《常微分方程》答案 習(xí)題2.1

dy22323222dy22323222習(xí)題

2xy

并求滿足初始條件：x=0,y=1特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得1y

dy,兩同時(shí)積分得：lny

c,即y

x

把xy代入得c故它的特解為

y

x

。dxxdy0,

并求滿足初始條件：x=0,y=1的解解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：

11dy,y時(shí)，兩邊同時(shí)積分得xxyy當(dāng)y時(shí)然也是原方程解當(dāng)x0,，代入子得c故是y

ln11dxxy

。yx

解：原式可化為：dyy1顯然故分離變量得dxyx兩邊積分得ln1

2

xln1xln(0),即

2

)(1)

2故原方程的解為

2

)

24)y)xdy解：由或是的解，x時(shí)變量分離兩邊積lxy,lxy,故原方程的解為l;x0.

10xyword

u222xu222x:y)dyx)xdu解：,,yux,xxdxuu則,變量離得x兩邊積分得：

ln(1)x：x

x

2

y

2解：令

yux原方程化為：dx

x

2

(1

u

2

)

,分變得

u

2

sgnx

兩邊積分得代回原來(lái)變量，

sgnx另外x也程解：解：變量分離，得：ctgydy兩邊積分得ycosx:

x解：變量分離，得

e

3

:(lnlnydyydx解：方程可變?yōu)閐xlnu令u有：ln代回原變量得：：

e

解：變量分dy兩邊積分

e

x

word

yxttUyxttUdydx

x解：變量分離dy兩邊積分得

y

dy11.dx

()

2解：令xy,則

dydtdxdxdt原方程可變?yōu)椋篸x2變量分離得：2

1

dtdx邊積分rctgtx代回變量得：arctg(y)

1(xy

dt1令原方程可t2tdt分，tarctg(y)13.

yxy解：方程組xx的解為x31X令xy有3dXXdU2U令U，則方程可化為U變量分離

word

yydt解：令x,則,t原方程化為t

,變量分離(dtdx兩邊積分

12

t

2

t代回變量

12

(x

2

xy

xy2xy解：方程化為

2

2

xyx

2

令，于求導(dǎo)1

du19，所以2，分離變量

2dx，兩邊積得rctgx)6x，是u2原方程的解。

dyy6xdx5x2ydy()2x3[(2x]dxyx2232

令y方程duu2xdxxu

322u2

，

word

ududz32z2，則，所以，，...........(1)x2dxdx當(dāng)z，得或）方程的解。即y3或y是方的解。當(dāng)z

時(shí)，變分離

z

21dz，兩邊積分的（7(2)

x5c,即（y

)

(

)

x

c，又因?yàn)?/p>

x

包含在通解中當(dāng)c時(shí)。故原方程的解為(y3x)(y)x1517.

dyxxyxdx32yy3

dyxx2ydy2x2y;;;;;dxy(3x22x2令y2,;;;;;x;;;;;;;

duvu.......(1)3v

的解為Z，Y0

dy，，，從方程）化為zydz

yydydtdt2t2t2t，，則有，，所以t，z...........(2)dzdzdztdzt2t

2

，，t的解

2

2

或

2

2

是原程的2t時(shí)，，分離變量得

3tdz兩邊積分的225c2tzy

2

2

或

2

2，包含在通解，故方程解y

2

x

2

(

2

x

2

5

cword

yxyxxdyfxy)經(jīng)變y，ydx(1x2)xdyxdyy2(2).y22dydu明：u,于x得yx,ydxdxdxdxdudu(uf(u)y(f(u)x程為dy解:當(dāng)xxy時(shí)為dx令xy(2u量分離得：dxdxx

x

時(shí)

x

y22x

y原x

x

12(u)dxx2

x2

y2dx，兩邊積分ln4x419.已f(x)

f(x)x0,數(shù)(x)的

設(shè)f(x)=y,

(

1

1y'

;;;;;;;;;;dx;;;;;;;;;;;;兩邊積分得;;;;;所以y2y2x把

12x

代入

f(x)

1yword

==

1t

;;;;;;;;;;c)x得c以y

12x20.求具有性質(zhì)

x(t+s)=

(t)x()1(t)()

數(shù)x(t),已x

(0)x1(0)

若x(0)得2=-1