聲波方程正演模擬1

聲波方程正演模擬1第一頁，共46頁。聲波方程數值模擬

――地球物理場論

基礎Ⅰ期末作業(yè)（1）

任課教師：宋鵬2第二頁，共46頁。

一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數值模擬內容提綱3第三頁，共46頁。一、地震勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xt4第四頁，共46頁。

同相軸為雙曲線，即反射波的時距曲線為雙曲線，反射波一個同相軸可帶來一個地層的信息。實際地下介質非常復雜，所得到的炮集記錄也包含更多的地下信息。實際的炮集記錄見圖1-1和1-2。5第五頁，共46頁。圖1-1陸上某區(qū)實際地震記錄6第六頁，共46頁。圖1-2海上某區(qū)實際地震記錄7第七頁，共46頁。

廣義的地震反演即是從地震炮集記錄出發(fā)，經過復雜的去噪、速度分析以及偏移成像處理等手段得到反映地下的地質結構的地震剖面。實際的地震剖面見圖1-3和1-4。8第八頁，共46頁。圖1-3 陸上某區(qū)地震剖面9第九頁，共46頁。圖1-4海上某區(qū)地震剖面10第十頁，共46頁。

地震波場模擬即地震正演，是指已知模型結構，通過物理或數值計算的方法模擬該地質結構下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認為其是野外數據采集過程的室內再現。物理模擬花費昂貴，人們一般采用比較經濟的數值模擬技術。地震波場數值模擬是在給定數學模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。11第十一頁，共46頁。

一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數值模擬內容提綱12第十二頁，共46頁。二、波動方程類型及其局限性1、聲波方程：

一階壓力-速度方程組：二階標量聲波方程：13第十三頁，共46頁。二、波動方程類型及其局限性能夠描述且只能描述縱波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述轉換波傳播規(guī)律。需要的已知條件包括：1）震源函數2）地層速度/密度3）邊界條件14第十四頁，共46頁。2、彈性波方程：15第十五頁，共46頁。能夠描述縱、橫波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波以及轉換波等。需要的已知條件包括：1）震源函數2）地層速度或根據方程的類型需要提供的地層的其它彈性參數3）邊界條件16第十六頁，共46頁。3、粘聲波/彈性波方程 前面討論的是理想彈性介質，波在其中傳播時，沒有能量的損耗，介質中應力和應變關系嚴格遵循胡克定律（這種理想介質稱虎克固體），但波在實際介質中傳播時，是有能量損耗的，這就是所謂的彈性波吸收。波在傳播過程中，實際介質的不同部位之間會出現某種摩擦力，稱為內摩擦力或粘滯力。這種力導致機械能向其他形式能量轉換，最終轉化為熱能消耗掉。17第十七頁，共46頁。 在地震勘探中，地震波傳播的實際介質是十分復雜的。在一定條件下，即震源作用時間短，作用力微小，地球介質可以看作完全彈性模型，但隨著地震勘探技術的發(fā)展，勘探精度要求提高，面臨復雜地質目標時，要求地震勘探采用更加符合實際的介質模型進行研究。粘彈性介質模型更符合實際。 但是到目前為止，在地震資料反演處理中應用最多的還是聲波方程，彈性波以及粘彈性波方程的應用還只是停留在模擬層次上。18第十八頁，共46頁。

一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數值模擬內容提綱19第十九頁，共46頁。三、數值算法類型及其優(yōu)缺點

地震波波動方程數值模擬方法主要包括克希霍夫積分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等。克?；舴蚍e分法引入射線追蹤過程，本質上是波動方程積分解的一個數值計算，在某種程度上相當于繞射疊加。該方法計算速度較快，但由于射線追蹤中存在著諸如焦散、多重路徑等問題，故其一般只能適合于較簡單的模型，難以模擬復雜地層的波場信息。20第二十頁，共46頁。

傅里葉變換法是利用空間的全部信息對波場函數進行三角函數插值，能更加精確地模擬地震波的傳播規(guī)律，同時，利用快速傅里葉變換(FFT)進行計算，還可以提高運算效率，其主要優(yōu)點是精度高，占用內存小，但缺點是計算速度較慢，對模型的適用性差，尤其是不適應于速度橫向變化劇烈的模型。21第二十一頁，共46頁。

波動方程有限元法的做法是：將變分法用于單元分析，得到單元矩陣，然后將單元矩陣總體求和得到總體矩陣，最后求解總體矩陣得到波動方程的數值解；其主要優(yōu)點是理論上可適宜于任意地質體形態(tài)的模型，保證復雜地層形態(tài)模擬的逼真性，達到很高的計算精度，但有限元法的主要問題是占用內存和運算量均較大，不適用于大規(guī)模模擬，因此該方法在地震波勘探中尚未得到廣泛地應用。22第二十二頁，共46頁。

相對于上述幾種方法，有限差分法是一種更為快速有效的方法。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計算速度快，占用內存較小的優(yōu)點，在地震學界受到廣泛的重視與應用。23第二十三頁，共46頁。

一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數值模擬內容提綱24第二十四頁，共46頁。四、聲波方程的有限差分法數值模擬

對于二維速度-深度模型，地下介質中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：是介質在點（x,z）處的縱波速度，為描述速度位或者壓力的波場，為震源函數。(4-1)25第二十五頁，共46頁。空間模型網格化（如圖4-1所示）：圖4-1差分網格劃分示意圖26第二十六頁，共46頁。網格間隔長度，時間采樣步長表示(i,j)點k時刻的波場值

27第二十七頁，共46頁。

時間二階、空間二階差分格式推導如下：將在(i,j)點k時刻用Taylor展式展開：(4-2)(4-3)28第二十八頁，共46頁。將上兩式相加，略去高階小量，整理得(i,j)點k時刻的二階時間微商為：(4-4)29第二十九頁，共46頁。同理可得(i,j)點k時刻的二階空間微商分別為：(4-5)(4-6)30第三十頁，共46頁。這就實現了用網個點波場值的差商代替了偏微分方程的微商，將上三個式子代入(4-1)式中得：(4-7)式中為介質速度的空間離散值是空間離散步長為時間采樣率31第三十一頁，共46頁。同理可得空間四階精度的差分格式為：32第三十二頁，共46頁。

同理可得時間二階、空間四階精度的聲波方程差分格式為：(4-8)33第三十三頁，共46頁。為震源函數，一般使用一個理論的雷克型子波代替，即：為時間為中心頻率，一般取為20-40HZ為控制頻帶寬度的參數，一般取2-5確定震源位置34第三十四頁，共46頁。4.1穩(wěn)定性條件

對于特定的偏微分方程只有特定的幾種有限差分格式是無條件或有條件穩(wěn)定的，（4-7）、（4-8）式即是已被證明的有條件穩(wěn)定格式，其穩(wěn)定性條件分別為：(4-9)(4-10)35第三十五頁，共46頁。4.2頻散關系式

同時，在差分計算過程中，如果空間和時間采樣間隔不當，就會導致波形畸變，甚至派生出多個同相軸，這種現象稱為頻散現象。偏微分方程本身沒有頻散，網格頻散是由于差分方程近似替代微分方程引起的。當波場按照波動方程所表示的微分方程傳播時，波場的傳播速度就是波動方程中的速度，但當波場按照波動方程離散化后的差分方程傳播時，波場的傳播速度就不再是波動方程中的速度了，而是與波的頻率和波數有關的函數，具有不同頻率和波數的波有不同的傳播速度，因而在傳播過程中會出現頻散，發(fā)生畸變，且隨走時的增加而增加。36第三十六頁，共46頁。Dablain給出了一個能有效減少頻散的經驗公式為：為Nyquist頻率，一般取為主頻的兩倍G為每個波長所占的網格點數，時間、空間為兩階差分的情況G取8，而時間、空間為四階差分的情況G取4。(4-9)37第三十七頁，共46頁。

當所給震源函數、空間網格間隔、時間采樣間隔以及地下介質的波速滿足穩(wěn)定性條件及頻散關系式時，就可以應用(4-7)式遞推求得所給的速度—深度模型內任意時刻、任何采樣點的波場值，并可最終得到一個人工合成的地震記錄。38第三十八頁，共46頁。*4.3 邊界條件

在地震波場正演模擬中，必須引入人工邊界來界定計算區(qū)域。人工邊界若不做特殊處理，就會隨著波場的遞推計算在邊界上產生虛假反射波從而擾亂波場，人工邊界的處理是地震波場正演數值模擬的一個重要課題。

本次作業(yè)不涉及邊界條件的使用，可通過增大模型來避免邊界反射干擾，有精力的同學可通過查閱資料獲得解決邊界問題的方法。39第三十九頁，共46頁。本次大作業(yè)的具體要求為：1、應用聲波方程作為正演模擬的波動方程；2、將所提供震源函數離散后繪圖；3、給定兩個二維速度-深度模型（一個小模型；一個大模型），繪出圖形來；4、對于小模型，整個區(qū)域的速度值可設為常數，即只有一種介質，將震源點放在模型中間，分別記錄兩個時刻的波前快照（即該時刻區(qū)域內所有網格點的波場值）。第一時刻為地震波還未傳播到邊界上的某時刻，第二時刻為地震波已經傳播到邊界上的某時刻，體會其人工邊界反射；40第四十頁，共46頁。5、對于大模型，定義為水平層狀速度模型（至少兩層）；做兩個實驗，一是將震源點放在區(qū)域表層任一點，記錄下某些時刻的波前快照，體會地震波在兩種介質的分界面上傳播規(guī)律；二是合成一個地震記錄，即記錄下與震源同一深度點的各點所有時刻的波