精選數(shù)學(xué)必修五講義

精選數(shù)學(xué)必修五講義第一章解三角形正弦定理過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)正弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。教學(xué)過程Ⅰ課題導(dǎo)入如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？CBⅡ講授新課在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,那么從而在直角三角形ABC中，思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,那么，C同理可得，ba從而AcB思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。過點(diǎn)A作，由向量的加法可得那么AB∴∴，即同理，過點(diǎn)C作，可得從而類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即=2R定理的變形正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)使得__________________________〔2〕等價(jià)于，，糖水原理(3)比例關(guān)系〔4〕三個(gè)內(nèi)角和為，即〔5〕，，，〔6〕，；〔4〕〔5〕在三角形中，大角對大邊，大邊對大角，大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即：〔6〕在銳角三角形中，從而知正弦定理的根本作用為：①三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。典型例題例1在中，，，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，例2．在中，cm，cm，，解三角形〔角度精確到，邊長精確到1cm〕。解：根據(jù)正弦定理， 因?yàn)椋迹迹?，或⑴?dāng)時(shí)，，應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。三角形的任意兩角及其一邊1在△ABC中，，那么∠B等于〔〕A．B．C．D．2中，假設(shè)，，，那么____3中，假設(shè)，，，那么____4中，，，，那么〔〕A． B． C． D．或5在中，角所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)，，，那么角的大小為．三角形的任意兩邊與其中一邊的對角1一個(gè)三角形的兩內(nèi)角分別為與，如果角所對的邊長是６，那么角所對的邊的邊長為〔〕．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，那么b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)3在中，假設(shè)，，，那么____4在中，，，，那么___________補(bǔ)充如圖△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的長及三個(gè)內(nèi)角和為，即1在△ABC中，，，那么的值為〔〕ABC或D2a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，假設(shè)a=1,b=,A+C=2B,那么sinC=.3在△ABC中，假設(shè)∠C=60o，那么cosAcosB的取值范圍是()A. B.C. D.以上都不對4假設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足sinA2sinCcosB，那么△ABC為三角形.5△ABC中，下述表達(dá)式：①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③，其中表示常數(shù)的是()A.①和② B.①和③C.②和③ D.①②③6△ABC中，假設(shè)sin(A+B)sin(A-B)=sin2C，那么△ABC是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形7在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，假設(shè)a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A、B及b、c.8假設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，那么cos2A+cos2C的最小值為補(bǔ)充在中，分別為角的對邊，且〔1〕求的度數(shù)〔2〕假設(shè)，，求和的值邊化角角化邊的應(yīng)用1在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC是〔〕直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形2在△ABC中，假設(shè)a=2bsinA，那么∠B為()A.B.C.或D.或3在△ABC中acosB=bcosA,試判斷△ABC的形狀補(bǔ)充在中，和時(shí)，解的情況如下：1假設(shè)△滿足以下條件：①a=4，b10，A30；②a6，b10，A30；③a6，b10，A150；④a12，b10，A150；⑤a+b+c=4，A30，B45.那么△恰有一個(gè)的是()A.①④B.①②③C.④⑤D.①②⑤2在△ABC中，由條件解三角形，其中有兩解的是〔〕A. B.C. D.3滿足條件a=4,b=,A=的△ABC的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.無數(shù)個(gè)D.不存在4在中，，,假設(shè)這個(gè)三角形有兩解，那么的取值范圍是〔〕余弦定理過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類根本的解三角形問題教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其根本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用千島湖位于我國浙江省淳安縣，因湖內(nèi)有星羅棋布的一千多個(gè)島嶼而得名，現(xiàn)有三個(gè)島嶼A、B、C，島嶼A與B之間的距離因AB之間有另一小島而無法直接測量，但可測得AC、BC的距離分別為6km和4km，且AC、BC的夾角為120度，問島嶼AB的距離為多少？〔1〕已有的正弦定理可否解決該問題〔2〕兩邊及夾角求第三邊，當(dāng)夾角為多少度時(shí)我們可以求出？〔3〕以銳角三角形為例探索三角形如何求出第三邊鈍角三角形中也有這樣的邊角關(guān)系？試一試：推導(dǎo)方法2推導(dǎo)方法31得出余弦定理2從余弦定理，又可得到以下推論：3假設(shè)A為直角，那么cosA=0，從而b2+c2=a2假設(shè)A為銳角，那么cosA>0,從而b2+c2>a2假設(shè)A為鈍角，那么cosA﹤0,從而b2+c2﹤a2例子假設(shè)2,3,x為三邊組成一個(gè)銳角三角形，那么x的范圍為銳角三角形的邊長為1、3、，那么的取值范圍是_______鈍角三角形的邊長是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，那么三邊長為在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，那么△ABC的形狀是〔〕A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D非鈍角三角形說明：1余弦定理與正弦定理一樣，也是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律,余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.2等式含有四個(gè)量，從方程的角度看，其中三個(gè)量，總可以求出第四個(gè)量。3根據(jù)量與未知量的性質(zhì)可以知道，余弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問題呢？利用余弦定理及推論可以解決以下兩類三角形的問題：①三邊求三角形的三個(gè)角；②兩邊及其夾角求三角形的其他邊與角。這兩種類型問題在有解時(shí)都只有一個(gè)解，把“邊、邊、邊〞和“邊、角、邊〞判定三角形全等的定理從數(shù)量化的角度進(jìn)行刻畫，使其變成了可計(jì)算的公式。余弦定理根本應(yīng)用1△ABC的三邊長a=3，b=4，c=，求三角形的最大內(nèi)角.2在△ABC中，a:b:c=2::(+1),求A、B、C。3在△ABC中，b=8,c=3,A=600,那么a=()A2B4C7D94在△ABC中，假設(shè)a=+1,b=-1,c=,那么△ABC的最大角的度數(shù)為〔〕A1200B900C600D15005在△ABC中，a:b:c=1::2,那么A：B：C=〔〕A1：2：3B2：3：1C1：3：2D3：1：26中，，求及正弦定理變形與余弦定理結(jié)合1在△ABC中，假設(shè)sinA：sinB：sinC=5：7：8，那么B的大小是〔〕B.C.D.或2在△ABC中，假設(shè)sinA：sinB：sinC=3：2：4,那么cosC的值為()A.B.C.D.考查正余弦定理的靈活使用〔1〕在中，假設(shè)，其面積，那么_____〔2〕在中，假設(shè)，那么_____〔3〕在中，假設(shè)，，那么_____余弦定理推論應(yīng)用1在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且，那么A等于〔〕B.C.D.2在△ABC中，，那么角A為〔〕AB.C.D.或3a，b，c是△ABC三邊的長，假設(shè)滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab，那么∠C的大小為()A.60oB.90oC.120oD.150o4在△ABC中，假設(shè)〔a+b+c〕(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀5在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，那么bccosA+cacosB+abcosC的值為三角形形狀的判定：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。運(yùn)用多種方法求解解三角形綜合問題1在中，角的對邊分別為、、，，，求2在中，角的對邊分別是，〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求邊的值3〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，，求邊的值解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)難點(diǎn)實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解講解例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)提問1：ABC中，根據(jù)的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比擬適當(dāng)？提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，那么A、B之間的距離為多少？例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸〔不可到達(dá)〕，設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。訓(xùn)練：假設(shè)在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60例3、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長。例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)例5、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.例6、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01nmile)例7某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？練習(xí)如下圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測燈塔A的方位角是65°，那么貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？解三角形應(yīng)用2教學(xué)重點(diǎn)推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目教學(xué)難點(diǎn)利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡眠吅徒潜硎?？根?jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎〔1〕〔、、分別表示、、上的高〕；三角形面積公式〔2〕余弦定理如何與面積混合！例題1△ABC的周長為20，面積為，A=，那么BC邊長為〔〕5B.6C.7D.82在中，內(nèi)角的對邊長分別為，假設(shè)的面積為，求的值.3在△ABC中，A=，b=1，且面積為，那么〔〕4△ABC中，假設(shè)其面積S=(a2+b2-c2)，那么∠C=()A.B.C.D.5在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.6假設(shè)△ABC的三邊長分別為4，5，7，那么△ABC的面積7在△ABC中，a=2，b=2，△ABC的面積S=，求第三邊c8在△ABC中，BC=8，AC=5，△ABC的面積為12，那么cos2C=本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖用正弦定理知兩角及一邊解三角形用正弦定理知兩角及一邊解三角形知兩邊及其中一邊所對的角解三角形〔要討論解的個(gè)數(shù)〕知兩邊及其中一邊所對的角解三角形〔要討論解的個(gè)數(shù)〕解三角形解三角形用余弦定理知三邊求三角用余弦定理知三邊求三角知道兩邊及這兩邊的夾角解三解形知道兩邊及這兩邊的夾角解三解形解三角形的應(yīng)用舉例解三角形的應(yīng)用舉例兩點(diǎn)間距離的測量物體高度的測量角度的測量第二章數(shù)列數(shù)列的概念與簡單表示法過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力．教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式⑴國際象棋的傳說：每格棋盤上的麥粒數(shù)排成一列數(shù)；⑵古語：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.每日所取棰長排成一列數(shù)；⑶中國體育代表團(tuán)參加歷屆奧運(yùn)會(huì)獲得的金牌數(shù)依次排成一列數(shù)。15,5,16,16,28,32,51,38⑷十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家裴波那契通過對大多數(shù)花朵的花瓣進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)花朵的花瓣數(shù)目是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……向日葵不是21瓣，就是34瓣。雛菊都是34，55，或89瓣。其他數(shù)目那么很少出現(xiàn)。如上幾列數(shù)的共同特點(diǎn)是什么？⒈數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).⒉數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)〔或首項(xiàng)〕，第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，….例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4〞是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)〔或首項(xiàng)〕，“9〞是這個(gè)數(shù)列中的第6項(xiàng).⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng)結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義.②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1〞，“〞是這個(gè)數(shù)列的第“3〞項(xiàng)，等等下面我們再來看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？〔引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式〕對于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號有這樣的對應(yīng)關(guān)系：項(xiàng)↓↓↓↓↓序號12345這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號可用一個(gè)公式：來表示其對應(yīng)關(guān)系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng)結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對應(yīng)關(guān)系⒋數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列④；⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．6．?dāng)?shù)列的分類：1〕根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6…是無窮數(shù)列2〕根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列數(shù)列是有次序的，按照一定規(guī)律排列的1以下數(shù)列〔1〕1，〔2〕1是同一個(gè)數(shù)列嗎？2以下給出數(shù)列，試從中發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，并填寫括號內(nèi)的數(shù)〔1〕;〔2〕;〔3〕.3.下面數(shù)列中遞增數(shù)列是，遞減數(shù)列是，常數(shù)數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01;〔5〕;〔6〕精確到的缺乏近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列.例4．根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是以下各數(shù)：〔1〕〔2〕〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕.練習(xí)寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是以下各數(shù)：1.;2.; 3.;4.,,,,,……;5.0,1,0,1,0,1,……;6.2,－6,12,－20,30,－42,……；7.89總結(jié)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列的簡單分類;2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)會(huì)觀察、歸納、求簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式; 3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).簡單表示法通項(xiàng)公式法遞推公式法觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型．模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+31.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列可以看成以為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列___；其圖象為：.2．?dāng)?shù)列的遞推公式如果數(shù)列的首項(xiàng)或前幾項(xiàng)，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)〔或前幾項(xiàng)〕間的關(guān)系可用一個(gè)表示，那么這個(gè)公式叫作數(shù)列的遞推公式.利用遞推公式可以給出數(shù)列；〔2〕通項(xiàng)公式直接反映之間的關(guān)系；而遞推公式間接反映項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，它是項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系.典型例題類型一數(shù)列的單調(diào)性及最大〔小〕項(xiàng)例1數(shù)列的通項(xiàng)公式，考察這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，并求出它的最大項(xiàng).類型二根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2〔1〕數(shù)列滿足，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)，并猜測出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.〔2〕數(shù)列滿足，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.〔3〕數(shù)列滿足.=1\*GB3①求寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.類型三數(shù)列的周期性例3.數(shù)列｛｝滿足那么〔1〕寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；〔2〕猜測該數(shù)列的規(guī)律例4數(shù)列｛｝中，，能使的的值〔A〕14(B)15(C)16(D)17.練習(xí)1.數(shù)列中1，1，2，3，5，8，13，，34，53，…，的遞推公式是.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕.2.在數(shù)列中，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為〔n∈N*〕〔1〕畫出數(shù)列的圖象；〔2〕判斷數(shù)列的單調(diào)性.4.根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(1)＝3,＝3－2(n∈N).(2).(3)＝1,＝(n∈N)；5.數(shù)列｛｝中，〔n∈N*〕其中f(x)=〔1〕求?！?〕猜測數(shù)列｛｝的一個(gè)通項(xiàng)公式.等差數(shù)列1經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的根本知識(shí)解決問題的過程教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比擬多的實(shí)際計(jì)算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,?2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽工程。該工程共設(shè)置了7個(gè)級別。其中較輕的4個(gè)級別體重組成數(shù)列〔單位：kg〕：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個(gè)水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列〔單位：m〕：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息參加本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×〔1+利率×寸期〕.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：觀察：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上數(shù)列有什么共同特征？共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)〔即等差〕；〔誤：每相鄰兩項(xiàng)的差相等——應(yīng)指明作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)〕，我們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字——等差數(shù)列等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差〔常用字母“d〞表示〕。⑴．公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；⑵．對于數(shù)列{},假設(shè)－=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，那么此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差。公式的推導(dǎo)：累加法2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得假設(shè)一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，那么據(jù)其定義可得：即：即：即：……由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：由上述關(guān)系還可得：即：那么：=即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式∴d=講解例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？例2數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，其中、是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？假設(shè)是，首項(xiàng)與公差分別是什么例3例4在等差數(shù)列中，那么的值為練習(xí)1求等差數(shù)列1,4，7。。。的第10項(xiàng)；301是不是該數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？2〔1〕求等差數(shù)列10,7，4。。。的第16項(xiàng)；－305是不是該數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？〔2〕求等差數(shù)列1,-2.5，-6。。。的第20項(xiàng)；-106是不是該數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？3等差數(shù)列中，等差數(shù)列2首先回憶一下上節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1．等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d，〔n≥2，n∈N〕，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差〔常用字母“d〞表示〕2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：(或=pn+q(p、q是常數(shù)))3有幾種方法可以計(jì)算公差①d=－②d=③d= 問題：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由定義得A-=-A，即：反之，假設(shè)，那么A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列等差中項(xiàng)性質(zhì)特殊性質(zhì)在等差數(shù)列中，假設(shè)m+n=p+q，那么，即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)例1在等差數(shù)列中,假設(shè)，那么的值等于〔〕A.45B.75C.180D.3002假設(shè)成等差數(shù)列，那么x的值等于〔〕A.0B.C.32D.0或32等差數(shù)列常見的判定方法． 1定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))．2等差中項(xiàng)：2an＋1＝an＋an＋2，證明三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，一般利用等差中項(xiàng)證明 通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)：an＝kn＋b(k，b為常數(shù))．設(shè)項(xiàng)技巧：①一般可設(shè)通項(xiàng)②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…〔公差為〕；③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…〔注意；公差為2〕舉例補(bǔ)充等差數(shù)列求和一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支。這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？一次數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生練習(xí)算數(shù)。于是讓他們一個(gè)小時(shí)內(nèi)算出1+2+3+4+5+6+……+100的得數(shù)。全班只有高斯用了不到20分鐘給出了答案，因?yàn)樗氲搅擞谩?+100〕+〔2+99〕+〔3+98〕……+〔50+51〕…………一共有50個(gè)101，所以50×101就是1加到一百的得數(shù)。后來人們把這種簡便算法稱作高斯算法倒序相加法的應(yīng)用介紹1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：證明：①②①+②：∵∴由此得：從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：用上述公式要求必須具備三個(gè)條件：但代入公式1即得：此公式要求必須三個(gè)條件：〔有時(shí)比擬有用〕典例1典例21等差數(shù)列中,,那么此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于2如果等差數(shù)列的前4項(xiàng)的和是2，前9項(xiàng)的和是-6，求其前n項(xiàng)和的公式3在等差數(shù)列中，前15項(xiàng)的和，為〔〕A.6B.3C.12D.44一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，后項(xiàng)和為，所有項(xiàng)和為，那么這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為A.B.C.D.等差數(shù)列的性質(zhì)〔1〕當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.〔2〕假設(shè)公差，那么為遞增等差數(shù)列，假設(shè)公差，那么為遞減等差數(shù)列，假設(shè)公差，那么為常數(shù)列。等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:利用:當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值例1等差數(shù)列，，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和〔〕A.有最小值且是整數(shù)B.有最小值且是分?jǐn)?shù)C.有最大值且是整數(shù)D.有最大值且是分?jǐn)?shù)例2等差數(shù)列那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和〔〕A.有最小值且是整數(shù)B.有最小值且是分?jǐn)?shù)C.有最大值且是整數(shù)D.有最大值且是分?jǐn)?shù)很重要！由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n≥2時(shí)，=-，即=.1數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么＝_____2設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，求它的前3項(xiàng)，并求它的通項(xiàng)公式3設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，且，那么是〔〕A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，且是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列特殊的性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和。當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，推導(dǎo)過程例從前個(gè)正偶數(shù)的和中減去前個(gè)正奇數(shù)的和，其差為〔〕A.B.C.D.例等差數(shù)列的公差，，那么 A．80， B．120， C．135， D．160．例當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，那么〔其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)〕．推導(dǎo)例1等差數(shù)列的公差，，那么 A．80， B．120， C．135， D．160．等比數(shù)列重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的猜測過程、理解．難點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用．情景引入生活中實(shí)際的例子．1,細(xì)胞分裂問題，可以記作數(shù)列：①2,取木棒問題可以記作數(shù)列：②3,計(jì)算機(jī)病毒感染可以記作數(shù)列：觀察三組數(shù)列的共同特征1等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示〔q≠0〕，即：=q〔q≠0〕1“從第二項(xiàng)起〞與“前一項(xiàng)〞之比為常數(shù)(q)｛｝成等比數(shù)列=q〔,q≠0〕2隱含：任一項(xiàng)“≠0〞是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件．3q=1時(shí)，{an}為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:累乘法由等比數(shù)列的定義，有：；；；…3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式,它的圖象是分布在曲線〔q>0〕上的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)，q>1時(shí)，等比數(shù)列｛｝是遞增數(shù)列；當(dāng)，，等比數(shù)列｛｝是遞增數(shù)列；當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列；當(dāng)，q>1時(shí)，等比數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列｛｝是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列｛｝是常數(shù)列。q的特殊含義例1一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是－，求它的第1項(xiàng)例2一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)例3等比數(shù)列中，，，那么它的公比〔〕A.B.C.D.例4等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，那么項(xiàng)數(shù)等于例5在等比數(shù)列中，>，且，那么該數(shù)列的公比等于例6等比數(shù)列中，，，求.1等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G=±〔a,b同號〕如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么，反之，假設(shè)G=ab,那么，即a,G,b成等比數(shù)列?！郺,G,b成等比數(shù)列G=ab〔a·b≠0〕中項(xiàng)性質(zhì)總結(jié)等比數(shù)列的性質(zhì)：假設(shè)m+n=p+k，那么例1以下各組數(shù)能組成等比數(shù)列的是〔〕A.B.C.D.2是等比數(shù)列，>，又知那么〔〕A.B.C.D.3設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是 〔〕 A、5 B、10 C、20 D、2或44在等比數(shù)列中，，那么=__________5三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，其公比為3，如果，，成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。6等比數(shù)列{a}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，那么〔〕A. B. C. D等比數(shù)列的前n項(xiàng)和過程與方法：經(jīng)歷等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)與靈活應(yīng)用，總結(jié)數(shù)列的求和方法，并能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型、解決求和問題。教學(xué)重點(diǎn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題國王對國際象棋的創(chuàng)造者的獎(jiǎng)勵(lì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng),q,n時(shí)用公式①；當(dāng),q,時(shí)，用公式②.公式的推導(dǎo)方法一：一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是由得∴當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，公式的推導(dǎo)方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即〔結(jié)論同上〕圍繞根本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式．公式的推導(dǎo)方法三：＝＝＝〔結(jié)論同上〕等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng),q,n時(shí)用公式①；當(dāng),q,時(shí)，用公式②例1求等比數(shù)列的前10項(xiàng)的和.例2的和例3五洲電扇廠去年實(shí)現(xiàn)利稅300萬元，方案在5年中每年比上年利稅增長10%，問從今年起第5年的利稅是多少？這5年的總利稅是多少？〔結(jié)果精確到萬元〕練習(xí)1{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，那么a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()．A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C．(1－4－n) D．(1－2－n)2假設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，那么〔〕A.2B.1C.0D.[來3在等比數(shù)列中，，公比，前項(xiàng)和，求首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)．4在等比數(shù)列{an}中，假設(shè)a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，那么a13＋a14＋a15＝，該數(shù)列的前15項(xiàng)的和S15＝.5在等比數(shù)列中,假設(shè)公比,且前3項(xiàng)之和等于21,那么該數(shù)列的通項(xiàng)公式6在等比數(shù)列中，，那么公比等于〔〕A.4B.2C.D.或4專題數(shù)列的通項(xiàng)的求法1.定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例1．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練：數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：____2.公式法：〔即〕求，用作差法：。例2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練：①的前項(xiàng)和滿足，求；②數(shù)列滿足，求；3作商法：求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，那么______4累加法：假設(shè)求：。例3.數(shù)列滿足，，求。數(shù)列滿足，，那么=_______5.累乘法：求，用累乘法：。例4.數(shù)列滿足，，求。如數(shù)列中，，前項(xiàng)和，假設(shè)，求6.遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法〔構(gòu)造等差、等比數(shù)列〕。形如、〔為常數(shù)〕的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5.數(shù)列中，，，求.練，求；形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。例7：練：數(shù)列滿足=1，，求；數(shù)列中，a≠０，a＝，a＝〔n∈N〕求a數(shù)列的求和一、教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；2．能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算；3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式．二、教學(xué)重點(diǎn)：特殊數(shù)列求和的方法．1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。〔1〕等差數(shù)列的求和公式：〔2〕等比數(shù)列的求和公式〔切記：公比含字母時(shí)一定要討論〕2．公式法：錯(cuò)位相減法：比方例．?dāng)?shù)列，求前n項(xiàng)和求數(shù)列前n項(xiàng)的和4．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾假設(shè)干項(xiàng)。常見拆項(xiàng)公式：；；求數(shù)列的前n項(xiàng)和5．分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成假設(shè)干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。數(shù)列的前n項(xiàng)和：，第三章不等式不等式與不等關(guān)系用不等式〔組〕表示實(shí)際問題的不等關(guān)系，并用不等式〔組〕研究含有不等關(guān)系的問題。理解不等式〔組〕對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。用不等式〔組〕正確表示出不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系。如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。人們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不等關(guān)系。下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關(guān)系。例1：限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，寫成不等式組就是——用不等式組來表示例1某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，假設(shè)單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。假設(shè)把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢例2某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？〔1〕截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;〔2〕截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；〔3〕截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些根本性質(zhì)。請同學(xué)們回憶初中不等式的的根本性質(zhì)?！?〕不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號的方向不改變；即假設(shè)〔2〕不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不改變；即假設(shè)〔3〕不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。即假設(shè)不等式的根本性質(zhì)：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?1)〔＋〕2６＋2；〔2〕〔－〕2〔－1〕2；〔3〕；(4)當(dāng)a＞b＞0時(shí)，logalogb一元二次不等式及其解法教學(xué)重點(diǎn)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。教學(xué)難點(diǎn)理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。引導(dǎo)分析問題、解決問題得到一元二次不等式模型一元二次不等式的定義象這樣，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式怎樣求不等式的解集呢？探究：〔1〕二次方程的根與二次函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系容易知道：二次方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點(diǎn)。〔2〕觀察圖象，獲得解集畫出二次函數(shù)的圖象，如圖，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x<0，或x>5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)，y>0,即；當(dāng)0<x<5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí)，y<0,即；所以，不等式的解集是，從而解決了本節(jié)開始時(shí)提出的問題一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式：

一般地，怎樣確定一元二次不等式>0與<0的解集呢討論結(jié)果：〔l〕拋物線

〔a>0〕與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程=0的判別式三種取值情況(Δ>0，Δ=0，Δ<0〕來確定.因此，要分二種情況討論〔2〕a<0可以轉(zhuǎn)化為a>0分Δ>O，Δ=0，Δ<0三種情況得到一元二次不等式>0與<0的解集二次函數(shù)〔〕的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根R例不等式的解集.解：例.解小結(jié)解一元二次不等式的步驟：①將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+〞：A=>0(或<0)(a>0)②計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況：ⅰ.>0時(shí)，求根<，ⅱ.=0時(shí)，求根＝＝，ⅲ.<0時(shí)，方程無解，③寫出解集.例題應(yīng)用一〔一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系〕例1：設(shè)不等式的解集為，求?應(yīng)用二〔一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系〕例2設(shè)，且，求的取值范圍.例3設(shè)對于一切都成立，求的范圍.例4：假設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)根，且，，求的范圍.隨堂練習(xí)21、二次不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.2、假設(shè)關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.改1：解集非空改2：解集為一切實(shí)數(shù)二元一次不等式〔組〕與平面區(qū)域過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數(shù)學(xué)建模的能力用二元一次不等式〔組〕表示平面區(qū)域建立二元一次不等式模型把實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題：設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元?！舶盐淖终Z言符號語言〕〔資金總數(shù)為25000000元〕〔1〕〔預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個(gè)人貸款創(chuàng)收10%，共創(chuàng)收30000元以上〕即〔2〕〔用于企業(yè)和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值〕〔3〕將〔1〕〔2〕〔3〕合在一起，得到分配資金應(yīng)滿足的條件：二元一次不等式和二元一次不等式組的定義〔1〕二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式?！?〕二元一次不等式組：有幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。〔3〕二元一次不等式〔組〕的解集：滿足二元一次不等式〔組〕的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對〔x,y〕，所有這樣的有序?qū)崝?shù)對〔x,y〕構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式〔組〕的解集?！?〕二元一次不等式〔組〕的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系：二元一次不等式〔組〕的解集是有序?qū)崝?shù)對，而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對，因此，有序?qū)崝?shù)對就可以看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而，二元一次不等式〔組〕的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。從特殊到一般：先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：第一類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；第二類：在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。結(jié)論：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.〔虛線表示區(qū)域不包括邊界直線〕4．二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)〔)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)〔x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.〔特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)〕例1畫出不等式表示的平面區(qū)域。解：先畫直線〔畫成虛線〕.取原點(diǎn)〔0，0〕，代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域〞的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。變式1、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。例2用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部。解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的局部，如圖的陰影局部就表示原不等式組的解集。歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部。變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。變式2、由直線，和圍成的三角形區(qū)域〔包括邊界〕用不等式可表示為小結(jié)1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．2．二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法．3．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域．【應(yīng)用舉例】例3某人準(zhǔn)備投資1200萬興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格〔以班級為單位〕：學(xué)段班級學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件。解：設(shè)開設(shè)初中班x個(gè)，開設(shè)高中班y個(gè)，根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間，所以有考慮到所投資金的限制，得到即另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)，那么把上面的四個(gè)不等式合在一起，得到：用圖形表示這個(gè)限制條件，得到如圖的平面區(qū)域〔陰影局部〕例4一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲