北師大版數(shù)學(xué)八上一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)及例題精華

【函數(shù)與變量】在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，有些量的數(shù)值是始終不變的，我們稱它為常量，如圓的面積Sr2，S與r是變量，是常量注意：在某一變化過程中，變量、常量都可能有多個(gè)。常量可以是一個(gè)實(shí)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式（數(shù)值始終保持不變）【函數(shù)的概念】一般地，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。（實(shí)際上，函數(shù)說的就是y是怎么樣隨著x的變化而變化的，也可以管y叫x的變化規(guī)律）對(duì)函數(shù)概念的理解：有兩個(gè)變量一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的變化而變化自變量每確定一個(gè)值，函數(shù)有一個(gè)并且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)（或多個(gè)x的值可以對(duì)應(yīng)一個(gè)y值但不能一個(gè)x值對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，如y=x2和x2=y）(4)我們習(xí)慣上設(shè)y為函數(shù)，但不表示其它字母不可以作為函數(shù)，如s=vtx=6y(5)我們?cè)趯懞瘮?shù)的時(shí)候把函數(shù)寫在等號(hào)的左邊，把自變量寫在等號(hào)的右邊例：y=2x-1例：下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A、長(zhǎng)方形的寬一定，其長(zhǎng)與面積B、正方形的周長(zhǎng)與面積C、等腰三角形的底邊與面積D、球的體積與球的半徑【函數(shù)的表示方法】列表法：通過列出自變量的值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法。優(yōu)點(diǎn)：能明顯地呈現(xiàn)出自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值缺點(diǎn)：只能列出部分自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，難以從表格中看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律解析法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫解析法。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明扼要，規(guī)范準(zhǔn)確，便于分析推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)缺點(diǎn)：有些函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示圖像法：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，把自變量與函數(shù)的每組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中畫出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的圖形叫這個(gè)的圖像優(yōu)點(diǎn)：形象直觀，能清晰呈現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)缺點(diǎn)：所畫的圖像是近似的，局部的，從圖像上觀察的結(jié)果也是近似的【函數(shù)圖像的意義】一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖像。如：某同學(xué)在幾個(gè)月份的考試中；月份和考試成績(jī)的關(guān)系用圖形表示出來(lái)注意：（1）函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)P（x,y）中的x和y滿足函數(shù)關(guān)系式，反之，滿足函數(shù)關(guān)系式的任意一對(duì)x和y的值組成的點(diǎn)（x,y）一定在函數(shù)的圖像上（2）判斷點(diǎn)P（x,y）是否在函數(shù)圖像上的方法是：將點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，則這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)圖像上，否則這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)圖像上。例：已知點(diǎn)（2，7）在函數(shù)yax26的圖像上，求a的值，并判斷點(diǎn)（4，12）是否在該函數(shù)的圖像上【畫函數(shù)圖像的步驟】1、列表2、描點(diǎn)3、連線。如：請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出y=x，y=x+1，y=x-1，y=x+2的圖像【自變量取值范圍】自變量的取值必須使含自變量的代數(shù)式都有意義。在初中范圍內(nèi)沒有意義的三種情況是（1）00（2）0作分母（3）根號(hào)下為負(fù)整式：其自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。分式：其自變量的取值范圍是使得分母不為0的實(shí)數(shù)二次根式下含自變量：其自變量的取值范圍是使得被開方式為非負(fù)的實(shí)數(shù)。如x1中x1自變量的取值范圍可以是有限的或無(wú)限的，也可以是幾個(gè)數(shù)或單獨(dú)的一個(gè)數(shù)。如在yx11x中x的取取值范圍只能是x=1當(dāng)函數(shù)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義。例如：Sr2中，r表示圓的半徑時(shí)，r>0例：下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x>2的是2y2yxB、21yxC、12yxD、121yx【函數(shù)值】（1）對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，如當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值，叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值，即函數(shù)值（2）當(dāng)已知解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值：當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值，求相應(yīng)的自變量的值時(shí)例1：已知y=3x-1，求（1）當(dāng)x取1，-1時(shí)的函數(shù)值（2）當(dāng)1,3,23y時(shí)x的值例2：已知水池中m6003的水，每小時(shí)會(huì)抽出50m3，（1）寫出剩余水量的體積V（m3）與時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）8h以后，池中還有多少水？（3）多長(zhǎng)時(shí)間后，池中還有100m3的水？1、請(qǐng)寫出下列關(guān)系式，并指出哪些量是常量，哪些量是變量（1）設(shè)圓柱的底面半么R不變，圓柱的體積V與圓柱的高h(yuǎn)的關(guān)系式是2Vrh（2）由實(shí)驗(yàn)測(cè)得某一彈簧的長(zhǎng)度y(cm)與懸掛物體的質(zhì)量x(kg)之間有如下關(guān)系y=—12+0.5就是解方程練習(xí)：2、一次函數(shù)一般的，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)一般的，形如y=kx+b(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。其中當(dāng)b＝0時(shí)y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。將直線y=kx向上或向下平移b個(gè)單位就會(huì)得到y(tǒng)=kx+b。（其中當(dāng)b>0時(shí),向上平移，b<0時(shí)向下平移）函數(shù)圖像函數(shù)圖像性質(zhì)y=kx+bk,b(為常數(shù),且k(0)經(jīng)過象限變化規(guī)律k>0b>0一、二、三象限y隨x的增大而增大b=0原點(diǎn)及一、三象限b<0一、三、四象限k<0b>0一、二、四象限y隨x的增大而減小b=0原點(diǎn)及二、四象限b<0二、三、四象限k表示直線y=kx+b(k0)向上的方向與x軸正方向夾角的大小，即直線傾斜的程度；b表示直線y=kx+b（k0）與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)一次函數(shù)Y=kx+bk0的圖象，當(dāng)b>0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方；當(dāng)b<0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方；兩直線y=kx+b（k0）的圖象與y=kx+b（k0）的位置關(guān)系： 1 1 2 2當(dāng)k=k時(shí)，且bb時(shí)，兩直線平行2 1 2當(dāng)k=k時(shí)，且b=b時(shí)，兩直線重合2 1 212（412（4）當(dāng)k1k2時(shí)，且b1=b2時(shí)，兩直線交于y軸上一點(diǎn)（0，b1）或（0，b2）一次函數(shù)的典型題型【已知解析式，會(huì)畫圖像】如：一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長(zhǎng)為12cm，掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成正比例，如果掛上3kg的物體后，彈簧總長(zhǎng)是13.5cm，求彈簧總長(zhǎng)y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像【根據(jù)圖像，求出解析式】如圖，直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）A、332yxB、332yxC、233yxD、233yx【看一個(gè)點(diǎn)在不在已知圖像上】已知點(diǎn)（3，2）在直線l：2yxb上，求（—1，3）在不在l上【直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)】一次函數(shù)152yx與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是【已知兩點(diǎn)，求解析式】如：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過（0，1）、（3，72），求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式【求兩直線交點(diǎn)】如：求y=2x+1與y=—x—2的交點(diǎn)【已知一條直線解析式和交點(diǎn)，求另一解析式】已知y=x+1與y=ax+4交于（3，4）點(diǎn)，求（4，5）在不在y=ax+4上?！靖鶕?jù)a、b的正負(fù)，判斷直線所在象限】如：一次函數(shù)y=-2x+3的圖像不經(jīng)過第（）象限【根據(jù)直線，判斷a、b的符號(hào)】【比較兩直線大?。▁的取值范圍）】請(qǐng)說出y=2x+1大于y=-x-2的x的范圍【根據(jù)a的符號(hào)判斷遞增遞減性】如：點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P(x,y)是一次函數(shù)y=-4x+3圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，且xx， 1 1 1 2 2 2 1 2則y與y的大小關(guān)系是（）A、yyB、yy>0C、yyD、yy2 1 2 1 2 1 2 1 2【根據(jù)一次函數(shù)的一般形式，求未知數(shù)的大小】如y(2m1)xm23，y隨x的增大而減小，則m的值為：練習(xí)：自編10道一次函數(shù)的解析式，然后在坐標(biāo)系中畫出大致圖像，標(biāo)出與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y(m3)xm2m是一次函數(shù)？（1）求該直線的函數(shù)解析式（2）如果這條直線經(jīng)過點(diǎn)P（m，2），求m的值11、4100米接力賽是學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)最精彩的項(xiàng)目之一。圖中的實(shí)線和虛線分別是九年級(jí)一班和九年級(jí)二班代表隊(duì)在比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員所跑的路程y（米）與所用時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象（假設(shè)每名運(yùn)動(dòng)員跑步的速度不變，交接棒的時(shí)間忽略不計(jì)）（1）九年級(jí)二班跑得最快的是第棒的運(yùn)動(dòng)員（2）發(fā)令后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩班運(yùn)動(dòng)員第一次并列？m213、已知一次函數(shù)y(m2)x1，問：426、如圖，在直角梯形ABCD中，DCPAB，A=90，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Nww點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以2m/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，則四邊形ADMN的面積y(cm2)與兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)的函數(shù)圖像大27、y=2x27、y=2x向右平移