2023年第大學(xué)物理八九章習(xí)題解答分解

第第大學(xué)物理八九章習(xí)題解答分解

第八章氣體動(dòng)理論

8-6目前，真空設(shè)備內(nèi)部的壓強(qiáng)可達(dá)1.01?10?10Pa，在此壓強(qiáng)下溫度為27℃時(shí)1m3體積中有多少個(gè)氣體分子?

解：由p?nKT得

p1?01?10?10n???2?45?1010(m?3)?23KT1?38?10?300

8-7每秒有1023個(gè)氧分子以500m·s-1的速度沿與器壁法線成45o角的方向撞在面積為2?10?4m2的器壁上，問這群分子作用在器壁上的壓強(qiáng)為多大?

解：每個(gè)分子對(duì)器壁碰撞時(shí)，對(duì)器壁的作用沖量為f?t?2mvcos450每秒內(nèi)全部N個(gè)分子對(duì)器壁的作用沖量，即沖力為

F?N?2mvcos450

根據(jù)壓強(qiáng)定義式得：

FN2mvcos450p===SS1023創(chuàng)232創(chuàng)10-3500?cos450=

6狀021023創(chuàng)210-4=1狀88104(Pa)

8-8有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為f(v)?dN?C（0

（3）求粒子的平均速率

解:（1）粒子的速率分布曲線如圖2-2所示（2）由于?f(v)dv??Cdv?Cv0

001v0f(v)C由分布函數(shù)的歸一化條件

?f?v?dv?1，得

0?Ovo圖2-2

Cv0?1

則

vC?1v0（3）粒子平均速率為

v??vf(v)dv??v00?V0v1dv?0v02

8-9某些行星的溫度可達(dá)到1.0?108K，這是發(fā)生核聚變（熱核反應(yīng)）所需的溫度，在此溫度下的恒星可視為由質(zhì)子組成。試求：（1）質(zhì)子的平均動(dòng)能；（2）質(zhì)子的方均根速率。（大量質(zhì)子可視為由質(zhì)點(diǎn)組成的理想氣體）解（1）將質(zhì)子視為理想氣體，

??kT??1.38?10?23?1?108?2.07?10?15(J)

（2）質(zhì)子的方均根速率為：

3232v?

23RT3?8.31?1?1086??1.58?10(m/s)?3?1?108-10.儲(chǔ)有氧氣的容器以速度v?100m/s運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該容器突然停止，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，容器中氧氣的溫度將會(huì)上升多少？解：氧氣為雙原子分子i??

內(nèi)能U?M5RT（3分）

Mmol2M5R?T（2分）

Mmol2?U?根據(jù)題意有：?U?1Mv2（3分）2Mmolv????????容器中氧氣的溫度變化ΔT??(???)???.?K（2分）

?R???.??

8-11CO2氣體的范德瓦耳斯常量a?0.37Pa?m2?mol?2，b?4.3?10?5m3?mol?1，00C時(shí)其摩爾體積為6.0?10-4m3?mol?1，計(jì)算其壓強(qiáng)。如果將其當(dāng)成理想氣體，壓強(qiáng)又為多少？

解（1）由范德瓦耳斯方程(p?a)(V?b)?RT解得：2VRTap??2

V?bV代入數(shù)據(jù)得：

RTa?2V?bV8.31?2730.37??6.0?10?4?4.3?10?5(6.0?10?4)2p??3.06?106Pa（2）若將氣體當(dāng)成理想氣體，由pV?RT可得：

RT8.31?2736??3.78?10Pa?4V6.0?10x8-11.容器容積為20L，其中裝有1.1kg的CO2氣體，溫度為13?C，試用范德瓦耳斯

p?方程求氣體壓強(qiáng)（取a=3.64?105Pa·l2·mol-2，b=0.0427l/mol，并用理想氣體狀態(tài)方程求出結(jié)果作比較。這時(shí)CO2氣體的內(nèi)壓強(qiáng)多大？

?CO2的摩爾質(zhì)量：CO2氣體的摩爾數(shù)：??MCO2?4.4?10?2kg/mol，

根據(jù)范德瓦耳斯方程：(p??2a)(V??b)??RTV2M??25mol，MCO25?RT25?8.31?2862a23.64?106??氣體壓強(qiáng)：p?，p??25?2.58?10Pa2?32(V??b)V(20?1.1)?1020由理想氣體狀態(tài)方程：p'V??RT，p'??RTV，p'?25?8.31?2866?2.97?10Pa，?320?10分子的理想氣體模型，忽略了分子本身占有的體積，導(dǎo)致了p'?p

此時(shí)CO2氣體的內(nèi)壓強(qiáng)：pi??2

a，pi?0.57?106Pa2V8-13一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑R1?2cm的蒸汽導(dǎo)管，外面包圍一層厚度2cm的絕熱材料（其熱導(dǎo)率?＝0.1W·m-1·K-1）。蒸汽的溫度為100℃，絕熱層外表面的溫度為20℃。單位時(shí)間單位長(zhǎng)度傳出的熱量是多少？

解：如圖2-3所示，設(shè)蒸汽導(dǎo)管的半徑為R1，絕熱層的外半徑為R2。在絕緣層中取內(nèi)半徑為r、外半徑為r+dr的薄層，由熱傳導(dǎo)定律

?Q?T????S?t?x可知，單位時(shí)間內(nèi)通過此薄層的熱量為

dQdT????2?rLdtdrR1rdr由于絕緣層內(nèi)外溫度恒定，所以在穩(wěn)態(tài)條件下，dQ/dt是常數(shù)。將上式移項(xiàng)并積分得

LR2dQT2R2dr?dT??Ldt?

T1R12??r

dQRT2?T1??Ldtln2

2??R1圖2-3

于是，單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度的絕緣層傳出的熱量為

q?dQ2??(T1?T2)?

R2LdtlnR12??0.1?(100?20)4ln2?71.8(W?m-1)?

x8-13.一長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑R1=2cm的蒸汽導(dǎo)管，外面包著一層厚度為2cm的絕熱材料，導(dǎo)熱系數(shù)為k=0.1w/mK，蒸汽的溫度為100?C，絕熱外套表面溫度為20?C，保持恒定。

(1)試問絕熱材料柱層中不同半徑處的溫度梯度(2)單位時(shí)間單位長(zhǎng)度傳出的熱量是多少？

dT是否相同？dr?在蒸汽導(dǎo)管外面的絕熱材料選取長(zhǎng)度為l，半徑為r和r’的兩個(gè)圓柱面，單位時(shí)間內(nèi)穿過兩個(gè)

圓柱面的熱量相等。根據(jù)Q????(SdTdT為常數(shù)。)dS，對(duì)于給定的圓柱面上，drdrdTdTdT)r(2?rl)，Qr'???()r'(2?r'l))rdS，Qr???(drdrdr所以，Qr????(Sr??(dTdTdTdT)r(2?rl)???()r'(2?r'l)，()rr?()r'r'drdrdrdr所以絕熱材料柱層中不同半徑處的溫度梯度不相同，即(在單位時(shí)間里，從長(zhǎng)度為L(zhǎng)傳出的熱量：

dTdT)r?()r'drdrQ????(SdTdTdT)2?Lr（在半徑為r的圓柱面上為常數(shù)）)dS，Q???(drdrdrRT22QQdr??2?L?dT，兩邊積分：?dr??2?L??dT，因?yàn)榇┻^任一圓柱面的熱量rrR1T1相等，

所以：QlnR2??2?L?(T2?T1)R22??(T2?T1)Q??

R2LlnR2單位時(shí)間單位長(zhǎng)度傳出的熱量：Q'?Q'??2?3.14?0.1(293?373)，Q'?72.3J

2?2ln2

第九章熱力學(xué)基礎(chǔ)

9-51mol單原子理想氣體從300K加熱到350K，問在下列兩過程中吸收了多少熱量?增加了多少內(nèi)能?對(duì)外作了多少功?(1)體積保持不變；(2)壓力保持不變．解：(1)等體過程

由熱力學(xué)第一定律得Q??E

吸熱Q??E??CV(T2?T1)??Q??E?iR(T2?T1)23?8.31?(350?300)?623.25J2對(duì)外作功A?0(2)等壓過程

Q??CP(T2?T1)??i?2R(T2?T1)2吸熱Q?5?8.31?(350?300)?1038.75J2?E??CV(T2?T1)內(nèi)能增加?E?3?8.31?(350?300)?623.25J2.75?62.35?41.55J對(duì)外作功A?Q??E?10389-60.01m3氮?dú)庠跍囟葹?00K時(shí)，由0.1MPa(即1atm)壓縮到10MPa．試分別求氮?dú)饨?jīng)等溫及絕熱壓縮后的(1)體積；(2)溫度；(3)各過程對(duì)外所作的功．解：(1)等溫壓縮T?300K由p1V1?p2V2求得體積V2?對(duì)外作功A??RTlnV2p?p1V1ln1V1p2p1V10.1??0.01?1?10?4m3p210?1?1.013?105?0.01?ln0.01

???.??????J

(2)絕熱壓縮CV??57R??25?p1V1?1/?由絕熱方程p1V1?p2V2V2?()

p2p1V1?1/?pV2?()?(1)?V1

p2p210.11.4?()?0.01?3.73?10?4m3101??1??由絕熱方程T1?p1得?T2??p2??1T1?p2T2???1?3001.4?(100)0.4p1?T2?1118.3K

熱力學(xué)第一定律Q??E?A，Q?0所以A??MCV(T2?T1)MmolpV?pV5MRT，A??11R(T2?T1)MmolRT121.013?105?0.015A????(1118.3?300)??690.8J

30029-7理想氣體由初狀態(tài)(p1,V1)經(jīng)絕熱膨脹至末狀態(tài)(p2,V2)．試證過程中氣體所作的功為

A?p1V1?p2V2，式中?為氣體的比熱容比.

??1

答：證明：由絕熱方程

1V?pV??p1V1??p2V2??C得p?p1V1?A??pdV

V1V2A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)

v??1V2V1???p1V1V1??1[()?1]??1V2p1V1?又A??(V2???1?V1???1)

??1p1V1?V1???1?p2V2?V2???1?

??1所以A?p1V1?p2V2

??19-81mol的理想氣體的T-V圖如題7-15圖所示，ab為直線，延長(zhǎng)線通過原點(diǎn)O．求

ab過程氣體對(duì)外做的功．

題7-15圖

解：設(shè)T?KV由圖可求得直線的斜率K為K?T02V0得過程方程T?T0V2V0由狀態(tài)方程pV??RT得p?ab過程氣體對(duì)外作功

?RTV

A??2V0v0pdV

A????2V0V02V0v02V0RTRT0dV??VdVV0VV2V0RT0RTdV?02V02

9-9一卡諾熱機(jī)在1000K和300K的兩熱源之間工作，試計(jì)算(1)熱機(jī)效率；

(2)若低溫?zé)嵩床蛔?，要使熱機(jī)效率提高到80%，則高溫?zé)嵩礈囟刃杼岣叨嗌?(3)若高溫?zé)嵩床蛔?，要使熱機(jī)效率提高到80%，則低溫?zé)嵩礈囟刃杞档投嗌?解：(1)卡諾熱機(jī)效率??1?T2T1??1?(2)低溫?zé)嵩礈囟炔蛔儠r(shí)，若

300?70%1000??1?300?80%T1要求T1?150K0，高溫?zé)嵩礈囟刃杼岣?00K(3)高溫?zé)嵩礈囟炔蛔儠r(shí)，若??1?T2?80%1000要求T2?200K，低溫?zé)嵩礈囟刃杞档?00K

9-10（1）用一卡諾循環(huán)的致冷機(jī)從7℃的熱源中提取1000J的熱量傳向27℃的熱源，需要多少功?從-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡諾機(jī)，作熱機(jī)使用時(shí)，如果工作的兩熱源的溫度差愈大，則對(duì)于作功就愈有利．當(dāng)作致冷機(jī)使用時(shí)，如果兩熱源的溫度差愈大，對(duì)于致冷是否也愈有利?為什么?

解：(1)卡諾循環(huán)的致冷機(jī)e?7℃→27℃時(shí)，需作功

Q2T2?A靜T1?T2A1?T1?T2300?280Q2??1000?71.4JT2280?173℃→27℃時(shí)，需作功

A2?T1?T2300?100Q2??1000?202xJT2100(2)從上面計(jì)算可看到，當(dāng)高溫?zé)嵩礈囟纫欢〞r(shí)，低溫?zé)嵩礈囟仍降?，溫度差愈大，提取同樣的熱量，則所需作功也越多，對(duì)致冷是不利的．9-11如題9-11圖所示，1mol雙原子分子理想氣體，從初態(tài)

V1?20L,T1?300K經(jīng)歷三種不同的過程到達(dá)末態(tài)V2?40L,T2?300K．

圖中1→2為等溫線，1→4為絕熱線，4→2為等壓線，1→3為等壓線，3→2為等體線．試分別沿這三種過程計(jì)算氣體的熵變．

解：1?2熵變等溫過程dQ?dAdA?pdVpV?RT

S2dQ2?S1??1T?1T1?V2RT1VdV

1VS2?S1?RlnV2V?Rln2?5.76J?K?1!1?2?3熵變

S2?S3dQ2d1??1T??Q3TSTT22?S1??T3CpdTT?1?CVdTTT?C3T?CTplnVln2

3T1T31?3等壓過程p11?p3

VT?V21T3

T3V2T?1V1題9-11圖

3?2等體過程

p3p2?T3T2T2pTp?22?2T3p3T3p1S2?S1?CPlnV2p?CVln2V1p1在1?2等溫過程中p1V1?p2V2所以S2?S1?CPln1?4?2熵變

V2VVCVln2?Rln2?Rln2V1V1V1S2?S1??41dQ2dQ??4TTS2?S1?0??1?4絕熱過程

T2CpdTTT4?CplnT2T?Cpln1T4T4T1V1??1?T4V4??1T1V4??1???1T4V1p1V1??p4V4?,V4pp?(1)1/??(1)1/?V1p4p2在1?2等溫過程