(2019-2020)【重點(diǎn)資料】高中數(shù)學(xué)-第三章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-3.4-生活中的優(yōu)化問題舉例課時(shí)作業(yè)-新人教A版選修

PAGEPAGE43.4生活中的優(yōu)化問題舉例【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)幾何中的最值問題1,4,10用料最省、費(fèi)用最省問題6,8,11利潤最大問題5,7,9其他問題2,3【基礎(chǔ)鞏固】1.一個(gè)箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)=x2()(0<x<60),則當(dāng)箱子的容積最大時(shí),x的值為(B)(A)30 (B)40 (C)50 (D)60解析:V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且當(dāng)0<x<40時(shí),V′(x)>0,當(dāng)40<x<60時(shí)V′(x)<0,故V(x)在x=40時(shí)取得最大值.故選B.2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí),原油溫度(單位:℃)為f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(C)(A)8 (B) (C)-1 (D)-8解析:原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以當(dāng)x=1時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值-1.故選C.3.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個(gè)數(shù)為(B)(A)2和6 (B)4和4(C)3和5 (D)以上都不對(duì)解析:設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0≤x≤8,y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.當(dāng)0≤x<4時(shí),y′<0;當(dāng)4<x≤8時(shí),y′>0,所以當(dāng)x=4時(shí),y取得極小值,也是最小值.故選B.4.如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為(A)(A)()3π (B)()3π (C)()3π (D)()3π解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r+2h=l,所以h=,V=πr2h=πr2-2πr3(0<r<).則V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,所以r=是其唯一的極值點(diǎn).所以當(dāng)r=時(shí),V取得最大值,最大值為()3π.故選A.5.(2018·石家莊高二質(zhì)檢)某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款額與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x∈(0,4.8%)),則使銀行獲得最大收益的存款利率為(A)(A)3.2% (B)2.4% (C)4% (D)3.6%解析:依題意知,存款額是kx2,銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3,銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048kx2,所以銀行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y′=0.096kx-3kx2.令y′=0,解得x=0.032或x=0(舍去).當(dāng)0<x<0.032時(shí),y′>0;當(dāng)0.032<x<0.048時(shí),y′<0.因此,當(dāng)x=0.032時(shí),y取得極大值,也是最大值,即當(dāng)存款利率定為3.2%時(shí),銀行可獲得最大收益.故選A.6.如圖所示,某廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí),堆料場的長和寬分別為.

解析:要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短,設(shè)場地寬為x米,則長為米,因此新墻壁總長度L=2x+(x>0),則L′=2-.令L′=0,得x=±16.因?yàn)閤>0,所以x=16.當(dāng)x=16時(shí),Lmin=64,此時(shí)堆料場的長為=32(米).答案:32,167.(2018·長春高二月考)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)=1200+x3(萬元),已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元,則產(chǎn)品件數(shù)定為件時(shí),總利潤最大.

所以當(dāng)x=時(shí),S取極大值,也就是最大值.所以當(dāng)梯形的上底長為r時(shí),它的面積最大.【探究創(chuàng)新】11.(2018·寧波高二檢測)某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站千米處.

解析:設(shè)倉庫與車站相距x千米,依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1=,每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k2是比例系數(shù),于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=+(x>0),y′