數(shù)的另外一種考慮可能是更加代數(shù)化的，比如7.賈柯勃遜(N.Jacobson)LecturesonAbstractAlgebra,II:LinearAlgebraGTM(GraduateTextsinMathematics)No.31("抽象代數(shù)學(xué)"第二卷:線性代數(shù))8.GreubLinearAlgebra(GTM23)其實(shí)更多講的是多線性代數(shù).里面的有些章節(jié)還是值得一讀的.9.丘維聲的"高等代數(shù)"(上,下)相當(dāng)不錯(cuò)，特點(diǎn)是很全,雖然在矩陣那個(gè)方向沒有上面提到的幾本書將得深,但是在空間理論,具體的說一些。幾何化的思想上講得還是非常清楚，多項(xiàng)式理論那塊也講了不少。10.李炯生,查建國(guó)的"線性代數(shù)"是科大的課本,可能是承襲華先生的一些傳統(tǒng)把,里面有些內(nèi)容的處理在國(guó)內(nèi)屬于相當(dāng)先進(jìn)的了。從常微分方程開始,數(shù)學(xué)課就變成沒底的東西,每一個(gè)標(biāo)題做下去都是數(shù)學(xué)研究里面龐大的一塊。對(duì)于一門基本課程應(yīng)該講些什么也始終討論不斷，這里我打算還是從現(xiàn)行課本講起。（四）常微分方程的參考書常微分方程這門課,金福臨和李迅經(jīng)先生在六十年代寫過一課本,第一版在今天看來還是很好的一本課本，但第二版有那么點(diǎn)不敢恭維。不知為什么,似乎這本書對(duì)具體方程的求解特別感興趣,對(duì)于一些比較"現(xiàn)代"的觀點(diǎn),比如定性的討論等等相當(dāng)?shù)夭恢匾?。最有那么點(diǎn)好笑的是在某個(gè)例子中(好象是介紹Green函數(shù)方法的),在解完了之后話鋒一轉(zhuǎn),說"這個(gè)題其實(shí)按下面的辦法解更簡(jiǎn)單..."而這個(gè)所謂更簡(jiǎn)單的辦法是根本不具一般性的.下面開始說參考書,毫無疑問,我們還是得從我們強(qiáng)大的北方鄰國(guó)說起.1.彼得羅夫斯基的"常微分方程講義"。在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上,這位前莫斯科大學(xué)校長(zhǎng)占據(jù)著一個(gè)非常特殊的地位.從學(xué)術(shù)上說,他在偏微那一塊有非常好的工作。他這本書在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期里是標(biāo)準(zhǔn)教材。2.龐特里亞金的"常微分方程"。龐特里亞金院士十四歲時(shí)因化學(xué)實(shí)驗(yàn)事故雙目失明,在母親的鼓勵(lì)和幫助下,他以驚人的毅力走上了數(shù)學(xué)道路,別的不說,光看看他給后人留下的"連續(xù)群"、"最佳過程的數(shù)學(xué)理論",你就不得不對(duì)他佩服得五體投地,有六體也投下來了?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大特色即是已完全建立了一套自己的表達(dá)方式，沒一個(gè)學(xué)科象數(shù)學(xué)這樣創(chuàng)造了這么多的概念?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)傳播的一大困難也在于此,要向一個(gè)非本行(哪怕是數(shù)學(xué)里另外一個(gè)分支的專家)解釋清楚一個(gè)概念恐怕也要費(fèi)上半天口舌。但在另外一方面數(shù)學(xué)是如此有用,而且數(shù)學(xué)的抽象性使得一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)往往可以表征其它學(xué)科的許多看似毫無關(guān)系的對(duì)象，所以現(xiàn)代數(shù)學(xué)還是挺值得一學(xué)的。自學(xué)不是件容易的事情,特別是數(shù)學(xué)。從動(dòng)機(jī)上說,如果是想系統(tǒng)學(xué)一下大學(xué)數(shù)學(xué)系的課程的話，我的建議還是跟班聽課,這比自己找書看要省力的多，在可以考慮的書籍方面,以前上?？萍汲霭嫔绯鲞^一套1."大學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)叢書"應(yīng)當(dāng)說編得是不錯(cuò)的.2.趙慈庚,朱鼎勛的"大學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)指南"。趙先生是上面那套書的主編,這本書基本上以上面那套書為藍(lán)本,也給出了一些參考書。關(guān)鍵是對(duì)每一門課的具體內(nèi)容都有一個(gè)詳細(xì)說明，好象是高等教育出的。下面轉(zhuǎn)到歐美方面3.Coddington&Levinson的"TheoryofOrdinaryDiffernetialEquations"自五十年代出版以來就一直被奉為經(jīng)典。說老實(shí)話這書里東西太多,自己看著辦吧。比較"現(xiàn)代"的表述有4.Hirsh&Smale的"DifferentialEquations,LinearAlgebraandDynamicalSystems"(中譯本"微分方程,線性代數(shù)和動(dòng)力系統(tǒng)")。這兩位重量級(jí)人物寫的書其實(shí)一點(diǎn)都不難念,非常易懂，所涉及的內(nèi)容也是非?；?重要的。關(guān)于作者嘛,可以提一句,Smale現(xiàn)在在香港城市大學(xué),身價(jià)是三年1000萬港幣，我想稱他為在中國(guó)領(lǐng)土上工作的最重要的數(shù)學(xué)家應(yīng)沒有什么疑問。5.Arnol'd的"常微分方程"。必須承認(rèn),我對(duì)Arnol'd是相當(dāng)崇拜的。作為Kolmogorov的學(xué)生,他們兩就占了KAM里的兩個(gè)字母。他寫的書,特別是一些教材以極富啟發(fā)性而著稱.實(shí)際上,他的習(xí)慣就是用他自己的觀點(diǎn)把相應(yīng)的材料全部重新處理一遍。從和他的幾個(gè)學(xué)生的交往中我也發(fā)現(xiàn)他教學(xué)生的本事也非常大，特別是他的學(xué)生之間非常喜歡討論,可能是受他言傳身教的作用吧。他自己做學(xué)生的時(shí)候就和其他幾個(gè)學(xué)生(都是跟不同的導(dǎo)師的)組織了討論班,互相教別人自己的專長(zhǎng),想想這里都走出來了些什么人物吧:Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可見互相討論的重要性。從學(xué)術(shù)觀點(diǎn)上說,他更傾向于比較幾何化的想法,在這本書里面也得到了相當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)。近年來,Arnol'd對(duì)于Bourbaki的指責(zé)已經(jīng)到了令大家瞠目結(jié)舌的程度。不過話說回來,在日常生活中他還是個(gè)非常平易近人的人,至少他的學(xué)生們都是這么說的。這本書有中譯本,不過應(yīng)當(dāng)指出譯者的英文水平不是很高,竟然會(huì)把"北極光"一詞音譯,簡(jiǎn)直笑話。再說一句,Arnol'd的另外一本書,中文名字叫"常微的幾何方法...."的,程度要深得多?？戳税胩?講來講去都是外國(guó)人寫的東西,有中國(guó)人自己的值得一看的課本嗎?答曰Yes.6.丁同仁,李承治的"常微分方程教程"絕對(duì)是中國(guó)人寫的最好的常微課本,內(nèi)容翔實(shí),觀點(diǎn)也比較高。7.卡姆克(Kamke)常微分方程手冊(cè),那里面的方程多得不可勝數(shù)。對(duì)于變系數(shù)常微分方程,有一類很重要的就是和物理里常用的特殊函數(shù)有關(guān)的。對(duì)于這些方程,現(xiàn)在絕對(duì)是物理系的學(xué)生比數(shù)學(xué)系的學(xué)生更熟悉。我的疑問是不是真有必要象現(xiàn)在物理系的"數(shù)學(xué)物理方法"課里那樣要學(xué)生全部完全記在心里。事實(shí)上,我很懷疑,不學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn)如何理解這些特殊函數(shù)系的"完備性",象8.Courant-Hilbert的"數(shù)學(xué)物理方法"第一卷可以說達(dá)到古典處理方法的頂峰了,但是看起來并不是很容易的。我的理解是學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn)可以獲得一些統(tǒng)一的處理方法,可能比一個(gè)函數(shù)一個(gè)方法學(xué)起來更容易一些。而且,9.王竹溪,郭敦仁的"特殊函數(shù)概論"的存在使人懷疑是不是可以只對(duì)特殊函數(shù)的性質(zhì)了解一些框架性的東西,具體的細(xì)節(jié)要用的時(shí)候去查書。要知道,查這本書并不是什么丟人的事情,看看揚(yáng)振寧先生為該書英文版寫的序言吧:"(70年代末)...我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的'特殊函數(shù)概論'...從此這本書就一直在我的書架上,...經(jīng)常在里面尋找我需要的結(jié)論..."連他老先生都如此,何況我們?（五）“單復(fù)變函數(shù)論”的參考書單復(fù)變函數(shù)論從它誕生之日(1811年的某天Gauss給Bessel寫了封信,說"我們應(yīng)當(dāng)給'虛'數(shù)i以實(shí)數(shù)一樣的地位...")就成為數(shù)學(xué)的核心,上個(gè)世紀(jì)的大師們基本上都在這一領(lǐng)域里留下了一些東西,因此數(shù)學(xué)的這個(gè)分支在本世紀(jì)初的時(shí)候已經(jīng)基本上成形了。到那時(shí)為止的成果基本上都是學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生必修的。1.范莉莉,何成奇的"復(fù)變函數(shù)論"講的東西也不是很難,包括那些數(shù)量很不少的習(xí)題。但是做為第一次學(xué)的課本,應(yīng)當(dāng)說還不是很容易的。總的說來,從書的序言里面列的參考書目就可以看出兩位先生是借鑒了不少國(guó)際上的先進(jìn)課本。如果要列參考書的話,單復(fù)變的課本真是多得不可勝數(shù),從比較經(jīng)典的講起吧:2.普里瓦洛夫的"復(fù)變函數(shù)(論)引論"這是我們的老師輩做學(xué)生的時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)課本。內(nèi)容翔實(shí),具有傳統(tǒng)的蘇聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)課本的一切特征。聽說過這么一個(gè)小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大學(xué)的教授,一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學(xué)生的角度來說),有一個(gè)學(xué)生剛走進(jìn)屋子,就被當(dāng)頭棒喝般地問了一句"sinz有界無界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就馬上被開回去了,實(shí)在是不幸之至。3.馬庫雪維奇"解析函數(shù)論(教程?)"這本厚似磚頭的書比上面這本要深不少。這本書的一個(gè)毛病是它喜歡用自己的一套數(shù)學(xué)史,所以象Cauchy-Riemann方程它也給換了個(gè)名字,好象是Euler-D'Alembert吧!再說點(diǎn)西方的:4.L.Alfors(阿爾福斯)的"ComplexAnalysis(復(fù)分析)"應(yīng)該是用英語寫的最經(jīng)典的復(fù)分析教材。Alfors是本世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家之一(僅有的四個(gè)既得過Fields獎(jiǎng)又得過Wolf獎(jiǎng)的人物之一),單復(fù)變及相關(guān)領(lǐng)域正好是他的專長(zhǎng)。他的這本課本從六十年代出第一版開始就好評(píng)如潮,總書庫里面有英文的修訂本,建議還是看英文的。這里需要說明的是,復(fù)分析在十九世紀(jì)的三位代表人物分別對(duì)應(yīng)三種處理方式:Cauchy--積分公式;Riemann--幾何化的處理;Weierstrass--冪級(jí)數(shù)方法.這三種方法各有千秋,一半的課本多少在其中互有取舍.Alfors的書的處理可以說是相當(dāng)好的.5.H.Cartan(亨利.嘉當(dāng))的"解析函數(shù)論引論"。這位Bourbaki學(xué)派碩果僅存的第一代人物在二十世紀(jì)復(fù)分析的發(fā)展史上也占有很重要的地位。他在多復(fù)變領(lǐng)域的很多工作是開創(chuàng)性的。這本課本內(nèi)容不是很深,從處理方法上可以算是Bourbaki學(xué)派的上程之作(無論如何比那套"數(shù)學(xué)原理"好念多了:-))6.J.B.Conway的"FunctionsofOneComplexVariable"(GTM11)和"FunctionsofOneComplexVariable,II"(GTM159)(GTM=GraduateMathematicsTexts,是Springer-Verlag的一套叢書,后面的數(shù)字是編號(hào))第一卷也是1.的參考書目之一.作者后來又寫了第二卷.當(dāng)然那里面講述的內(nèi)容就比較深一點(diǎn)了.這本書第一卷基本上可以說是Cauchy+Weierstrass,對(duì)于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套東西要到第二卷里面才能看到.7.K.Kodaira(小平邦彥)的"AnIntroductiontoComplexAnalysis"。Kodaira也是位復(fù)分析大師,是Fields+Wolf。這本書屬于"不深,但該學(xué)的基本上都有了"的那種類型。需要注意的是這本書(英譯本)的印刷錯(cuò)誤相對(duì)多,250來頁的書我曾經(jīng)列出過100多處毛病。由此我對(duì)此書的英譯者F.Beardon極為不滿,因?yàn)橥瑯覤eardon自己的一本"ComplexAnalysis"我就找不出什么錯(cuò)。偶記得國(guó)內(nèi)的復(fù)變教材還有北大莊圻泰的<<復(fù)變函數(shù)>>,不記得是不是和張南岳合寫的。應(yīng)該是不錯(cuò)的，習(xí)題較多?？拼髧?yán)鎮(zhèn)軍也有一本<<復(fù)變函數(shù)>>也不錯(cuò)。其他的復(fù)變書都大同小異，偶還記得有本鐘玉泉的館藏考貝最多。下面說說習(xí)題9.G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數(shù)學(xué)分析中的問題和定理"第一卷的后半段就是單復(fù)變的相當(dāng)高質(zhì)量的習(xí)題,第二卷的大部分也是,只不過那就有點(diǎn)太過專門了而已.看看這本書的序言就可以多少體會(huì)到單復(fù)變的地位了.一般來說,里面的題目都有答案或提示,不過我以為一般來說還是可以獨(dú)立做出來的.10."解析函數(shù)論習(xí)題集"實(shí)在不好意思,作者(大概是三個(gè)蘇聯(lián)人)的名字忘了,這本書里面的題目相當(dāng)多。其它的書我認(rèn)為可以翻翻的包括11.張南岳,陳懷惠的"復(fù)變函數(shù)論選講"。這是北大出版的研究生課本,基本上可以說和上面提到的Conway的第二卷屬于同一水平。從內(nèi)容上來看,第一章"正規(guī)族",第二章"單連通區(qū)域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函數(shù)"同樣如此?？匆稽c(diǎn)第七章"Gamma函數(shù)和Riemannzeta函數(shù)"(這部分內(nèi)容在6.里面也有),然后去看12.J.-P.Serre(塞爾)的"AcourseofArithmetics"(數(shù)論教程)第二部分的十來頁東西就可以理解下述Dirichlet定理的證明了:"a,b互素,則{am+b}里有無窮多個(gè)素?cái)?shù)"。Serre也是本世紀(jì)杰出的復(fù)分析,代數(shù)幾何,代數(shù)專家.他28歲得Fields獎(jiǎng)的記錄至今還沒有人能夠打破.他寫的書一向以清晰著稱。13.莊圻泰,何育瓚等的"復(fù)變函數(shù)論(專題?)選講"。差不多的題目應(yīng)該有兩本,一本比較薄,從Cauchy積分公式的同倫,同調(diào)形式講起,屬提高性質(zhì).另外一本記憶中就覺得太專門了點(diǎn)。除此之外,講單復(fù)變的還有兩本書,不過可能第一遍學(xué)的時(shí)候不是很適合看。14.W.Rudin的"RealandComplexAnalysis"。必須承認(rèn),Rudin很會(huì)寫書,這本書里面他把對(duì)應(yīng)與我們的復(fù)變,實(shí)變,泛函的許多東西都串在一起了。15.L.Hormander的"AnIntroductiontoComplexAnalysisinSeveralVariables"。這是本標(biāo)題下出現(xiàn)的第三位Fields+Wolf的人物。他的這本多復(fù)變的課本也是經(jīng)典,其工具主要是微分算子的L^2估計(jì)。這里有用的是它的第一章,可以說第一次看這部分講單復(fù)變的內(nèi)容一般都會(huì)有一種耳目一新的感覺。講個(gè)細(xì)節(jié),就是Cauchy積分公式對(duì)于一般可微函數(shù)的推廣叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多復(fù)變的課本都會(huì)提到而單復(fù)變的書都不講。其實(shí)只要你看一下它的形式就會(huì)知道這個(gè)公式的用處是很大的,不妨試試拿它來算一些奇異積分.16.Titchmarch的"函數(shù)論"是本老書,相當(dāng)有名，一半多的篇幅是講復(fù)變的,看看可以知道二十世紀(jì)上半葉的函數(shù)論是什么樣子。除此之外的意義是,程民德先生在他給陳建功先生做的傳中寫到:"(三十年代的浙大)陳先生開的復(fù)分析課程幾乎包括Titchmarch函數(shù)論除實(shí)函數(shù)外的全部?jī)?nèi)容.."17.戈魯辛的"復(fù)變函數(shù)幾何理論"也很老了，但價(jià)值并不因時(shí)間的推移而改變。作者也是很好的數(shù)學(xué)家,夏道行先生當(dāng)年在蘇聯(lián)的最好的工作之一就是解決了戈魯辛的兩個(gè)猜想。最后講一本書18.R.Remmert的"ComplexAnalysis"(GTM,readinginmathematics)。Remmert是德國(guó)的多復(fù)變專家,他的這本書一點(diǎn)也不深,其最大特色是收集了很多歷史資料,把許多概念的來龍去脈交代的異常清楚.12.的作者J.-P.Serre成為第五位既得過Fields獎(jiǎng)又得過Wolf獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家(前面四位是L.Alfors;K.Kodaira;L.Hormander;J.Milnor)這門課沒讀過,不過如果現(xiàn)在的課本還是（六）“組合數(shù)學(xué)”的參考書1.I.Tomescu的"組合學(xué)引論"的話,倒還是想說兩句的。首先,這是本很好的書,不管上不上這門課都值得一讀.其次,這本書的習(xí)題不是很好做的,特別是沒有答案(嚴(yán)肅的說,當(dāng)你看到許多習(xí)題后面都標(biāo)有人物,年代,就該知道這些結(jié)果不是那么平凡的了)作為補(bǔ)充,可以考慮2.I.Tomescu的"Problemingraphtheoryandcombinatorics(???)"有比較詳細(xì)的提示和解答,題目也非常好,3.Lovasz的"ProblemsinCombinatorics(?)"是本相當(dāng)好的習(xí)題集,作者Lovasz是唯一一個(gè)得過wolf獎(jiǎng)的組合學(xué)家，唯一的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點(diǎn),不過千萬不要被嚇倒!4.Bondy,Murty的"GraphTheoryandApplications(?)"(中譯本:圖論及其應(yīng)用,科學(xué)出版社)內(nèi)容翔實(shí),寫得很易讀,而且有許多難度適當(dāng)?shù)牧?xí)題。注意這些習(xí)題不僅在書后(好象)，有簡(jiǎn)短的提示,而且圖書館里還有一本5."圖論及其應(yīng)用"習(xí)題解答做得還算不錯(cuò)吧。翻譯成中文的書里面,還有上?？萍汲霭娴?.Harary(哈拉里)的"GraphTheory"(圖論)的習(xí)題基本上都是從人家的論文里面直接找來的,所以有相當(dāng)難度,雖說那里給出了非常詳細(xì)的文獻(xiàn)來源,但是有些還是很不好找的。這本書其實(shí)已經(jīng)有點(diǎn)專著的味道了。講到圖論,還有象7.B.Bollobas的"GraphTheory"(GTM63)。Bollobas在劍橋吧,國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做過45分鐘報(bào)告。8.G.Chartrand,L.Lesniak的"GraphandDigraphs"是本好書,淺顯易懂。此外還有9.C.Berger的"GraphandHypergraph"是這里的框架性著作。還有一些不講或不專講圖論的組合書,中文的有10.李喬的"組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)"寫得很不錯(cuò)11.I.Anderson的"CombinatoricsofFiniteSets"12.Bollobas的"Combinatorics"13.Ryser(賴瑟)的"組合數(shù)學(xué)"有一些講組合設(shè)計(jì)的章節(jié)還是很簡(jiǎn)單明了的。至于象14.魏萬迪的"組合論"感覺好象篇幅太大了點(diǎn),而且你很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)這書很不好看。著重算法的書很多就是計(jì)算機(jī)類的了,比如15.朱洪等的"算法設(shè)計(jì)和分析"16.盧開澄的"組合數(shù)學(xué)--算法與分析"。組合數(shù)學(xué)有不少書是可以看著玩的,比如有本好象叫"GraphtheoryfromEulertoKonig"(等于就是說講現(xiàn)代圖論的史前史),等等。如果要求不是很高,那么下面的書可能可以算篇幅不大,內(nèi)容不深,但多少也講了些東西的:17.I.Anderson的"AFirstCourseinCombinatorialMathematics"18.C.Berger"組合學(xué)原理"(上?？萍?19.C.L.Liu(劉炯朗,現(xiàn)新竹清華大學(xué)校長(zhǎng))"組合學(xué)引論"。這書是魏萬迪翻的,就是印刷質(zhì)量差了點(diǎn)，其它都還好,在北美的評(píng)價(jià)也不錯(cuò)。此外,最近剛剛看到出了一本20.Lovasz,etal.(ed.)"HandbookofCombinatorics"。厚厚的兩大本,里面有很多人的文章,算得上是包羅萬象.組合里面還有一個(gè)非常有名的東西--四色定理,關(guān)于它就是是否被證明了爭(zhēng)論了很多年,當(dāng)真是仁者見仁,智者見智。當(dāng)年的兩位主角Appel和Haken寫過本書,就叫21.Appel,Haken"EveryPlanarMapisFourColorable"如果你覺得這書塊頭太大,可以先翻翻他們?cè)?2.Steen(ed.)"mathematicstoday"(中譯本:今日數(shù)學(xué),上?？萍?里面的一篇通俗的文章,寫得非常好。最后補(bǔ)充canetti指出的23.ReinhardDiestel"GraphTheory"(GTM173)。這本書里講到了概率方法,感覺是個(gè)很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields獎(jiǎng)的T.Gower(這位是靠Banach空間理論得獎(jiǎng)的,但他的組合功夫本來就很深,現(xiàn)在好象干脆就轉(zhuǎn)向組合了)（七）抽象代數(shù)的參考書有的地方管這叫"近世代數(shù)",近不近各人自己看著辦吧!歷史上說,可以認(rèn)為嚴(yán)肅的討論是從伽羅華開始的,他在決斗前夜下的那封著名的信件(里面有"你可以公開向Jacobi或者Gauss提出請(qǐng)求,不是就這些結(jié)果的正確性,而是重要性,給出意見....",現(xiàn)藏法國(guó)國(guó)家圖書館).在后來的發(fā)展過程中,代數(shù)結(jié)構(gòu)話的語言逐步滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)角落.到今天這已經(jīng)是一門無處不在的分支了。北大的課本是1.丁石孫,聶靈沼的"代數(shù)學(xué)引論"。這本書的特點(diǎn)和北大的那本高等代數(shù)一樣,就是沒什么自己的特色,原因是這本書從體例到習(xí)題在很大程度上參考了2.N.Jacobson的"BasicAlgebraI,II"。前面幾章的中譯本,應(yīng)該是叫"基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)"吧,不過翻譯質(zhì)量一般。Jacobson在代數(shù)領(lǐng)域也屬于權(quán)威,是華先生同時(shí)代的人。這本書從觀點(diǎn)上說是相當(dāng)現(xiàn)代化的,比同作者的那本3.N.Jacobson的"LecturesonAbstractAlgebra"(GTM.30,31,32)(中譯本:抽象代數(shù)學(xué),共三卷)要改進(jìn)不少.4.徐誠浩"抽象代數(shù)--方法導(dǎo)引"?？梢粤_列的參考書還有很多,綜合性的課本有名氣很大的5.S.Lang的"Algebra"。Lang寫書以清晰著稱,他的這本書還得過AMS發(fā)的Steel優(yōu)秀圖書獎(jiǎng).6.莫宗堅(jiān)的"代數(shù)學(xué)(上,下)"。北大數(shù)學(xué)叢書里面的一本,沒有很仔細(xì)地看過,但是感覺不錯(cuò).北大的一些同學(xué)對(duì)此書推崇倍至,認(rèn)為比1.寫得好.7.熊全淹的"近世代數(shù)"。這本書的好壞不敢評(píng)論,不過這本書有個(gè)很大的特點(diǎn),就是作者收集了很多小文章,比如許多AmericanMathematicalMonthly上的短文。其它的就是比較專門的東西了，比如群論，就有影響過無數(shù)學(xué)者的6.庫洛什的"群論"。注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣?；蛘叨螌W(xué)復(fù)先生的導(dǎo)師Robinson寫的7.Robinson"AcourseinthetheoryofGroups"(GTM80)。再有象(群,代數(shù))表示論,環(huán)論,模論等等,都有專著,不過我是一竅不通的了。對(duì)于Galois理論,有本8.E.Artin的"伽羅華理論"。非常薄,講得很精彩,絕對(duì)是本傳世佳作。還有9.Edwards的"GaloisTheory"(GTM101)。這本書很有趣,它是循著Galois的原始想法寫的,因此和一般通行的教本里面的講法不是很一樣.（八）實(shí)變與泛函的參考書1.陳建功的"實(shí)函數(shù)論"。今天看來這里面的內(nèi)容相當(dāng)古典,但其中很多東西的講法到今天還是很好的.2.夏道行,嚴(yán)紹宗,吳卓人,舒五昌的"實(shí)變函數(shù)論與泛函分析"第二版,上,下冊(cè)3.楊樂,李忠編"中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)六十年"里面嚴(yán)紹宗先生和李炳仁先生寫的文章.4.E.Hewitt,K.Stromberg"RealandAbstractAnalysis"(GTM25)里面有相當(dāng)清晰簡(jiǎn)潔的關(guān)于選擇公理及其等價(jià)命題的敘述.那里寫到"Theaxiomofchoicedoesnotperhapsplayacentralroleinanalysis,butwhenitisneeded,itisneededmosturgently".這是很有道理的.這個(gè)方向上擴(kuò)展出去可以看6.那湯松的"實(shí)變函數(shù)論"。在下冊(cè)里面還有關(guān)于超限歸納法的描述.這本書是徐瑞云先生翻譯的。另外,對(duì)于很多具體的點(diǎn)集的例子,有許多書可以參考,比如7.汪林的"實(shí)分析中的反例"這是本非常非常好的書。作者是程民德先生的弟子.要記住的是,這不僅僅是一本講例子的書!和一些習(xí)題集和解答,比如8."實(shí)變函數(shù)論習(xí)題解答"。這是那湯松的書的習(xí)題解答.質(zhì)量一般,不過好歹是本習(xí)題解答吧.9."實(shí)變函數(shù)論的定理與習(xí)題"，記不清是誰寫的了,應(yīng)該是某個(gè)蘇聯(lián)人。面有詳細(xì)的解答,質(zhì)量相當(dāng)高.10.P.R.Halmos的"MeasureTheory"(GTM18)(中譯本:測(cè)度論)的框架里面。這本書實(shí)在不敢評(píng)論,自己看吧!這本書里面還有一些精選的習(xí)題,有膽子和時(shí)間的話值得一做.一本相當(dāng)有趣的書可以看看,就是11.J.Oxtoby的MeasureandCategory(GTM2)。這里的"category"不是指代數(shù)里面的范疇,而是集合的"綱",講了很多有趣的東西?，F(xiàn)在可以來談?wù)?2.周民強(qiáng)的"實(shí)變函數(shù)"(第二版)寫得不錯(cuò),總的說來最大的好處恐怕就是習(xí)題很多,而且都是能做的習(xí)題。有一本很好的書,可惜至今只打過幾個(gè)照面，就是：13.程民德,鄧東皋的"實(shí)分析"。我見過這書里面的一個(gè)測(cè)度的題目:$m^*(E_1\capE_2)+m^*(E1\cupE_2)\leqm^*(E_1)+m^*(E_2)$,還是很有趣的!此外,上一章里面的參考書都可以搬過來。需要注意的一點(diǎn)是,有些書是純講Lebesgue積分的,比如6.12.等,有些細(xì)節(jié)上注意一下L與L-S的差別還是有用的.14.I.E.Segal,R.A.Kunze的"IntegralsandOperators"和15.A.N.Kolmogorov,S.V.Fomin的"函數(shù)論與泛函分析初步"。這些作者應(yīng)該說都是相當(dāng)好的數(shù)學(xué)家了。廣義測(cè)度和R-N定理更是非掌握不可的。最后問個(gè)小問題:"L^1(R)是R上全體可積函數(shù)全體構(gòu)成的空間"這句話對(duì)嗎?在直線(或者更一般的局部緊群上),是有可能先建立積分理論再導(dǎo)出測(cè)度的.比如下面將要講到的16.夏道行,嚴(yán)紹宗,舒五昌,童裕孫的"泛函分析第二教程"里面就有一些這方面的內(nèi)容。此外還有象17.夏道行,嚴(yán)紹宗的"實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要(?)"好象就是按照先積分再測(cè)度的辦法講的。另外用這一體系的書好象還有18.F.Riesz,B.Sz.-Nagy的"泛函分析講義"(Leconsd'analysefonctionnelle)也是不錯(cuò)的書。對(duì)測(cè)度感興趣的話,還可以看一些動(dòng)力系統(tǒng)里面講遍歷理論(ergodictheory)的書,"那是真正的測(cè)度論"(J.M.Bony).19.汪林的"泛函分析中的反例"20.夏道行,楊亞立的"拓?fù)渚€性空間"。不過基本上是第二作者寫的,所以建議有興趣的化還是看下面幾本21.N.Bourbaki的"TopologicalVectorSpace"Chpt.1-5。布爾巴基寫書是一章一章出的,這書能一次就包含五章,實(shí)屬罕見，而且估計(jì)今后也不會(huì)有后續(xù)的內(nèi)容了。GTM里面也有兩本是講拓?fù)渚€性空間這個(gè)題目的:22.H.H.Schaefer的TopologicalVectorSpaces(GTM3)和23.J.L.Kelley,I..Namioka的LinearTopologicalSpaces(GTM36)里面有一章也是講這東西的。其他許多以"泛函分析"為標(biāo)題的書也是以此為出發(fā)點(diǎn)的,比如24.S.K.Berberian的"lecturesinFunctionalAnalysisandOperatorTheory"(GTM15)。Berberian也是很好的數(shù)學(xué)家,他譯的Connes的"NoncommutativeGeometry"是個(gè)很好的版本,盡管后來Connes自己出了個(gè)內(nèi)容更多的英文本?；蛘?5.W.Rudin的"FunctionalAnalysis"里也有很多非常有趣的內(nèi)容.Rudin的書都是很好的.26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov的"FunctionalAnalysis"不少人都說Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)有不少是給數(shù)學(xué)家的,這話一點(diǎn)不錯(cuò),不過給計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制下的數(shù)學(xué)家恐怕就Kantorovitch一位了.這是本很清晰簡(jiǎn)潔的書,中譯本的質(zhì)量也很不錯(cuò).此外還有27..J.B.Conway的ACourseinFunctionalAnalysis"(GTM96)28.Dunford,Schwarz的"LinearOperators"I.注意有些結(jié)論是可以把Banach空間減弱為Frechet空間的,不過好象據(jù)說實(shí)際應(yīng)用中除了廣義函數(shù)空間是個(gè)Frechet空間以外,其它用得并不多.再補(bǔ)充一下前面漏掉的一本書:29.W.Rudin"RealandComplexAnanlysis"里面可以看到不少實(shí)分析或者說泛函方法在復(fù)變中的應(yīng)用。Hilbert空間由于其上存在一個(gè)內(nèi)積,可以發(fā)展的性質(zhì)比Banach空間要多得多。從空間本身來講,線性代數(shù)學(xué)好點(diǎn)對(duì)本章前面幾節(jié)有很大幫助,學(xué)的過程中密切注視維數(shù)無限導(dǎo)致的各種反例就是了。算子理論其實(shí)也一樣,腦子里面清楚哪些有限維的性質(zhì)是可以推廣到無限維的對(duì)整個(gè)體系的理解很有用。這里可以做的習(xí)題非常多,特別是30.P.R.Halmos的AHilbertSpaceProblemBook(GTM19)算得上一本杰作."Theonlywaytolearnmathematicsistodomathematics"就出自這里。再往下去研究算子代數(shù)的話,就實(shí)在"是沒有底的東西了"(陳曉漫)。在16.里面有一章講些基本概念。這一塊的文獻(xiàn)也是浩如煙海,因?yàn)閷W(xué)得太少,不敢妄加評(píng)論,只想指出一本書,31.G.K.Pedersen的"C*-AlgebrasandtheirAutomorphismGroups"。這書連A.Connes都說好,我想決不會(huì)差到哪里去。再說兩句A.Connes,關(guān)于他的工作,或者說整個(gè)算子代數(shù)往后來的非交換幾何的發(fā)展歷史,特別是這一分支從其開始的階段就和量子物理的聯(lián)系,可以看32.VaughanJones(Fields90)andHenriMoscovici的"RiviewofNoncommutativeGeometrybyAlainConnes"AMSNotice,v.44(1997),No.733.A.Lesniewski的"NoncommutativeGeometry"。AMSNotice,v.44(1997),No.7。還有34.IrvingSegal的BookReview,NoncommutativegeometrybyAlainConnes。AMSBulletin,v.33(1996),No.4。因?yàn)?5.AlainConnes(Fields82)的"NoncommutativeGeometry"可以說是這一塊的里程碑式的著作,(33.中甚至說今后人們會(huì)用今天看Riemann的就職演說的眼光看這本書)。所以對(duì)于這本書的評(píng)論很多，也就把整個(gè)分支都評(píng)論進(jìn)去了,不妨看看。Jones說這書是"Amilestoneformathematics.Conneshascreatedatheorythatembracesmostaspectsof`classical'mathematicsandsetsusoutonalongandexcitingvoyageintotheworldofnoncommutativemathematics".做為老前輩,Segal的書評(píng)里面有一些批評(píng),也值得注意.在廣義函數(shù)的標(biāo)題下最有名的應(yīng)該是36.I.M.Gelfand等的"廣義函數(shù)"(GeneralizedFunctions,I-V)。大概I-IV都有中譯本吧!.從泛函的角度,據(jù)說是第二本最有意思。另外還有兩本好書,不光是這一塊內(nèi)容,從整體上講也是很好的泛函課本37.K.Yosida(吉田耕作)的"FunctionalAnalysis"。他也過兩種不同"規(guī)格"的書,一本比較厚,一本比較薄,都很好.38.H.Brezis的"AnalyseFonctionelle"。Brezis是法國(guó)科學(xué)院院士,非線性偏微的權(quán)威.他的這本書很見功力.如果能念法語的話絕對(duì)值得一讀。在Rudin的書25.里面也講了不少廣義函數(shù)的內(nèi)容,特別有一章講TauberianTheory,很有意思。（九）“數(shù)學(xué)物理方程”和“偏微分方程”的參考書1.谷超豪,李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻的"數(shù)學(xué)物理方程"(上?？萍?在這樣一個(gè)水平上(指不引進(jìn)廣義函數(shù),弱解等泛函里面的概念)是相當(dāng)不錯(cuò)的。注意那些經(jīng)典方程的推導(dǎo)里面多少有一些近似的過程,這其實(shí)從某種意義上反應(yīng)了所對(duì)應(yīng)的微分算子的某些性質(zhì)的穩(wěn)定性.比如,對(duì)于經(jīng)典的波動(dòng)方程,3維及以上的奇數(shù)維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經(jīng)典物理的時(shí)空里面空間維數(shù)必須是奇數(shù)的一個(gè)證據(jù)),你在其它一些書(或者說以后)可以看到,差不多二階雙曲方程里面只有波動(dòng)方程有這樣的性質(zhì)--但是別忘了,高維波動(dòng)方程的推導(dǎo)里面是有近似的,這說明什么?一階偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我課不知道,有些東西還是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿來證明微觀經(jīng)濟(jì)模型的合理性,然后說他看不出有存在C^\infty推理的可能--數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)是怎么回事,可見一斑.你能說社會(huì)活動(dòng)中的數(shù)據(jù)都是按t解析的嗎???!!!學(xué)這門課的那個(gè)學(xué)期在忙著各種各樣考試(比如T,G等等),故此沒能夠看太多的參考書.北大的課本可能相對(duì)更注重一些解的漸進(jìn)估計(jì)等等,而復(fù)旦對(duì)于顯式解講得更多些.2.谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆的"數(shù)學(xué)物理方程"(人民教育?高等教育?)的題材,難度,例題,習(xí)題等等和1.非常接近。這本曾出過一本"官方的"習(xí)題解答,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了。那本解答對(duì)于做作業(yè)是很有幫助的.比較容易找到的書里面,3.陳恕行,秦鐵虎的"數(shù)學(xué)物理方程--方法導(dǎo)引"是本非常好的講習(xí)題的書。里面的習(xí)題如果能夠全部做一遍的話,應(yīng)付考試是綽綽有余了.8.O.A.Ladyzhenskaya的"TheBoudaryvalueProblemsofMathematicalPhysics"和5.一樣,都很經(jīng)典.當(dāng)然你要說它們陳舊我也沒話可說。既然這課叫數(shù)學(xué)物理方程,多少和物理沾點(diǎn)邊吧,在這個(gè)方向上我以為9.李大潛,秦鐵虎的"物理學(xué)與偏微分方程"(高教)還是很不錯(cuò)的.該書的起點(diǎn)并不高,應(yīng)該比較容易看.據(jù)說該書的責(zé)編極為負(fù)責(zé),認(rèn)真到連里面的公式都一個(gè)個(gè)去推導(dǎo)的地步.從課程設(shè)置的角度上說,其實(shí)有一些深度介于本科課程和研究生的那門偏微基礎(chǔ)課之間的書(包括不少經(jīng)典)都可以在這段時(shí)間里面看看的.比如10.L.Bers,F.John,M.Scheter,"PartialDifferentialEquations"。Bers是個(gè)很有趣的人,可以看看11.L.Steen,ed.的"今日數(shù)學(xué)"(MathematicsToday)里的文章.附帶說一句,這本書是最好的數(shù)學(xué)普及讀物之一,絕對(duì)值得一看,中譯本的質(zhì)量也不錯(cuò).12.F.John的"PartialDifferentialEquations"。13.J.Rauch的"PartialDifferentialEquations"(GTM128)14.M.Taylor的"PartialDifferentialEquationsI"(AppliedMathematicalSciences115)后面這本看前半就可以,后半也看當(dāng)然更好:-))。引G.Lebeau的一句話,這書比15.L.Hormander的"LinearPartialDifferentialOperators,I"要好念多了.(當(dāng)然基本上人人都是這么認(rèn)為的,只不過這位的來頭比較大而已--法國(guó)科學(xué)院通訊院士)。我拓?fù)鋵W(xué)得很差(從總體上說),因此這里我也說不出太多東西.（十）“拓?fù)洹钡膮⒖紩?.李元熹,張國(guó)(木梁)的"拓?fù)鋵W(xué)"的前兩章還是不錯(cuò)的.至少該講的東西都講了,而且后面羅列(我想不出還有什么更好的形容詞)了許多習(xí)題,做上一遍是很有趣的一項(xiàng)工作.中文的參考書里面好象2.熊金城的"點(diǎn)集拓?fù)渲v義"是比較好的.該書也有些名氣.不過要好好學(xué),可能還是看下面的兩本比較經(jīng)典的書:3.J.L.Kelley的"GeneralTopology"(GTM27)名頭很響,55年出版的時(shí)候應(yīng)該算得上是把這一領(lǐng)域里面的結(jié)果做了個(gè)很好的總結(jié).該書是想寫成課本的，因此每章后面都有習(xí)題,按A,B,C,D,...編號(hào).只是....真要做起來未免有些困難.聽說過這樣一個(gè)故事,就是曾有位華裔數(shù)學(xué)家回國(guó)講學(xué)的時(shí)候于酒席間說他的老師要他去學(xué)拓?fù)?指明看Kelley的書,而且要習(xí)題全做.結(jié)果大家都笑了,因?yàn)榇蠹叶济靼走@目標(biāo)不是很現(xiàn)實(shí).我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)是,在那個(gè)學(xué)期陷入各類考試的重圍中之前,還做了前面兩三章的題目.是比較困難,但是做起來也非常有趣.再補(bǔ)充一本中文的書,內(nèi)容和1.差不多4.尤承業(yè)的"基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)"是北大的教材.5.I.M.Singer,J.A.Thorp的"Lecturenotesonelementarytopologyandgeometry(中譯本基礎(chǔ)?)幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)講義,干丹巖譯)是極好的教材,應(yīng)該可以用深入淺出來形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起證指標(biāo)定理的那位,說是重量級(jí)人物當(dāng)無疑義.如果你只想查結(jié)果,我覺得可以去找6.R.Engelking的"GeneralTopology"七十年代末寫的,內(nèi)容翔實(shí)。這里屬于代數(shù)拓?fù)涞钠鹗疾糠?參考書一下子就比前面的多多了.講代數(shù)拓?fù)涞臅?可能7.Greenberg的"LecturesonAlgebraicTopology"屬于寫得很通俗易懂,配置合理的那一類.還有象GTM里面的8.W.S.Massay的"AlgebraicTopology:AnIntroduction"(GTM56)也是寫得很好的書.拓?fù)鋵W(xué)是在十九世紀(jì)末興起，并在二十世紀(jì)中蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在已與近世代數(shù)，近世分析共同成為當(dāng)代數(shù)學(xué)理論的三大支柱。如果先要對(duì)該學(xué)科有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)的話，建議看《拓?fù)鋵W(xué)奇趣》巴爾佳斯基葉弗來莫維契合著。這本書只有不到兩百頁，可是覆蓋的面很廣，也有一定數(shù)量的有啟發(fā)性的題目。M.A.Armstrong的《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》也是一本不錯(cuò)的書。該書中的討論范圍有很多是基于Hausdorff空間，有些是甚至是在度量空間里討論問題的，所以一些定理的證明就變的比較簡(jiǎn)單易懂，例如Urysohn引理。Spanier's"AlgebraicTopology"cannotbeneglected.itisaclassicinthisfield,thoughitisnoteasytoread.Aleksandrov's"CombinatorialTopology"isverygoodforbeginner.Itisanauthorityinhistory,butitistoolarge,itcontains3volumes.Bredon's"TopologyandGeometry"(GMT139)ispraisedasthesuccessorofSpanier'sgreatbook.(十一)“微分幾何”的參考書幾何是非常美妙的,通常人們提到幾何的時(shí)候會(huì)把直觀兩個(gè)字加上去.這其實(shí)是很有道理的,在微分幾何中也不例外.具體的說,就是雖然微分幾何往往會(huì)使人感覺被淹沒在計(jì)算的汪洋大海,但是有一個(gè)幾何的"感覺"是很有幫助的.1.蘇步青,胡和生等"微分幾何"寫得不錯(cuò).這很大程度上應(yīng)當(dāng)感謝本書的主要作者,也就是書上列的第三作者沈純理先生.應(yīng)當(dāng)承認(rèn)這本書,特別是第三章,取材受下書的影響：2.DoCarmo(多卡模)"曲線和曲面的微分幾何學(xué)""DifferentialGeometryofCurvesandSurfaces"是本絕對(duì)的好書,胡先生他們把這本書翻譯出來實(shí)在是功德無量。1.的第三章里有個(gè)習(xí)題是從2.的中譯本上搬過來的,不過有題意不清之嫌.做的時(shí)候要小心。還有一點(diǎn)要注意的是1.里面曲面論基本定理的證明中有個(gè)地方漏印了兩項(xiàng).一般說來,看上面兩本書也就夠了,可以考慮的擴(kuò)充部分包括在2.的末尾所開列的參考書目.這是我很少見到的帶書評(píng)的書目.3.Eisenhart的"DiffenrentialGeometry(?)"4.Darboux的"Leconssurlatheoriegeneraledessurfaces"。古典微分幾何的開山之做是5.Gauss的"Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas"。這是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些東西是用德文寫的)6.P.Dombrowski的"150yearsafterGauss''Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas'"里有完全的英文翻譯和里面的結(jié)果到20世紀(jì)70年代末的發(fā)展情況.對(duì)于中文的課本,其實(shí)總數(shù)就不是太多.有象7.吳大任的"微分幾何學(xué)(?)"或五十年代翻譯蘇聯(lián)的課本等等,內(nèi)容都差不多,而且微分幾何的特點(diǎn)是各人都喜歡用自己的一套符號(hào),許多符號(hào),象曲率等等,常會(huì)有正負(fù)號(hào)的差異,所以建議認(rèn)定一兩本,其它簡(jiǎn)單翻翻即可.所以說想找講解詳細(xì)的書還不如看8.沈純理,黃宣國(guó)的"微分幾何"(經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,97)。雖然說這本書是自學(xué)考試的教材.那里的習(xí)題也是有較詳細(xì)解答的.更難一些的習(xí)題可以在9.姜國(guó)英,黃宣國(guó)的"微分幾何100例"。里面的題目全部做下來的話,應(yīng)付期末考試絕對(duì)是沒有問題