鴿巢原理的教學(xué)設(shè)計(jì)和反思

《鴿巢原理》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思課題：鴿巢問題科目：數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)象：六年級(jí) 課時(shí)：第一課時(shí)提供者：周軍軍單位：錦溪小學(xué)一、教學(xué)內(nèi)容分析“數(shù)學(xué)廣角”是人教版六年級(jí)下冊(cè)第五單兀的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^生日。在這類問題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說明通過什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“鴿巢原理'（又稱"抽屜原理”）。本節(jié)課教材借助把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中的操作情境，介紹了一類較簡(jiǎn)單的“鴿巢原理”，即把m個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（m>n，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。關(guān)于這類問題，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已積累了一定的感性經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進(jìn)行“證明”，然后再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。讓學(xué)生通過本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生加深理解，學(xué)會(huì)利用“鴿巢問題”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。在此過程中，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。實(shí)際上，通過“說理”的方式來理解“鴿巢原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)業(yè)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，這個(gè)過程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，能從紛繁的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要方面。二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與能力目標(biāo)：經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”，會(huì)用“鴿巢原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。通過猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立數(shù)學(xué)模型,發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷?。2.過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有枝據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。三、學(xué)習(xí)者特征分析鴿巢原理是學(xué)生從未接觸過的新知識(shí)，難以理解鴿巢原理的真正含義，發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生他們自己提前先學(xué)了，在具體分的過程中，都在運(yùn)用平均分的方法，也能就一個(gè)具體的問題得出結(jié)論。但是這些學(xué)生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然，，，為什么平均分能保證“至少，，的情況，他們并不理解。有時(shí)要找到實(shí)際問題與“鴿巢原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“鴿巢”，要用幾個(gè)“鴿巢”。1.年齡特點(diǎn)：六年級(jí)學(xué)生既好動(dòng)又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。2.思維特點(diǎn)：知識(shí)掌握上，六年級(jí)的學(xué)生對(duì)于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對(duì)于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細(xì)致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。

四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)1.用具體的操作，將抽象變?yōu)橹庇^。“總有一個(gè)筆筒中至少放進(jìn)2枝鉛筆”這句話對(duì)于學(xué)生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解。怎樣讓學(xué)生理解這句話呢？我覺得要讓學(xué)生充分的操作，一在具體操作中理解“總有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保證“至少”的最好方法。通過操作，最直觀地呈現(xiàn)“總有一個(gè)文具盒中至少放進(jìn)2枝鉛筆”這種現(xiàn)象，讓學(xué)生理解這句話。2.充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性，讓學(xué)生在證明結(jié)論的過程中探究方法，總結(jié)規(guī)律。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主動(dòng)者，特別是這種原理的初步認(rèn)識(shí)，不應(yīng)該是教師牽著學(xué)生手去認(rèn)識(shí)，而是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生自己去探索，發(fā)現(xiàn)。所以我認(rèn)為應(yīng)該提出問題，讓學(xué)生在具體的操作中來證明他們的結(jié)論是否正確，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力。3.適當(dāng)把握教學(xué)要求。我們的教學(xué)不同于民間的培優(yōu)機(jī)構(gòu)，因此在教學(xué)中不需要求學(xué)生說理的嚴(yán)密性，也不需要學(xué)生確定過于抽象的“鴿巢”和“物體”。五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”。 教學(xué)難點(diǎn)： 理解“鴿巢原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題加以“模型化”。六、教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、游戲激趣，初步體驗(yàn)。這個(gè)游戲的名字叫做‘搶椅子”現(xiàn)在，老師這里準(zhǔn)備了3把椅子，請(qǐng)4個(gè)同學(xué)上來，誰愿來？師：請(qǐng)聽清楚游戲要求，下面的同學(xué)為他們進(jìn)行倒計(jì)時(shí)，時(shí)間一到，請(qǐng)你們4個(gè)都坐在椅子上，每個(gè)人必須都坐下。聽清楚要求了嗎？游戲完后師述：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)”這句話說得對(duì)嗎？不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)？你知道這是什么道理嗎？這其中蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就一起來研究這個(gè)原理。。玩搶椅子游戲。教師從學(xué)生熟悉的“搶椅子”游戲開始，讓學(xué)生初步體驗(yàn)不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)，使學(xué)生明確這是現(xiàn)實(shí)生活中存在著的一種現(xiàn)象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后面開展教與學(xué)的活動(dòng)做了鋪墊。二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（一）經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，理解原理。1.自主猜想，初步感知。（提出問題）課件出示題目：有4枝鉛筆，3個(gè)筆筒，把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，怎么放？有幾種不同的放法？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手?jǐn)[一擺，看看有哪幾種情況？學(xué)生小組合作，進(jìn)行操作。擺一擺、畫一畫、想一想、議一議”。通過畫一畫、想一想、議一議的過程，把抽象的說理用圖形畫在紙上，化抽象為具體，發(fā)現(xiàn)并描述、理解了最簡(jiǎn)單的“鴿巢原理”。

師猜：同學(xué)們，我猜，不管你們?cè)趺捶?，總有一個(gè)筆筒里放有鉛筆，而且放得最多的筆筒里，肯定有2枝或2枝以上。你們同意嗎？2.驗(yàn)證結(jié)論。（1）先請(qǐng)列舉所有情況的學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)。我猜得對(duì)嗎？第一種：（4,0,0）,這種放法，放得最多的筆筒里有幾枝鉛筆？老師剛才猜了，肯定有2枝或2枝以上，對(duì)嗎？第二種：（3,1,0）,我猜得對(duì)嗎？。這種放法，放得最多的筆筒里有幾枝鉛筆？老師剛才猜的對(duì)嗎？第三種：（2,2,0）我猜得對(duì)嗎？第四種： （2,1,1）我猜得對(duì)嗎？還有別的擺法嗎？在這四種擺法中，看看放得最多的筆筒里，有的裝有4枝鉛筆，有的裝有3枝，有的裝有2枝，也就是肯定有一個(gè)筆筒里有2枝或2枝以上，還可以說成總有一個(gè)筆筒里至少裝有2枝鉛筆。板書：總有一個(gè)筆筒至少放進(jìn)2枝鉛筆。學(xué)生匯報(bào)放法。一說明列舉的不同情況，二結(jié)合操作說明自己的結(jié)論。生說理由。生說理由生說理由。生說理由。解釋“總有”、“至少”的含義通過讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，用列舉法找出四枝鉛筆放入三個(gè)盒子的所有方法，觀察總結(jié)概括出四種方法的共同點(diǎn)，即總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆，讓學(xué)生充分理解“總有”、“至少”的含義?！可忉屵@現(xiàn)象。此環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分體會(huì)用平均分的好處，用除法算式表示出來，形象直觀，便于學(xué)生理解，幫助學(xué)生初步建立模型。（2）提出問題。剛才我們研究了每種情況中放得最多的筆筒里至少放進(jìn)了幾枝鉛筆。怎樣才能使這個(gè)放得最多的筆筒里盡可能地少放鉛筆呢？課件操作，先每個(gè)筆筒放一枝，剩下的一枝還要放進(jìn)一個(gè)筆筒里，無論放在哪個(gè)筆筒里，一定能找到一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。用平均分將鉛筆盡可能的分散，保證“至少”的情況。（3）初步觀察規(guī)律。教師繼續(xù)提問：如果把5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)筆筒里呢？怎樣解釋這一現(xiàn)象？師能用算式表示嗎？（生答，師板書：5：4=1??1）還把6枝筆放進(jìn)5個(gè)筆筒里呢？把7枝筆放進(jìn)6個(gè)筆筒里呢？把8枝筆放進(jìn)學(xué)生匯報(bào)放法。一說明列舉的不同情況，二結(jié)合操作說明自己的結(jié)論。生說理由。生說理由生說理由。生說理由。解釋“總有”、“至少”的含義通過讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，用列舉法找出四枝鉛筆放入三個(gè)盒子的所有方法，觀察總結(jié)概括出四種方法的共同點(diǎn)，即總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆，讓學(xué)生充分理解“總有”、“至少”的含義。】生解釋這現(xiàn)象。此環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分體會(huì)用平均分的好處，用除法算式表示出來，形象直觀，便于學(xué)生理解，幫助學(xué)生初步建立模型。99枝筆放進(jìn)100個(gè)筆筒里呢？m+1枝鉛筆放進(jìn)m個(gè)筆筒呢？你發(fā)現(xiàn)什么？師：你想的和他一樣嗎？（一樣）你們太了不起了！你們概括得非常好！那么，是否只有在鉛筆數(shù)比筆筒數(shù)多1的時(shí)候才有這樣的規(guī)律呢？請(qǐng)看屏幕。（二）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解“鴿巢原理”。1.數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。2.探究“鴿巢原理二”， （1）出示71頁的例2：把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少有幾本書？你是怎么想的？學(xué)生匯報(bào)：如果每個(gè)抽屜里先放2本，還剩1本，這本書不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少有3本書。能不能用算式表示你的想法呢？ 5：2=2??12+1=3（本）如果把7本書放2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放幾本書？（課件演示）可以用算式記錄下來嗎？④如果把9本書放進(jìn)2個(gè)抽屜呢？觀察：你又有什么發(fā)現(xiàn)？（生：余數(shù)都是1,至少數(shù)=商+余數(shù)，至少數(shù)=商+1）4、師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這里的余數(shù)都是1,余數(shù)有沒有是2、3、4的情況呢？如果余數(shù)不是1,那會(huì)有什么結(jié)論呢？想不想知道？（出示：7只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿舍里，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里，這是為什么？）8只鴿子飛回3個(gè)鴿籠，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。為什么？③師總結(jié)：看來，余數(shù)不是1時(shí)，要把余數(shù)再平均分，才能保證至少。③怎么列式？（板書：7：5=1??2） 5、修改結(jié)論，得出規(guī)律:大家現(xiàn)在認(rèn)為至少數(shù)應(yīng)該與什么有關(guān)？（板書：至少數(shù)=商+1）生說發(fā)現(xiàn)：鉛筆的枝數(shù)比筆筒數(shù)多1,不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。大家集體說一遍。同桌互相說一遍。學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)活動(dòng)（獨(dú)立思考自主探究）在說理的過程中重點(diǎn)關(guān)注'余下的2只鴿子”，一定在一個(gè)鴿籠里嗎？如何分配？生：把7本書平均分，每個(gè)抽屜放3本，剩1本，無論怎么放，總有1個(gè)抽屜至少放4本。學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)活動(dòng)（獨(dú)立思考自主探究）在說理的過程中重點(diǎn)關(guān)注'余下的2只鴿子”，一定在一個(gè)鴿籠里嗎？如何分配？讓學(xué)生在這個(gè)過程中發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維，逐步建立模型從余數(shù)1到余數(shù)2,讓學(xué)生再次體會(huì)要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進(jìn)行二次平均分。

（三）應(yīng)用“鴿巢原理”，感受數(shù)學(xué)的魅力。1初步建模。我們將盒子、鴿子、書看做物體，杯子、鴿籠等看做抽屜，剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律稱為抽屜原理，又叫鴿巢原理。其實(shí)這個(gè)原理早在200多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷就已提出。板書課題：鴿巢原理。2.看有關(guān)抽屜原理資料，讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)文化。3.鴿巢原理的應(yīng)用。3個(gè)小朋友同行，其中必有2個(gè)小朋友性別相同，想一想，為什么？（2）舞蹈小組有13名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的生日在同一個(gè)月。問：誰是物體？誰是抽屜？會(huì)列式嗎？4.一副撲克牌有四種花色，去掉了兩張王牌，還剩52張，從中隨意抽牌，問：最少要抽出多少?gòu)埮?，才能保證有兩張牌是同一花色的？最少要抽出多少?gòu)埮疲拍鼙ＷC有兩張牌是同一數(shù)字的？問:誰是鴿巢？誰是物體？（4）、小結(jié)：看來，我們利用原理解決問題時(shí)，我們一定要是找準(zhǔn)誰是鴿巢，誰是物體。生根據(jù)題意說誰是物體？誰是鴿巢？對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)是循序漸進(jìn)的。用鴿巢原理解決具體問題進(jìn)行建模，讓學(xué)生體會(huì)鴿巢的形式是多種多樣的。四、全課小結(jié)。說一說：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識(shí)？（師生共同對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)）五、課外作業(yè)。課本第69頁做一做第1、2題。七、板書設(shè)計(jì)（本節(jié)課的主板書）數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢原理物體數(shù)?抽屜數(shù)二商??余數(shù) 至少數(shù)二商+14 + 3 =1……1 25 + 4 =1……1 2100 ? 99 =1……1 25:2=2??，????137:2=3?????149:2一4?157:5一1?22九.教學(xué)反思“抽屜原理”是六年級(jí)下冊(cè)內(nèi)容，應(yīng)用很廣泛且靈活多變，可以解決一些看上去很復(fù)雜、覺得無從下手，卻又是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題。但對(duì)于小學(xué)生來說，理解和掌握“抽屜原理”還存在著一定的難度。這對(duì)我們數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提出了挑戰(zhàn)。通過課堂實(shí)踐，感受頗深，反思我的教學(xué)過程，有幾下幾點(diǎn)可取之處：1、“創(chuàng)設(shè)情境一從學(xué)生熟悉的游戲開始激發(fā)興趣，興趣是最好的老師。課前“搶椅子”的小游戲，簡(jiǎn)單卻能真實(shí)的反映“抽屜原理”的本質(zhì)。通過小游戲，一下就抓住學(xué)生的注意力，讓學(xué)生覺得這節(jié)課要探究的問題，好玩又有意義。2、建立模型一本節(jié)課充分放手，讓學(xué)生自主思考，恰當(dāng)引導(dǎo)教師是學(xué)生的合作者，引導(dǎo)者。在活動(dòng)設(shè)計(jì)中，我著重學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、形成的過程。4支筆放進(jìn)3個(gè)筆筒的結(jié)果早就可想而知，但讓學(xué)生通過放一放、想一想、議一議的過程，把抽象的說理用具體的實(shí)物演示出來，化抽象為具體，發(fā)現(xiàn)并描述、理解了最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”。在此基礎(chǔ)上，我又主動(dòng)提問：7只鴿子飛回5個(gè)鴿籠，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里，為什么？讓學(xué)生自主的想到：鴿子只數(shù)比鴿籠數(shù)多2或其它數(shù)會(huì)怎么樣？來繼續(xù)開展探究活動(dòng)，同時(shí)，通過活動(dòng)結(jié)合板書引導(dǎo)學(xué)生歸納出求至少數(shù)的方法。3、解釋應(yīng)用_深化知識(shí)。學(xué)了“抽屜原理”有什么用？能解決生活中的什么問題，這就要求在教學(xué)中要注重聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。在“應(yīng)用原理解決問題”環(huán)節(jié)里，我設(shè)計(jì)了一組簡(jiǎn)單、真實(shí)的生活情境，讓學(xué)