專題15 等差數(shù)列及其前n項和-【巔峰課堂】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)熱點題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

專題15等差數(shù)列及其前n項和目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】等差數(shù)列概念及公式 2【題型二】首項公差列方程型 3【題型三】“高斯技巧”1：等差中項型 4【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項和型 5【題型五】“高斯技巧”3：首尾和 6【題型六】比值型1：首項公差不定方程 7【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項型 8【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標(biāo)不一致型 9【題型九】比值型4：整數(shù)型 11【題型十】前n，2n，3n項和應(yīng)用 13【題型十一】數(shù)列實際應(yīng)用題 14培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 15培優(yōu)第二階——能力提升練 18培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 20綜述1.等差數(shù)列有關(guān)公式：(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).2.等差數(shù)列常用結(jié)論：若{an}為等差數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，則有：(1)下標(biāo)意識：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項等差：數(shù)列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列；(3)分段等差：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列；(4)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，其通項公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；3.．等差數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：(1)經(jīng)整理an＝dn＋(a1－d)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列?通項an為一次函數(shù)：即an＝kn＋b(a、b為常數(shù))；(2)經(jīng)整理Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))．【題型一】等差數(shù)列概念及公式【典例分析】已知數(shù)列，，均為等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可求得結(jié)果.【詳解】為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，的首項為，公差，.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列有關(guān)公式：通項公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2)【變式訓(xùn)練】1.若等差數(shù)列的公差為d，（c為常數(shù)且），則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為d的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為cd的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項為c的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，計算，由其結(jié)果即可判斷出答案.【詳解】由題意可知，所以數(shù)列是以cd為公差的等差數(shù)列，故選:B．2.在等差數(shù)列中，若公差為，、為數(shù)列的任意兩項，則當(dāng)時，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中必定成立的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式依次討論即可得答案.【詳解】解：由等差數(shù)列通項公式得，所以，，，.故②③④成立，①不成立.故選：C【題型二】首項公差列方程型【典例分析】在等差數(shù)列中，，，則的值為（

）A．33 B．30 C．27 D．24【答案】A【分析】用基本量表示題干條件，求出，即得解.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列基礎(chǔ)思維：可以設(shè)首項a1與公差d為變量，列出關(guān)于首項a1與公差d的方程進行求解【變式訓(xùn)練】1.已知是等差數(shù)列，，，則公差為（

）A．6 B． C． D．2【答案】C【分析】設(shè)的首項為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設(shè)的首項為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C2.等差數(shù)列滿足，，則（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】由已知，利用等差數(shù)列的通項公式，可得關(guān)于首項與公差的方程組，求出首項與公差，可得答案.【詳解】由，可得，解得，代入，可得.故選：B.3.在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，則n＝（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求得，進而得到a3＝10,求得公差，再求得首項，得到通項公式，然后解得.【詳解】由a1+a2+a321,得,a2a3＝70，∴a3＝10,∴公差∴，,解得故選：C.【題型三】“高斯技巧”1：等差中項型【典例分析】等差數(shù)列中，若，則（

）A．42 B．45 C．48 D．51【答案】C【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的計算方法。它體現(xiàn)了一下幾方面的等差數(shù)列思想1.倒序求和思想。2.等差中項思想3.下標(biāo)和思想：：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an【變式訓(xùn)練】1.在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．96【答案】C【分析】利用等差中項的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：C2.等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)：若，則，運算求解.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，則，即∴故選：C.3.等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（

）A．20 B．22 C．24 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選：C.【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項和型【典例分析】.在等差數(shù)列中，已知前21項和，則的值為（

）A．7 B．9 C．21 D．42【答案】C【解析】利用等差數(shù)列的前項和公式可得，即可得，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，即，所以，所以，故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律利用“高斯技巧”，可得等差數(shù)列奇數(shù)項和公式：【變式訓(xùn)練】1.等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．1 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算【詳解】因為，所以．故選：B2.已知等差數(shù)列，其前項和為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，而由求和公式可得，代入可得答案．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，而故選：C．3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．45 C． D．90【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式進行求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則.故選：B【題型五】“高斯技巧”3：首尾和【典例分析】已知一個有限項的等差數(shù)列{an}，前4項的和是40，最后4項的和是80，所有項的和是210，則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)條件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，兩式相加得a1＋an＝30.又因為，所以n＝14.故選：B【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.2.等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項和等于（

）A．160 B．180 C．200 D．220【答案】B【解析】把已知的兩式相加得到，再求得解.【詳解】由題得，所以.所以.故選：B3.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，am﹣1+am+am+1＝27，且Sm＝45，則m＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等差中項可得am＝9，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】由am-1+am+am+1＝27，得3am＝27，am＝9，又Sm＝，所以m＝9.故選：B．【題型六】比值型1：首項公差不定方程【典例分析】設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則________．湖北省襄陽市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，得出首項和公差直接的關(guān)系，再由求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，即，所以.故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律利用通項或前n項和公式，轉(zhuǎn)化出關(guān)于首項和公差的比值關(guān)系（不定方程），代入即可化簡求比值【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由可得，將都用表示出來，即可得出答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，則，所以，所以故選：B.2.設(shè)等差數(shù)列的前項和為.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式，直接化簡，即可求解.【詳解】由，得，即，所以.故選：A3.已知等差數(shù)列前n項和為，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)及等差數(shù)列前n項和公式可得，求的數(shù)量關(guān)系，進而求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)，，可得，∴.故選：D.【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項型【典例分析】設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求解.【詳解】解：因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以.故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律雙等差數(shù)列：等差數(shù)列和的前項和分別為和，則【變式訓(xùn)練】1.設(shè)等差數(shù)列與的前n項和分別為和，并且對于一切都成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可求的值.【詳解】,故選：D.2.等差數(shù)列、的前項和為，，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得解【詳解】等差數(shù)列、的前項和為，，由性質(zhì)得又，故選：D.3.設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前項和，若，則A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【詳解】試題分析：由，得，所以，故選A.考點：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項和公式.【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標(biāo)不一致型【典例分析】設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)，，由，直接計算即可.【詳解】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律任一等差數(shù)列的前n項和，可以有函數(shù)關(guān)系：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))。所以，等差數(shù)列和的前項和分別為和，可以利用等差數(shù)列前n項和為一元二次型（既約型）【變式訓(xùn)練】1.已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)與前n項公式化簡即可求解．【詳解】由．故選：D2.已知均為等差數(shù)列的與的前n項和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由，，即可求解結(jié)果．【詳解】因為，又因為，所以可設(shè)，，則，所以，即.故選：A3.設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】先由題設(shè)條件求得與的表達式，再求得與的表達式，即可求得結(jié)果．【詳解】由題設(shè)可令，，，又當(dāng)時，，，，，.故選：A．【題型九】比值型4：整數(shù)型【典例分析】已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為___________.【答案】、、【分析】利用等差數(shù)列前項和公式求得的表達式，結(jié)合為整數(shù)求得正整數(shù)的值.【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故答案為：、、【提分秘籍】基本規(guī)律一般比值正數(shù)型，主要以分離常數(shù)為處理技巧。【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（

）A．2 B．6 C．4 D．5【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前項和公式化簡，進而求得符合題意的正整數(shù)的個數(shù).【詳解】依題意，，，所以為整數(shù)的正整數(shù)為，共個.故選：C2.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，_____，為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為_______．【答案】

9

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前項和公式可得，然后利用整數(shù)知識可得的取值．【詳解】，它為整數(shù)，即（舍去）或或或或n,從而n集合為故為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為．故答案為：9；．3.已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)k的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由等差數(shù)列的求和公式，得到，，求得，即可求解.【詳解】因為，所以，同理可得，則，當(dāng)時，為整數(shù)，即滿足條件的k的個數(shù)為5.故選：C.【題型十】前n，2n，3n項和應(yīng)用【典例分析】在等差數(shù)列中，前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，設(shè)，可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、成等差數(shù)列，從而可得，化簡可得結(jié)果【詳解】設(shè)，可得，由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可知、、成等差數(shù)列，則，解得，因此，.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列前n項和有“分段等差”性質(zhì)：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求的值【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，，則，，，構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D2.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項和性質(zhì)，求出，進而得到.【詳解】由等差數(shù)列的前項和性質(zhì)，得：，，也成等差數(shù)列，即，又因，，則解得，因此.故選：C.3.已知等差數(shù)列的前n項和為且，若，則n的值為（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列前項和的知識化簡已知條件，從而求得正確答案.【詳解】依題意，等差數(shù)列的前n項和為且，若，，，.故選：B【題型十一】數(shù)列實際應(yīng)用題【典例分析】北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，是研究某種物品按一定規(guī)律堆積起來求其總數(shù)問題.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術(shù)的成果，對高階等差數(shù)列求和問題提出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23…則該數(shù)列的第41項為（

）A．782 B．822 C．780 D．820【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和累加法求通項可求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列為,由題可知,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以所以所以故選:B.【變式訓(xùn)練】1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為33尺，前九個節(jié)氣日影長之和為108尺，則谷雨日影長為（

）A．5.5 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由題意可得，解方程組求出，從而可求得答案【詳解】解：等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，所以谷雨日影長為，故選：D2.中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙?丁，戊五人遞差分之，要將甲?乙二人數(shù)與丙?丁，戊三人數(shù)同.問：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重量相等，問每個人各分得多少大米？在這個問題中，丁分得大米重量為（

）A．32石 B．40石 C．48石 D．56石【答案】B【分析】由等差數(shù)列設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量，，，，，根據(jù)已知條件列方程求參數(shù)a、d，即可求丁分得大米重量.【詳解】設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米分別為，，，，，∴依題意，，即，又，解得，綜上，可得，∴丁分得大米重量為(石)，故選：B.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項公式即可解決.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則＝（

）A．60 B．62 C．63 D．81【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題可得,即,解得,所以數(shù)列的通項公式,所以.故選:C.3．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以.故選:B.4．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到公差，，再利用等差數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以，又，所以公差，由得：，故故選：B5．甲、乙兩位旅客乘坐高鐵外出旅游，甲旅客喜歡看風(fēng)景，需要靠窗的座位；乙旅客行動不便，希望座位靠過道．已知高鐵二等座的部分座位號碼如圖所示，則下列座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是（

）窗口12過道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，40【答案】A【分析】根據(jù)兩位乘客的要求用數(shù)列的通項分別表示座位號特點，從而可得答案.【詳解】解：左側(cè)窗口的座位號可以構(gòu)成以1為首項，5為公差的等差數(shù)列，其通項為，靠右側(cè)窗口的座位號可以構(gòu)成以5為首項，5為公差的等差數(shù)列，其通項為；左側(cè)過道的座位號可以構(gòu)成以2為首項，5為公差的等差數(shù)列，其通項為，右側(cè)過道的座位號可以構(gòu)成以3為首項，5為公差的等差數(shù)列，其通項為；則符合甲旅客要求的是，；符合甲旅客要求的是，；所以座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是21，28.故選：A.6．南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項為（

）A．183 B．125 C．162 D．191【答案】D【分析】設(shè)該數(shù)列為，先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，進而得到，再利用累加法求得，進而可求得的值.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，并設(shè).由，，，，…可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項為1，公差為1，故，故，則，，，…，，()，累加得，即（顯然，對于n=1也成立），故.故選：D.7．在等差數(shù)列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】設(shè)首項為，公差為，由已知有，所以可得的值．【詳解】解：為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，由已知有，，即．故選：A．8．已知公差為1的等差數(shù)列{}中，，，成等比數(shù)列，則{}的前10項的和為（

）A．55 B．50 C．45 D．10【答案】A【分析】由，，成等比數(shù)列，列出關(guān)系式，通過公差，解得首項，再利用求和公式即可得出．【詳解】∵，，成等比數(shù)列，∴，可得，又等差數(shù)列{}的公差為1，解得：，則{}的前10項和．故選：A．9．設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)將式子化為，再化為，進而得到，最后根據(jù)條件求得答案.【詳解】由題意，.故選：C.10．已知是數(shù)列的前n項和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（

）A．325 B．326 C．327 D．328【答案】B【分析】令，先求得，根據(jù)等差求和公式即可求解．【詳解】令，則，，∴．故選：B培優(yōu)第二階——能力提升練1．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．36 B．45 C．63 D．75【答案】B【分析】由等差數(shù)列的前項和性質(zhì)可得成等差數(shù)列，進而可得結(jié)果.【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，所以成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.2．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，及下標(biāo)和性質(zhì)得到、，即可得到方程，計算可得；【詳解】解：由，有，得．故選：A3．1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到500這500個數(shù)中，能被3除余2，且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則這個新數(shù)列各項之和為（

）．A．6923 B．6921 C．8483 D．8481【答案】C【分析】依題意數(shù)列是以2為首項，以15為公差的等差數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項公式，再解不等式求出的取值范圍，最后根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：由題意可知數(shù)列既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，因此數(shù)列是以2為首項，以15為公差的等差數(shù)列，，令，解得，因此這個新數(shù)列的最后一項為，設(shè)新數(shù)列的前n項和為，則．故選：C．4．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D5．?dāng)?shù)列{an}滿足，且，是函數(shù)的兩個零點，則的值為（

）A．4 B．－4 C．4040 D．－4040【答案】A【分析】由題設(shè)可得+＝8，根據(jù)已知條件易知{an}是等差數(shù)列，應(yīng)用等差中項的性質(zhì)求.【詳解】由，是的兩個零點，即，是x2－8x＋3＝0的兩個根，∴+＝8，又，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴+＝8，故＝4.故選：A.6．已知數(shù)列的前n項和為，則______．【答案】【分析】利用求出，驗證，即可求解.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，．不滿足上式，所以．故答案為：7．等差數(shù)列、的前項和分別為和，若，則________．【答案】【分析】證明得出，結(jié)合等差中項的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列、的前項和分別為和，則，所以，.故答案為：.8．已知為數(shù)列的前項和，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.【答案】【分析】先求得的通項公式，由此求得，利用來求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，所以，由，可得.故答案為：9．正項等差數(shù)列的前和為，已知，則=__________.【答案】45【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)，求得，再利用等差數(shù)列前n項和的公式即可得解.【詳解】解：由等差數(shù)列可得，又，則，解得或，又因為，所以，所以.故答案為：45.10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】【分析】由條件可得，然后可得，即可得到答案.【詳解】因為是等差數(shù)列的前項和，所以，即所以故答案為：培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項是數(shù)列的第______項.【答案】28【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列，的通項公式，再推導(dǎo)出數(shù)列的通項即可計算作答.【詳解】依題意，數(shù)列，的通項公式分別為，令，即有，則，因此，即，有，于是得數(shù)列的通項為，，由得：，所以數(shù)列的第10項是數(shù)列的第28項.故答案為：282．若周長為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，最大內(nèi)角為120°，則三角形的面積是__________．【答案】【分析】先求出三角形的三邊分別為：3、5、7，即可求出三角形的面積.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由周長為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，可得三邊分別為.由余弦定理得：，解得：.所以三角形的三邊分別為：3、5、7.所以三角形的面積是.故答案為：.3．已知點P在雙曲線上，分別是雙曲線E的左、右焦點，若是的等差中項，且的面積為（c為雙曲線E的半焦距），則雙曲線E的離心率為__________．【答案】##【分析】設(shè)點P在第一象限，，則，由題意可得，從而可求得，然后在中利用余弦定理可求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，再利用三角形的面積公式列方程可得，則有，從而可求出離心率.【詳解】設(shè)點P在第一象限，，則因為是的等差中項，所以，所以，則由余弦定理得，因為，所以，因為的面積為，所以，所以，所以，所以，所以，所以離心率故答案為：4．若為等差數(shù)列的前n項和，且，則數(shù)列的通項公式是______________．【答案】，【分析】根據(jù)已知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項