幾種定積分的數(shù)值計(jì)算方法

幾種定積分的數(shù)值計(jì)算方法（總

11頁）-本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)請直接刪除即可--內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小-#X,X,X對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)P,P,P可以唯一地確定一條拋物線J="X2+bx+。，這012 012條拋物線將作將代替見至X的曲線段此時(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為對拋物線積分而拋物線的02積分可以利用牛頓—萊布尼茲公式.第1、2個(gè)小區(qū)邊梯形的面積:A=f(2(ox2+bX+c)dX--[f(x)+4f(x)+f(x)]TOC\o"1-5"\h\z1 X0 3 0 1 2上面利用了條件P,P,P是拋物線上的點(diǎn)以及等式x+X=2X.同理可證:012 2 0 1A=h[f(x)+4f(x)+f(x)]23 2 3 4hA=-[f(x )+4f(x )+f(x)]n/2 3 n-2 n-1 n所以,SxA+A+…+A =j{[f(O)+f(b)]+4藝f(X )+2藝1f(x)}1 2 n/2 3n 2i-1 2ii=1 i=13.概率意義上的數(shù)值算法概率算法是定積分問題數(shù)值求解的一類常用方法,其設(shè)計(jì)思想簡單,易于實(shí)現(xiàn).盡管算法要耗費(fèi)較多計(jì)算時(shí)間,但是往往能得到問題的近似解,并且近似程度能隨計(jì)算時(shí)間的增加而不斷提高.概率算法可用于計(jì)算定積分的近似值.平均值法考慮定積分I=fbf(x)dx的近似計(jì)算，其中f(x)在O,b]內(nèi)可積，用平均值法計(jì)算該積分，o首先隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從在O,b]上均勻分布，即己(i=1,2,…n)淇次，計(jì)i算I的近似值I,I=b-°Zf&).nii=1由中心極限定理知，若名Ii=1,2,…n)相互獨(dú)立、同分布,且數(shù)學(xué)期望及標(biāo)準(zhǔn)差a>0i1-1存在，則當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量y=」?jié)u近服從正態(tài)分布N(0,1)，即對任意的t>0,O an

P{YI<t}=P{I-I<t}=P{I-I<a“類矩形'Monte-Carlo方法由于平均值法計(jì)算定積分的收斂速度較慢，且在概率意義下的誤差階僅為O(上)，就有n對平均值法的改進(jìn)，“類矩形"Monte-Carlo方法,改進(jìn)過程為：先將積分區(qū)間L,b]n等分,隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)相互獨(dú)立且服從bl上均勻分布的隨機(jī)變量序列｛1｝,(i=1,2,…n)；然后由i這n個(gè)隨機(jī)點(diǎn)類似于矩形公式構(gòu)造計(jì)算公式，即作變換叩=a+-_a(0+i-1),i=1,2，…ni ni將憑｝映射到子區(qū)間ii=1,2，…,n(b-a),a+—(b-a)}i=1,2，…,n最后，計(jì)算i的近似值~,~=b_a￡f(n).nii=1下面用兩個(gè)命題證明“類矩陣”方法的可行性.命題1設(shè)f(x)gC1la,b］記M=maxf'(x)1,Vxgla,b］有x，,b 0Jbf(x)dx一f(x)(b一a)<—~a-Ma 0 2證明:由Lagrange中值定理得f(x)=f(x0)+于迂)(x-x0) 化介于x與xo之間)上式兩邊在a,b]積分，得Jbf(x)dx=f(x)(b一a)+Jf住)(x一x)dx00aa由f(x)得連續(xù)性得Jbf(x)dx一f(x)(b一a)a 0TOC\o"1-5"\h\z<Jblf化)(xJbf(x)dx一f(x)(b一a)a 0“ ，7、 1， 7、/=Mx2一(a一b)x+—(a2+b2)I<0 02

命題2設(shè)f(x)gCila,b]h=-~anM=maxf(x)|,M=max f'(x)|,i=1.2.…,nxeta,b- 1xeta+(i-1)h,a+ih.~與i如上，則~與i的誤差滿足i-~=o(1).nTOC\o"1-5"\h\z證明：I-1=Jbf(x)dx--~aZf(「)a n ii=1=ZJa+ihf(x)dx-hZf(n),ia+(i-1)h ,iivZJa+ih f(x)dx-hf(n)a+(i-1)h ii=1由命題1得，「，一一一M一一Jaif(x)dx-hf(n)V—>h2,i=1,2,...,na+(i-1)h i2于是~MMI-1<Z—i~h2<——(b-a)22 2ni=1即I-~=O(i).

n“類梯形"MonteCarl方法再給出平均值法的另一種改進(jìn).首先將a,b］n等分,再在每個(gè)子區(qū)間上隨機(jī)產(chǎn)生2n個(gè)相互獨(dú)立且服從［0,1］上均勻分布的隨機(jī)變量序列，并兩兩分組，得｛己,己｝,(i=1,2,3,…,n);TOC\o"1-5"\h\z2i-1 2i做變換b—a._._卜、n=a+ (21—2+0)2i-1 2n 2i-1-b-a小n=a+ (21—1+g)2i 2n 2i,a+2i—1(b-a)]

2nn,a+2i—1(b-a)]

2nn2i-1[a+ 2n(b-a),a+—(b-a)],i=1,2,3,...,n

n

然后在每個(gè)等分子區(qū)間上［。+X(b-a),a+i(b-a)］利用nE兩點(diǎn)類似于梯形n n 21-i 21公式構(gòu)造〃類梯形〃公式[f(n2i-i)+f(n2』近類似Ja+ihf(x)dx.a+(i-1)h最后計(jì)算I的近似值~,I=j￡f⑴2i-1)+f(n2i).n 2i=i下面證明〃類梯形'方法可行性的兩個(gè)命題：命題3設(shè)命題3設(shè)f(x)e2[a,b]記max

xeia,b]<x<x)，有

1 2Jf(x)dx-jrf(x)+f(x)l<(b-a)3M.TOC\o"1-5"\h\z2L1 2」 12a證明：過(x,f(x)),(x,f(x))兩點(diǎn)的直線方程為112 2()J(x)-f(x\ 、P(x)=f(x)+ 2 -(x-x)1x-x 12 1所以P(x)=f(x),i=1,2.令i iR(x)=f(x)-P(x)=k(x)(x-x)(x-x) (1)1 2將x看成[a,b]上的一個(gè)定點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)6(t)=f(t)-P(t)-k(x)(t-x)(t-x)12由于6(x)=6(x)=6(x)=0,由Rolle中值定理,。'(t)在(a,b)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，對126,(t)再用Rolle中值定理，知6''(t)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在&e(a,b),使6'化)=f"化)-2k(x)=0，所以k(x)=華).將它代入(1)式,并兩段同時(shí)從a到b積分,得ff{x}dx-b-aTOC\o"1-5"\h\zff(x-x)(x-x)dx

2 1 2-x)(x-x)\dx1 21f(x-x)(x-x)dx+f(x-x)(x-x)dx+f(x-x)(x-x)dx1 2 1 2 1 2xix)(x-x}dx+\(x-1 2x)(x-x)dx

1 2X2不妨設(shè)xix)(x-x}dx+\(x-1 2x)(x-x)dx

1 2X2不妨設(shè)<X<5,則將L(x,x)分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

1 2 1 2L=(/?—〃)(不X1)fL=(/?—〃)(不X2)+(%%)2

1解得唯一駐點(diǎn):x——(3a+b)i4x——(a+3b)24L(3a+ba+3b)=(b-a)316,L(a)b)=L(3a+ba+3b)=(b-a)316,L(a)b)=(Z?-a)3b-af(x)+f(x)L1 2」(b-a M12結(jié)論成立.命題4設(shè)/?⑴金。匕/]1b—ci1t.h= ,M=maxmax?n力」xen2I與~如上，則I與~的誤差滿足:I-~=O(―)n2證明：r~ f”…b-a門⑴-n)TOC\o"1-5"\h\zI-I=bJ(x)dx 乙 2i-1 2-a n 2i=1立fa+ih f(X)dx-h￡W上0i=1a+(，-1)h i=1 2，fa+ih f…f⑴)+f(n'《"Ja+if(X)dx 2i-1 2-ha+(i-1)h 2i=1由命題3,得<巴h3,i=1,2，…，n12fa+-f(x)dx-f'21)+f/<巴h3,i=1,2，…，n12于是<E匕h3<$一a)3M12 12n2i=11

=O(—).n24.例題對于積分J1-dx，該積分精確值為.下面分別給出本文所涉及計(jì)算方法對它的計(jì)算結(jié)01+x2果:用三種基于幾何意義的算法:矩形算法,梯形法,拋物線法作比較,結(jié)果如表1:表1幾何意義算法的比較分割數(shù)算法近似值誤差矩形3.8.3e-1101梯形1.7e-3拋物線4.1e-8矩形8.3e-1102梯形1.7e-5拋物線3.4.0e-11用平均值法，及其改進(jìn)“類矩形"Monte-Carlo方法，“類梯形"Monte-Carlo方法計(jì)算結(jié)果如表2:表2概率意義算法的比較節(jié)點(diǎn)數(shù)算法近似值誤差平均值法3.—3.1e-3104類矩形法7.0e-5類梯形法3.—2.0e-95．結(jié)語本文介紹的幾種求積公式各有特點(diǎn)：梯形求積公式和拋物線法求積公式是低精度公式,但對于光滑性較差的被積函數(shù)有時(shí)比用高精度方法能得到更好的效果,尤其是梯形求積公式．當(dāng)被積函數(shù)為周期函數(shù)時(shí),效果更為突出.由表1分析,一般情形下,三種基于幾何的算法中矩形算法的誤差最大,梯形法次之,拋物線法最高.拋物線法的積分精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于另外兩種方法,特別是在積分區(qū)間分割份數(shù)較小的情況下,仍然保持較高的近似程度.“類矩形"Monte-Carlo方法;“類梯形"Monte-Carlo方法是平均值法的改進(jìn)，提高了平均值法的精確度．通過表2可以看出,直接用平均值法計(jì)算定積分,104節(jié)點(diǎn)的計(jì)算已經(jīng)很可觀了,但計(jì)算結(jié)果只有2位有效數(shù)字,而選取同樣的節(jié)點(diǎn)數(shù),計(jì)算量幾乎不變,類矩陣法就達(dá)到了4位有效數(shù)字,類梯形法則達(dá)到了8位有效數(shù)字,恰好與上述定理中誤差階的估計(jì)是一致的從而也驗(yàn)證了‘類矩形'Monte-Carlo方法和“類梯形"Monte-Carlo方法的高效性．從表2中也可以看出隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增大,積分精度會不斷提高,當(dāng)然計(jì)算復(fù)雜度就會增加.參考文獻(xiàn)[1]費(fèi)祥歷，劉奮，馬銘福.高等數(shù)學(xué)（第2版上冊）[M].山東:石油大學(xué)出版社,2008:211-287.[2]徐萃薇,孫繩武.計(jì)算方法引論（第三版）.北京:高等教育出版社,2007.[3]王曉東.計(jì)算機(jī)算法分析與設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2001:197-228.[4]徐鐘濟(jì).蒙特卡羅方法[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1985.⑸張平文,李鐵軍，數(shù)值分析[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.[6]阮宗利.計(jì)算一元定積分的若干數(shù)值算法及其比較J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)（科技教育）,201