數(shù)值計(jì)算方法試題集及答案

《數(shù)值計(jì)算方法》復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則A的LU分解為。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)算求得，用三點(diǎn)式求得。答案:，3、，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為,拉格朗日插值多項(xiàng)式為。答案：-1,4、近似值關(guān)于真值有（2）位有效數(shù)字；TOC\o"1-5"\h\z5、設(shè)可微，求方程的牛頓迭代格式是（）；答案6、對(duì)，差商（1）,（0）；7、計(jì)算方法主要研究（截?cái)啵┱`差和（舍入）誤差；8、用二分法求非線性方程f（x）=0在區(qū)間（a,b）內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為（）;9、求解一階常微分方程初值問(wèn)題二f（x,y）,y（xo）=yo的改進(jìn)的歐拉公式為（）;10、已知f（1）=2,f（2）=3,f（4）=，則二次Newton插值多項(xiàng)式中X2系數(shù)為（）；11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式Q（），代數(shù)精度為（5）;12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為（A的各階順序主子式均不為零）。13、為了使計(jì)算的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫(xiě)為_(kāi)，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)為。14、用二分法求方程在區(qū)間［0,1］內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為，。15、計(jì)算積分，取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為—,用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為,梯形公式的代數(shù)精度為―，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。16、求解方程組的高斯一塞德?tīng)柕袷綖?，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑17、設(shè)，則，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為。18、求積公式的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有()次代數(shù)精度。TOC\o"1-5"\h\z19、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求Q(12)。20、設(shè)f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0，用三點(diǎn)式求()。21、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分(10)次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=(3),=(3),=(1)。23、是以整數(shù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則(1),()，當(dāng)時(shí)()。24、解初值問(wèn)題的改進(jìn)歐拉法是2階方法。25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù)()的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確。27、若用二分法求方程在區(qū)間［1,2］內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分10次。28、設(shè)是3次樣條函數(shù)，則a=3,b=-3,c=1。29、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算，要求誤差不超過(guò)，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。30、寫(xiě)出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為_(kāi)，此迭代法是否收虹收斂一。31、設(shè)，則9。32、設(shè)矩陣的，則。33、若，則差商334、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為。35、線性方程組的最小二乘解為36、設(shè)矩陣分解為，貝IJ。二、單項(xiàng)選擇題：1、Jacobi迭代法解方程組的必要條件是(C)。TOC\o"1-5"\h\zA.A的各階順序主子式不為零B.C.D.2、設(shè),則為(C).A.2B.5C.7D.33、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B)。A.2B.5C.3D.44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(B)。A.對(duì)稱陣B.正定矩陣C.任意陣D.各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值6、是n的有(B)位有效數(shù)字的近似值。A.6B.5C.4D.77、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。A.模型B.觀測(cè)C.截?cái)郉.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。A.控制舍入誤差B.減小方法誤差C.防止計(jì)算時(shí)溢出D.簡(jiǎn)化計(jì)算9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。A.舍入B.觀測(cè)C.模型D.截?cái)?0、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A.5B.6C.7D.811、設(shè)千(-1)=1,f(0)=3,f⑵=4，則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)。A.-0.5B.0.5C.2D.-212、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A.3B.4C.5D.213、(D)的3位有效數(shù)字是X102。(A)X103(B)X10-2(C)(D)X10-114、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，^ljf(x)=0的根是(B)。(A)y=?(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=？(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=？(x)的交點(diǎn)3x-x+4x=1〈一x+2x-9x=015、用列主元消去法解線性方程組〔一4氣一3x2+x3=-1，第1次消元，選擇主元為(A)。(A)-4(B)3(C)4(D)-916、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B)，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2，…，xn)(x——x1)(x——x2)…(x——xn——1)(x——xn),(B)Rn(B)Rn(x)=f(x)-P(x)=f(n+D(如

(n+1)!(C)f(x,x0,x1,x2，…,xn)(x——x0)(x——x1)(x——x2)…(x——xn——1)(x——xn),(D)Rn(D)Rn(x)=f(x)-Pn(x)=f^n^H(^l④

(n+1)!n+117、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式f?(x1)?(A)。f(xf(x)—f(x)f(x)—f(x)(A)~J*(/(B)~Jox]—x0x0—x](C)f(%)+f(xi)

x°-1](D)f(xi)—f(%)

x]+x018、用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列{xn}n=0,1,2,…一定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f〃(x)>0(B)f(x0)ff(x)>0(C)f(x0)f〃(x)<0(D)f(x0)ff(x)<0x3—1=x2,(D)迭代公式:x=1+―x3—1=x2,(D)迭代公式:x=1+―矣—k+1x2+x+1'?/=f(x,y)x2=],迭代公式:xx—1k+1_1(A)■<xk-1x=1+—,迭代公式：x=1+—(B)x2k+1x2k(C)x3=1+x2,迭代公式:x=(1+x2)l/320、求解初值問(wèn)題〔火幻)=*歐拉法的局部截?cái)嗾`差是()；改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是()；四階龍格一庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)TOC\o"1-5"\h\z21、解方程組的簡(jiǎn)單迭代格式收斂的充要條件是()。(1),(2),(3),(4)22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當(dāng)系數(shù)是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)()時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。1),(2),(3),(4),23、有下列數(shù)表x012f(x)-2-12)。所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是((1)二次；(2)三次；(3)四次;(4)五次24、若用二階中點(diǎn)公式求解初值問(wèn)題，試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng)的取值范圍為T(mén)OC\o"1-5"\h\z()。(1),(2),(3),(4)25、取計(jì)算，下列方法中哪種最好()(A)；(B)；(C)；(D)。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是()123-1TOC\o"1-5"\h\z(A)；(B)；(C)；(D)。28、形如的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為()(A)；(B)；(C)；(D)。29、計(jì)算的Newton迭代格式為()(A)；(B)；(C)；(D)。30、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為，則對(duì)分次數(shù)至少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔公式的局部截?cái)嗾`差為()(A)；(B)；(C)；(D)。32、設(shè)是以為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則()(A)；(B)；(C)；(D)。33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6,6；(B)6,8；(C)8,6；(D)8,8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是()(A)；(B)；(C)；(D)。3012341243-5TOC\o"1-5"\h\z確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打？，否則打?)1、已知觀察值，用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式時(shí)，的次數(shù)n可以任意取。()2、用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()3、表示在節(jié)點(diǎn)叫的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。(？)4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。(?)5、矩陣A二具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。()四、計(jì)算題：1、用高斯-塞德?tīng)柗椒ń夥匠探M，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算)。答案：迭代格式2、求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求（保留四位小數(shù)）。答案：是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左二，右二。所以代數(shù)精度為3。3、已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-104、取步長(zhǎng)，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問(wèn)題答案：解：即

5、5、-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解:0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為6、已知區(qū)間［,］的函數(shù)表如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)最好,實(shí)際計(jì)算結(jié)果，且7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來(lái)，。答案：解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程變形為則當(dāng)時(shí)故迭代格式收斂。取，計(jì)算結(jié)果列表如下:n0123127872424785877325n4567595993517340525950525008且滿足.所以.8、利用矩陣的LU分解法解方程組。答案：解：令得，得.9、對(duì)方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說(shuō)明理由；取初值，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)故對(duì)應(yīng)的高斯一塞德?tīng)柕ㄊ諗?迭代格式為取，經(jīng)7步迭代可得：10、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Xif(xi)試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0<x<1時(shí)，ex，則，且有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將［0,1］68等份。11、用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。12、取節(jié)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間［0,1］上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。解：又故截?cái)嗾`差。13、用歐拉方法求在點(diǎn)處的近似值。解：等價(jià)于（）記,取,.則由歐拉公式,可得^14、給定方程1）分析該方程存在幾個(gè)根；2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3）說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（1）改寫(xiě)為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2）將方程（2）改寫(xiě)為構(gòu)造迭代格式計(jì)算結(jié)果列表如下:k123456789Xk3),當(dāng)時(shí)，，且所以迭代格式對(duì)任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0二，計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，，牛頓迭代公式為°，即取x0二，列表如下：12316、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多項(xiàng)式及f(1,5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)。解：,時(shí),至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=,取X(o)=(O,O,O)t,列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取X(o)=(O,O,O)t，列表計(jì)算如下：12319、用預(yù)估一校正法求解(0?x?1),h=0o2,取兩位小數(shù)。解：預(yù)估一校正公式為其中，，h=,,代入上式得:19253038解：解方程組其中解得：所以，21、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫(xiě)成三種不同的等價(jià)形式（1）對(duì)應(yīng)迭代格式；（2）對(duì)應(yīng)迭代格式；（3）對(duì)應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。解：（1），，故收斂；（2），，故收斂；（3），，故發(fā)散。選擇（1）：，，，，，，23、（8分）已知方程組，其中，（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，24、1、（15分）取步長(zhǎng)，求解初值問(wèn)題用改進(jìn)的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法求的值。解：改進(jìn)的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法：，所以。25、數(shù)值積分公式形如試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導(dǎo)余項(xiàng)公式，并估計(jì)誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式滿足其中則有:，26、用二步法此時(shí)求解常微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng),該方法是幾階的解：此時(shí)所以主項(xiàng)：該方法是二階的。27、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對(duì)一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。證明：故對(duì)一切。又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過(guò)程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少解：是。因?yàn)樵诨c(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為。其代數(shù)精度為1。30、（6分）寫(xiě)出求方程在區(qū)間［0,1］的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。（6分），n=0,1,2，…對(duì)任意的初值，迭代公式都收斂。31、（12分）以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。用Newton插值方法：差分表：10012114410111210+(115-100)(115-100)(115-121)32、（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，要求誤差限為?；蚶糜囗?xiàng):33、（10分）用Gauss列主元消去法解方程組:0.0000034、（8分）求方程組的最小二乘解。，，若用Householder變換，則：最小二乘解：，T.35、（8分）已知常微分方程的初值問(wèn)題：用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算的近似值，取步長(zhǎng)。，36、（6分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f（x）=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：，，f（x）=x2時(shí)，公式左右=1/4;f（x）=x3時(shí)，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=237、（15分）已知方程組，其中，，（1）寫(xiě)出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說(shuō)明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為,,,Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法