中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究-動點(diǎn)幾何問題解題方法

M僅供個人參考MForpersonaluseonlyinstudyandresearch;forcommercialuse中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究（一）——動點(diǎn)幾何問題下面以具體實(shí)例簡單的說一說此類題的解題方法。一、利用動點(diǎn)（圖形）位置進(jìn)行分類，把運(yùn)動問題分割成幾個靜態(tài)問題，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題例京市石景山區(qū)2010數(shù)學(xué)期中練習(xí)）在△ABC中∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC面積；(2)現(xiàn)有動點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB向點(diǎn)方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB向點(diǎn)方向運(yùn)動。如果點(diǎn)的速度是4CM/秒點(diǎn)Q的度是2CM/秒，它們同時出發(fā)，幾秒鐘后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？(3)在第（問題前提下，P,Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是明確點(diǎn)、Q在△上的位置，有三種情況。（1）當(dāng)0﹤6時，Q分別在AB、BC邊上；

B（2）當(dāng)t≦8時，PQ分別在AB延長線上和BC邊上；（3）當(dāng)>8時PQ分別在AB、BC邊上延長線上.

C然后分別用第一步的方法列方程求解.

A例2:(京市順義年初三模)知正方形ABCD邊長是1，為CD邊的中點(diǎn)，P為正方形邊上的一個動點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿AC→E動，到達(dá)點(diǎn)E.若點(diǎn)經(jīng)過的路程為變量x，APE面積為函數(shù)y，（1）寫出y與x關(guān)系式(2)求當(dāng)y＝

時，x的值等于多少點(diǎn)評:這個問題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)在四邊形ABCD邊上的位置,根據(jù)題意點(diǎn)P的置分三種情況:分別在AB上BC邊上、邊上.例3：(北京市順義2010年三?？紙D1，在直角梯形中，∠B=90，DC∥AB，動PB出發(fā)形的邊BC→D→A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P動的路程為xeq\o\ac(△,,)的積為y如果關(guān)于的函數(shù)的圖象如圖2所示，那么△ABC的面積為（）A32B18C16D103例齊哈爾線y4

x

與坐標(biāo)軸分別交于A、兩點(diǎn)動P、

y時O點(diǎn)出發(fā)，時到達(dá)

點(diǎn)，運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線運(yùn)動為每秒1單位長

度，點(diǎn)沿路O→B

運(yùn)動直接寫出A、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

OQ

（2）設(shè)的運(yùn)動時間t秒，△的積S求t間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)

時，求出點(diǎn)

的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)

O、P、Q

為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)

M

的坐標(biāo)．點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是區(qū)分點(diǎn)位置：點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)P在。例寧夏已知：等邊三角形

的邊長為4厘米，長1厘米的線段

MN

在

△的邊上沿AB方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動開始時，點(diǎn)與點(diǎn)

重合，點(diǎn)

N

到達(dá)點(diǎn)時動終止點(diǎn)M、分別作

AB

邊的垂線，△ABC的其它邊于P兩，線段運(yùn)動的時間t秒．（1）線段

MN

在運(yùn)動的過程中t何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；不得用于商業(yè)用途

四邊形MNQPABB僅供個人參考四邊形MNQPABB（2段在運(yùn)動的過程中四邊形MNQP的積動的時間t四邊MNQP面積隨運(yùn)動時t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變t的取值范圍．

AD，垂足為D．則，解）過點(diǎn)C運(yùn)動到被垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，

AM

32

時，

QMN

四邊形MNQP是矩形，t

32

秒時，四邊形MNQP是矩形．

Q3PMAM，S32MNB（20

時，

S四邊形MNQP

1(PMt2

32≤t≤

時，

S四邊形MNQP

13(PM2

Q32

時，

S四邊形MNQP

17(PMQN3322

MN點(diǎn)評：此題關(guān)鍵也是對P、點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類。例6四川樂山（15形

中DC∥AB，90厘厘米的坡度

iP從發(fā)以

2厘/秒的速度沿方向向點(diǎn)

運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘/秒的速度沿CD方向點(diǎn)D運(yùn)動，兩個動同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間t．

D

（1）求邊的長；（2）為何值時，與相互平分；

Q（3）連結(jié)

PQ

△

的面積為

y

與

t

的函數(shù)關(guān)系式，求

t

為何值時，

y

有最

E

）

大值？最大值是多少？6.解）作

CE

AB于點(diǎn)E

，如圖（3）所示，則四邊形

AECD

為矩形．AECD，DA

3EB，．

2分在△中，由勾股定理得：

CE2．（2）假設(shè)PC與BQ相互平分．由DC∥PBCQ平行四邊形（此CD上即

CQ

BP

秒時，PC與BQ相互平分．5不得用于商業(yè)用途

△△PQ僅供個人參考△△PQ（3）①Q(mào)在上，≤≤

時，QF于F

，則

QF3t1t9(12t=(t2．BC65255當(dāng)

秒，

eq\o\ac(△,)

有最大值為

厘米．②Q在CD上，即

101411≤≤時，SCE(12t)=36．332易知t的增大而減?。十?dāng)

t

1010秒時，有最大值為363eq\o\ac(△,)

厘．綜上，當(dāng)

，

△PBQ

有最大值為

厘米．二、利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。例7頭如圖已△中AB中點(diǎn)．

厘米厘米點(diǎn)D為

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后△否全等，

D

Q請說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠△△全等？（2）若以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)同時出發(fā)，都逆時針沿ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)第一次ABC的哪條邊上相遇？解：（1）①∵

t

秒，∴

CQ

厘米，∵

厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)∴厘米．又∵

PC

BC，BC

厘米，∴

PC

厘米，∴

PC

．又∵

，∴

B

，∴

△BPD△CQP

．②∵

，∴BP又∵

△BPD△CQP

，

B

，則

PCCQ

，∴點(diǎn)P，運(yùn)動的時t

33

秒，∴

5vt

厘米/秒．（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得不得用于商業(yè)用途

380x，解得秒．3

DMEH（圖④）僅供個人參考DMEH（圖④）∴點(diǎn)運(yùn)動了

803

80

厘米．∵

80

228

，∴點(diǎn)、Q在上相遇，∴經(jīng)過

803

秒點(diǎn)與第一次在邊AB上相遇例濟(jì)如圖梯形ABCD中∥，ADDC

2，

從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2單位長度的速度向終C運(yùn)動；動點(diǎn)N同時點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度終點(diǎn)D運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間t秒．（1）求的長．（2當(dāng)MN∥AB時t值試探究t何值時為等腰三角形．解）如圖①，過

、D分別作于K，DHBC于H則四邊形

是矩形∴

KH

AD△ABK

中，

AKsin2．BKAB452△

中，由勾股定理得，

HC

52

2

∴BCKH（2）如圖②，過D作∥AB交BCG點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形

DMN∥MN∴AD

N由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動時CN，CM10．∵∥∴NMCDGC又H

G

M

∴

MNC

GDC

∴

CNCMCD

即

（圖①）t10t解得，5

t

5017

（圖②）（3）分三種情況討論：①當(dāng)

NC

時，如圖③，即

t

10t

∴

t

②當(dāng)

NC

時，如圖④，過

N

作

MC

于

D

DN11N解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得MC10t22CMECCH3在△CEN中，c又在Rt∴解tNCtCD5t8

∵

∠

，DHCNEC∽△DHC

∴

NCt即DCHC53

∴

t

258③當(dāng)

MN

MC

時，如圖⑤，過作MF

CN

于F點(diǎn).FC

解法一法同②中解法一）

DtFCC10t5解法二：不得用于商業(yè)用途

解得

t

6017

（圖⑤）

M

N

F

t僅供個人參考t∵

C

MFCMFC∴

MC10即HCDC5

∴

t

6017綜上所述，當(dāng)

t

25t或t時，817

為等腰三角形例呼和浩特）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC∠ABC90o，＝12cm，＝8cm，＝22cm，為⊙的直徑，動點(diǎn)P從點(diǎn)開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)以2cm/s的速度運(yùn)動分別從點(diǎn)AC同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t(s)()為何值時，四邊形為平行四邊形？()t為何值時，與⊙相切？

DO解：()直角梯形

ABCD∥

PDQC

Q

當(dāng)PDQC，四邊形為平行四邊形．由題意可知：

，CQ

Dtttt時，四邊形為平行四邊形．

O

H

D

Q

（2）解：設(shè)相切于點(diǎn)H作PEABCD，∥直角梯形

為E

O

由題意可知：

CQt

EQ

為

的直徑，

ABCDAB、

為

⊙的切線APPHHQRt中PE

EQ22122(22t)(22)

即：

8

t144

t，2)(t，t

7分因?yàn)镻在

AD

邊運(yùn)動的時間為

秒，t1

（舍去）時，相切．例10.圖，在矩形ABCD中，=20cm，，QM分別從，，C，D出發(fā)

A

沿AD，，CB，DA方向在矩形的邊上同時運(yùn)動，當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時，運(yùn)動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若=cm(

)，則

AP=2x，CM=3cmDN=．（1）當(dāng)x為何值時，以，為兩邊,矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；

B

C不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考（2）當(dāng)x為何值時，以P，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．解：（1）當(dāng)與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)重合時，PQ為兩邊，以矩形的邊或BC）的一分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時，由x

x，得21x21去BQ+=

xx

時點(diǎn)Q與點(diǎn)不重合以

符合題意．②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)重合時，由x20,

得

．此時

DNx

，不符合題意．故點(diǎn)與點(diǎn)M不能重合．所以所求x的值為

．（2由（1）知，點(diǎn)只能在點(diǎn)的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時，由

20x)20(2x)

，解得

舍)

．當(dāng)x=2時四邊形是平行四邊形．②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時，由

20x)x

，

解得

舍)x

．當(dāng)x=4時四邊形是平行四邊形．所以當(dāng)

xx

時，以P，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．由于2xx，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．若以P，，，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，

則點(diǎn)F一定在點(diǎn)的右側(cè)，且NF，即

2x

．解得

舍x

．由于當(dāng)x時，以P，Q，，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以，Q，，為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形．不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürden