北京市西城區(qū)2015屆高三二模數(shù)學(xué)(文)試題Word版含解析

一．選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合要求的．1.設(shè)會(huì)合

A

{x|x1

0}，會(huì)合

B

{x|x

3}，則

A

B

（

）A．(1,3)

B

．(1,3]

C．[1,3)

D．(1,3]【答案】

B.【分析】試題剖析：由題意得，A(1,)，B(,3]，∴AB(1,3]，應(yīng)選B.考點(diǎn)：會(huì)合的運(yùn)算.2.已知平面向量a，b，c，a(1,1)，b(2,3)，c(2,k)，若(ab)//c，則實(shí)數(shù)k（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D【分析】試題剖析：∵ab(1,4)，(ab)//c，∴k4(2)8，應(yīng)選D考點(diǎn)：平面向量共線的坐標(biāo)表示.3.設(shè)命題p：函數(shù)f(x)ex1在R上為增函數(shù)；命題q：函數(shù)f(x)cos2x為奇函數(shù)．則以下命題中真命題是（）A.pqB.(p)qC.(p)(q)D.p(q)【答案】D.【分析】試題剖析：由題意可知，命題p是真命題，f(x)cos2x為偶函數(shù)，∴q是假命題，進(jìn)而可知p(q)是真命題，應(yīng)選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.命題真假判斷.4.履行以下圖的程序框圖，若輸入的n{1,2,3}，則輸出的s屬于（）A．{1,2}B．{1,3}C．{2,3}D．{1,3,9}【答案】A.考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)的計(jì)算；

2.程序框圖

.5.一個(gè)幾何體的三視圖中，正（主）

視圖和

側(cè)(左)視圖以下圖，則俯視圖不行能為（

）A.B.C.D.【答案】C.【分析】試題剖析：若以C圖作為俯視圖，則主視圖中的虛線應(yīng)為實(shí)線，應(yīng)選C.考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖.6.某生產(chǎn)廠商更新設(shè)施，已知在將來(lái)x年內(nèi)，此設(shè)施所花銷的各樣花費(fèi)總和y（萬(wàn)元）與x知足函數(shù)關(guān)系y4x264，若欲使此設(shè)施的年均勻花銷最低，則此設(shè)施的使用年限x為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B.【分析】試題剖析：均勻話費(fèi)為y4(x16)42x1632，當(dāng)且僅當(dāng)x16，x4時(shí)，等號(hào)xxxx成立，應(yīng)選B.考點(diǎn)：基本不等式求最值.7.“m3”是“曲線mx2(m2)y21為雙曲線”的（）A.充分而不用要條件B.必需而不充分條件C.充分必需條件D.既不充分也不用要條件【答案】A.【分析】試題剖析：由題意可知，mx2(m2)y21為雙曲線等價(jià)于m(m2)0m2或m0，∴應(yīng)為充分不用要條件，應(yīng)選A.考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.充分必需條件.8.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，點(diǎn)P為對(duì)角線AC1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P，Q能夠重合），則B1PPQ的最小值為（）A.2B.3C.3D.22【答案】C.【分析】試題剖析：由題意易得：PQAC，作PQ1平面ABAB11于Q1，由對(duì)稱性可知PQPQ1，所以(B1PPQ)min(B1PPQ1)min，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樵谄矫鍭B1C1內(nèi)，體對(duì)角線AC1上找一點(diǎn)P使得B1PPQ1最小，以以下圖所示，過(guò)點(diǎn)B1作它對(duì)于直線AC1的對(duì)稱點(diǎn)B1'，交直線AC1與點(diǎn)O,再過(guò)點(diǎn)B'作B'QAB于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，則B'Q的長(zhǎng)度即為所求的最小11111111值，易得C1AB130，∴B1B1'3，B1'Q1考點(diǎn)：立體幾何中的最值問(wèn)題.二．填空題:本大題共5個(gè)小題，每題5分，共9.復(fù)數(shù)10i________.3i【答案】13i.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的計(jì)算.10.拋物線C：y24x的準(zhǔn)線l的方程是____；以方程是____.【答案】x1，(x1)2y24.

33B1B1'，應(yīng)選C.22分，把答案填在答卷對(duì)應(yīng)的橫線上．C的焦點(diǎn)為圓心，且與直線l相切的圓的試題剖析：剖析題意可知p2，∴準(zhǔn)線方程為xp1，焦點(diǎn)為(1,0)，半徑r2，∴2所求圓方程為(x1)2y24.考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系.11.設(shè)函數(shù)f(x)1,x1____；函數(shù)f(x)的值域是____.x2,x，則f[f(2)]x1【答案】53,).，[2【分析】試題剖析：f(2)1，∴f[f(2)]f(1)5，當(dāng)x1時(shí)，f(x)1(0,1)，當(dāng)x1時(shí)，222xf(x)x2[3,)，∴f(x)的值域?yàn)閇3,).考點(diǎn)：分段函數(shù).12.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a7，b3，c2，則A____；ABC的面積為____.【答案】，33.32【分析】試題剖析：由余弦定理可得b2c2a2322271A(0,)，∴cosA2bc23，又∵22，3SABC1bcsinA132333.2222考點(diǎn)：1.切割線定理；2.訂交弦定理.yx513.若x，y知足y2x，若zxmy的最大值為____.，則實(shí)數(shù)mxy13【答案】2.【分析】試題剖析：如圖，畫出不等式組所表示的地區(qū)，即可行域，由題意可知，目標(biāo)函數(shù)取最大值53時(shí)，55(5,0)，目標(biāo)函數(shù)在xmy，xmy，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)A處取到最大值，將333A(1,2)代入x5my，進(jìn)而可知m2.333考點(diǎn)：線性規(guī)劃.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為AD的中點(diǎn)，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至OD，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記形ABCD內(nèi)的地區(qū)（暗影部分）的面積S

AOP為x(x[0,f(x)，那么對(duì)于函數(shù)

])

，OP所經(jīng)過(guò)的在正方f(x)有以下三個(gè)結(jié)論：①f()3；②函數(shù)f(x)在(,)上為減函數(shù)；③隨意x[0,]，都有3222f(x)f(x)4；22此中全部正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①③.考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用.三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)cos2x(sinxcosx).cosxsinx1）求函數(shù)f(x)的定義域；2）求函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間.【答案】（1）{x|xk,kZ}；（2）[k,4k)44【分析】試題剖析：（1）由分母不為零可知cosxsinx0，進(jìn)而可知f(x)的定義域?yàn)閧x|xk,kZ}；（2）利用二倍角公式將f(x)左三角恒等變形，可化簡(jiǎn)為4f(x)1sin2x，進(jìn)而依據(jù)正弦函數(shù)的單一遞加區(qū)間即可判斷f(x)的單一遞加區(qū)間.試題分析：（1）由題意得，cosxsinx0，即tanx1，∴xk，∴函數(shù)f(x)的4定義域?yàn)閧x|xk,kZ}；（2）4cos2x(sinxcosx)(cos2xsin2x)(cosxsinx)f(x)cosxsinxcosxsinx(cosxsinx)(sinxcosx)sin2x1，由22k2x22k，得kxk，44又∵xk，∴函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間是[k,k).444考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.三角函數(shù)的性質(zhì).（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an11Sn(nN*)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b1a1，公差為a2，當(dāng)n3時(shí)，比較bn1與1b1b2bna1的大小．【答案】（1）an2n1；（2）bn11b1b2bn.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐EABCD中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CDDA6，AB2，DE3.（1）求棱錐CADE的體積；（2）求證：平面ACE平面CDE；3）在線段DE上能否存在一點(diǎn)F,使AF//平面BCE？若存在,求出EF的值；若不存在，ED說(shuō)明原因.【答案】（1）93；（2）詳看法析；（3）存在，EF1.ED3【分析】試題剖析：（1）剖析題意可知求得底面SADE與高CD即可求得三棱錐CADE的體積；（2）依據(jù)條件聯(lián)合線面垂直的判斷可證得AE平面CDE，再由面面垂直的判斷即可得證；（3）設(shè)F為線段DE上一點(diǎn),且EF1，過(guò)點(diǎn)F作FM//CD交CE于M，則可證明四邊形ED3ABMF是平行四邊形，再由線面平行的判斷可知AF//平面BCE，進(jìn)而有相應(yīng)結(jié)論.試題分析：（1）在RtADE中，AEAD2DE233，∵CD平面ADE，∴棱錐CADE的體積為VC1CD1AEDECD93；ADESADE323（2）∵CD平面ADE，AE平面ADE，∴CDAE，又∵AEDE，CDDED，∴AE平面CDE平面ACE，，又∵AE∴平面ACE平面CDE；（3）結(jié)論：在線段DE上存在一點(diǎn)F，且EF1，使AF//平面ED3BCE，設(shè)F為線段DE上一點(diǎn),且EF11ED3，過(guò)點(diǎn)F作FM//CD交CE于M，則FM=CD，3∵CD平面ADE，AB平面ADE，∴CD//AB，又∵CD3AB，∴MF，ABFM//AB，∴四邊形ABMF是平行四邊形，則AF//BM，又∵AF平面BCE，BM平面BCE，∴AF//平面BCE.考點(diǎn)：1.椎體體積的計(jì)算；2.線面垂直的判斷與性質(zhì)；3.線面平行的判斷.（本小題滿分13分）某廠商檢查甲、乙兩種不一樣型號(hào)電視機(jī)在10個(gè)賣場(chǎng)的銷售量（單位：臺(tái)），并依據(jù)這10個(gè)賣場(chǎng)的銷售狀況，獲得以下圖的莖葉圖．為了鼓舞賣場(chǎng)，在同型號(hào)電視機(jī)的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)均勻數(shù)的賣場(chǎng)命名為該型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”．（1）求在這10個(gè)賣場(chǎng)中，甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)；（2）若在這10個(gè)賣場(chǎng)中，乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的均勻數(shù)為26.7，求ab的概率；（3）若a1，記乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的方差為s2，依據(jù)莖葉圖推測(cè)b為什么值時(shí)，s2達(dá)到最小值．（只要寫出結(jié)論）（注：方差s21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，此中x為x1，x2，，xnn的均勻數(shù)）【答案】（1）10；（2）4；（3）b0.9數(shù)為26.7，∴10182022233132(30a)(30b)4326.7，解得ab8，10∴a和b取值共有9種狀況，它們是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)，此中ab有4種狀況，它們是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)，∴ab的概率P(A)4；9（3）剖析題意可知，b的可能取值為09的整數(shù)，計(jì)算可得b0時(shí)，s2達(dá)到最小值.考點(diǎn)：1.古典概型求概率；2.概率統(tǒng)計(jì)的運(yùn)用.（本小題滿分14分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：x2y21(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左極點(diǎn)，a2b2點(diǎn)B為橢圓E的上極點(diǎn)，且|AB|2．（1）若橢圓E的離心率為6，求橢圓E的方程；3（2）設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線F2P與y軸訂交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，證明：點(diǎn)P在直線xy20上.x2y21；（2）詳看法析.【答案】（1）3【分析】試題剖析：（1）由題意離心率以及|AB|2能夠成立對(duì)于a，b，c的方程組，求得a，b，c的值即可求解；（2）設(shè)P(x0,y0)，依據(jù)題意將x0，y0用含a的代數(shù)式表示，消去參數(shù)a后即可獲得x0，y0所知足的關(guān)系式，進(jìn)而得證.試題分析：（1）設(shè)ca2b2，由題意，得a2b24，且c6，得a3，b1，a3c2，222∴橢圓E的方程為xy21；（2）由題意，得a2b24，∴橢圓E的方程x2ya21，3a4則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，ca2b22a24，設(shè)P(x0,y0)，由題意知x0c，則直線F1P的斜率kFPy0，直線F2P的方程為yy0(xc)，當(dāng)x0時(shí)，yy0c，1x0cx0cx0cy0c)，直線F1Q的斜率為kFQy0，∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，∴即點(diǎn)Q(0,x0c1cx0PFFQ，∴kF1PkF1Qy0y01，化簡(jiǎn)得y2x2(2a24)，又∵P為橢11x0ccx000x02y021，x00，y00，由①②，解得x0a2圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，∴24a2，a2y021a2，∴x0y02，即點(diǎn)P在直線xy20上.2考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的地點(diǎn)關(guān)系.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)1x，此中aR．11ax2（1）當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；4（2）當(dāng)a0時(shí)，證明：存在實(shí)數(shù)m0，使得對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)x，都有mf(x)m成立；（3）當(dāng)a2時(shí)，能否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)于x的方程f(x)k(xa)僅有負(fù)實(shí)數(shù)解？當(dāng)1a2時(shí)的情況又怎樣？(只要寫出結(jié)論).【答案】（1）4x3y40；（2）詳看法析；（3）當(dāng)a2與a1時(shí)，均不存在知足題2意的實(shí)數(shù)k.試題分析：（1）當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)1x，其定義域?yàn)閧xR|x2}，求導(dǎo)得41x214f'(x)x22x4(x1)23，∵f(1)0，f(1)4，∴函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)4(112)24(112)234xx4(1,f(1))處的切線方程為4x3y40；（2）當(dāng)a0時(shí)，f(x)1x的定義域?yàn)镽，1ax2求導(dǎo)，得f'(x)ax22ax1，令f(')x0，解得x11110，x21111，(1ax2)2aa當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)與f(x)的變化狀況以下表：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f'(x)00f(x)∴函數(shù)f(x)在(,x1)(x2,)上單一遞加，在(x1,x2)上單一遞減，又∵f(1)0，當(dāng)x1，時(shí)，f(x)1x0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)1x0，∴當(dāng)x1時(shí)，0f(x)f(x1)，1ax21ax2當(dāng)x1時(shí)，f(x2)f(x)0，記Mmax{|f(x1)|,|f(x2)|}，此中Mmax{|f(x1)|,|f(x2)|}為兩數(shù)|f(x1)|，|f(x2)|中較大的數(shù)，綜上，當(dāng)a0時(shí)，存在實(shí)數(shù)m[M,)，使得對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，不等式mf(x)m恒成立；