專題十一 幾何、代數(shù)最值問題

222222專題十一幾、代數(shù)最值問題類型利用稱、線段公理求最小值k．臨沂)圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象與邊長是x的正方形OABC的邊BC分相交于MN兩OMN的積為10.若點P在x軸上，則PM＋的小值是(C)A．2B．．226D．29kkkk解由已知得M(6)N(6)∴＝6＝6－∵OMN的積為×666kkk－××－×－×(6)＝10∴＝，∴M(6，，，作M關(guān)于x軸的626對稱點M接NM交x軸NM的＝PMPN的小值A(chǔ)M＝＝BM＝，＝，∴＝BM′＋＝10＋＝226.．棗莊如圖，直線＝x＋y軸別交于點A點B點CD分為線段AB、中點，點P為OA一動點PC＋PD值小時點P的坐標(biāo)為A．(－3．(－，0)5C．－，0)D(－，0)解方法一作點D關(guān)x軸對稱點D，接CD交x軸于點，時＋值小，如圖所示．可求點，A(－6，0)

∵點C、分為線段AB、的中點，∴點C(－，，點D(02)．∵點′和關(guān)于軸稱，∴的坐標(biāo)為，－．設(shè)直線的解析式為＝kx＋b∵直線CD4過點－32)D′(02)，可求CD的析式為y－2.＝－x－中y＝0則033＝－x－2解得：x＝－，點P(－，0)．方法連接，作點關(guān)x軸的對稱22D，接CD交x軸點，此時PC＋值小，如圖2所．貴港)如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝90°ABC繞點C逆針旋轉(zhuǎn)得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′BMBC的中點P是′B的點，連接若＝2，BAC＝，則線段PM的最大值是(B)A．．3．2D．1解：如圖連接PC在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∵A＝30°，＝，AB＝，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知B＝AB＝4，P＝，PCB＝2，CMBM1又≤＋CM，PM≤3，∴PM最大值為3(此時、C、M共)．．菏澤)圖，矩形ABOC的點A的標(biāo)為(－4，，是OB中點是OC上的一點，當(dāng)△ADE的周長最小時，點的坐標(biāo)是(5A．(0，)．(0，)C．(0D．(0，)33

解：作A關(guān)于軸的對稱點A，連接AD交y軸，此時，△ADE的周長最小，∵四邊形ABOC是矩形∴AC∥＝∵的坐標(biāo)為－5)∴A′(45)(－4，D是的中點，∴D(－，，設(shè)直線DA的析式為y＝kx＋，可求直線DA的解5析式為y＝x＋，x＝時，y＝，∴E，)．3天)圖所示方形ABCD的長為是邊上一點且BE，對角線AC上一動點，連PB、，點P在AC上運時，周的最小值是__6__．解：連接DE于AC交點P′，連接BP，此時eq\o\ac(△,)′E的長是△PBE周的最小值，∵＝1，BC＝CD，＝，＝5，∴＋′E＝＝5，PBE周長的最小值是＋1＝6.．徐州)圖，將邊長為6的三角形紙片ABC按下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕AD，如圖，點O其交點．(1)探求AO與OD的量系，并說明理由；(2)如圖，若P，分為BEBC上動．①當(dāng)PN＋PD長度取得最小值時，求BP的度；②如圖，若點Q在線段BO，BQ，則＋NPPD的小值．解＝理由△ABC是等邊角形BAO∠＝∠OBD，∴AO＝OB，∵BD＝CD，∴AD⊥，∴＝90°，∴OB2OD∴OA＝2OD；(2)如圖作D關(guān)的稱點過D作D′N⊥于N于P則此時

2222222222222222＋的度取得最小，∵垂平分DD，∴BD＝BD，∵∠ABC60°eq\o\ac(△,∴)′BN3是等邊三角形，BNBD，∵＝30°，∴＝，＝3；(3)如圖，作Q關(guān)BC的稱點Q，D于BE的對稱點，連接Q′D，D′Q的長度即為QN＋＋PD最小值．在eq\o\ac(△,Rt)′BQ中，D′Q＝3＋1＝10.QNNP＋的小值＝10.類型利用數(shù)性質(zhì)求最值7．濟(jì)寧)已知函數(shù)y＝－(2m5)x＋m圖象與x軸兩個公共點．(1)求m的值范圍，并寫出當(dāng)m取圍內(nèi)最整數(shù)時函數(shù)的解析式；(2)題(1)中求得的函數(shù)為，1①當(dāng)≤x≤－1時，y的取值范圍是1≤y≤－3n求值；②函數(shù)Cym(x－＋的象由函的象平移得到，其頂點落以原點為2圓心，半徑為的圓內(nèi)或圓上，設(shè)函數(shù)的圖象頂點為M，求點P與點M距離最大時函1數(shù)C的解析式．2解：(1)∵函數(shù)圖象與x軸兩個交點，≠且[－－5)]－4m(m＞，解得：＜

且≠0.∵為合條件的最大整數(shù)，＝2.∴函數(shù)的解析式為y＝＋x.(2)拋物線的對稱軸為x＝－＝.≤x≤－＜－＝＞0當(dāng)≤x≤－1時2a44yx的大而減小x＝時－3n.∴2n＋n＝－3nn或n＝舍去)的值為－2.111(3)∵y＝2x＋x＝＋－，－，．如圖所示848

22222222222222當(dāng)點P在OM與O交點處時有最大值．設(shè)直線OM的析式為y＝，點M的坐標(biāo)代入解得k∴的析式為y＝x.點的標(biāo)為，x)．由兩點間的距22離公式可知＝

x＋）

＝5解得x＝2或x＝－2(去．∴點的標(biāo)(，．∴當(dāng)點P與M距最大時函數(shù)C的析式為＝2(x－2＋1.8．(2017·畢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(，，，，C(0－三點，點是線BC方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)是否存在點P，△是以O(shè)C為邊的等腰三角形？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)動點P運到什么位置時，PBC面積最大，求出此時點標(biāo)eq\o\ac(△,和)PBC的大積．解：(1)拋物線解析式為y＝x

－3x4；(2)作的直平分DP交OC于D交BC方拋物線于點，圖，∴＝，時點即為滿足條件的點，C(0－，∴D(0，－，∴P點縱坐標(biāo)為，代入拋物線解析式可得

－173＋－－4－，解得x＝(小于，舍去或＝，存2317在滿足條件的點其坐標(biāo)為，；(3)∵點P在物線上，∴可設(shè)，3t4)，過作PEx軸于點E，交直線于點F，如圖