線性離散系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

線性離散系統(tǒng)理論基礎(chǔ)本章主要內(nèi)容本章在闡述了離散控制系統(tǒng)相關(guān)基本概念后，學(xué)習(xí)了采樣過(guò)程及采樣定理、保持器的作用和數(shù)學(xué)模型、z變換的定義和求法、基本性質(zhì)和z反變換的求法、線性差分方程的建立及其解法、脈沖傳遞函概念及求取方法等。

本章重點(diǎn)

學(xué)習(xí)本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關(guān)基本概念，特別是采樣過(guò)程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質(zhì)、差分方程和脈沖傳遞函數(shù)等概念。在此基礎(chǔ)上了解利用脈沖傳遞函數(shù)求解離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)性能計(jì)算等內(nèi)容。

第一節(jié)基本概念

采樣控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)采樣信號(hào)自動(dòng)控制系統(tǒng)按信號(hào)形式劃分可分為以下三種類(lèi)型連續(xù)控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（a）采樣控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（b）數(shù)字控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（c）

采樣系統(tǒng)的特點(diǎn)在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設(shè)置采樣開(kāi)關(guān)，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行斷續(xù)控制；通常采樣周期遠(yuǎn)小于被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)；采樣開(kāi)關(guān)合上的時(shí)間遠(yuǎn)小于斷開(kāi)的時(shí)間；采樣周期通常是相同的。第二節(jié)信號(hào)的采樣采樣定理離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式先看一下原理示意圖：采樣過(guò)程采樣函數(shù)的頻譜分析

為了使信號(hào)得到很好的復(fù)現(xiàn)，采樣頻率應(yīng)大于等于原始信號(hào)最大頻率的二倍，即香農(nóng)（Shannon）采樣定理

把采樣信號(hào)恢復(fù)為原來(lái)的連續(xù)信號(hào)稱(chēng)為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。實(shí)用的辦法是加入保持器。常用的為零階保持器。信號(hào)的復(fù)現(xiàn)零階保持器的傳遞函數(shù)為：零階保持器的幅頻與相頻特性如下圖所示：

第三節(jié)Z變換

Z變換的定義

Z變換的方法

Z變換的性質(zhì)

Z反變換一.Z變換的定義對(duì)其進(jìn)行拉氏變換：此式稱(chēng)為采樣函數(shù)的Z變換。Z變換的方法級(jí)數(shù)求和法部分分式法級(jí)數(shù)求和法例8-1求1*（t）的Z變換。例8-2求的F(Z)。部分分式法例8-3求解的Z變換。例8-4求三.Z變換的性質(zhì)線性性質(zhì)延遲定理超前定理復(fù)位移定理初值定理終值定理卷積和定理線性性質(zhì)延遲定理設(shè)t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，則延遲定理為

超前定理令

Z[f(t)]=F(z)，則

復(fù)位移定理設(shè)

Z{f(t)}=F(z)，則

初值定理設(shè)

Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞時(shí)F（z）的極限存在，則函數(shù)的初值為

終值定理設(shè)

Z{f(t)}=F(z)，則函數(shù)的終值為

卷積和定理

若，其中，k=0，1，2，…且當(dāng)k=-1，-2，-3，…時(shí)，

xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0，則

式中，Z反變換冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法部分分式法反演積分法（留數(shù)法）第四節(jié)線性常系數(shù)差分方程差分方程的定義差分方程的解法差分方程的定義對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值

xc(k)不僅與這一時(shí)刻的輸入值xr(k)有關(guān)，而且與過(guò)去時(shí)刻的輸入值xr(k-1)，xr(k-2)…有關(guān)，還與過(guò)去的輸出值xc(k-1)，xc(k-2)…有關(guān)?？梢园堰@種關(guān)系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+…=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……或表示為xc(k)=T[xr(k)]

當(dāng)系數(shù)均為常數(shù)時(shí)，上式為線性定常差分方程。差分方程的解法迭代法Z變換法迭代法例

8-5：已知采樣系統(tǒng)的差分方程是初始條件：

解：令k=1，有

令k=2，有

同理，求出

輸入輸出關(guān)系如下圖所示。Z變換法例

8-6：求解初始條件：xc(0T)=0,xc(1)=1

解：由超前定理，令

于是

代入原式得

整理后得

第五節(jié)脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)由單位脈沖響應(yīng)推出由拉氏變換求出由差分方程求出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器的情況結(jié)論：中間具有采樣器的環(huán)節(jié)，總的脈沖傳函等于各脈沖環(huán)節(jié)傳函之積，而串聯(lián)環(huán)節(jié)中間沒(méi)有采樣器時(shí)，其總的傳函等于各環(huán)節(jié)相乘積后再取Z變換。閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)注意在閉環(huán)的各個(gè)通道以及環(huán)節(jié)之間是否有采樣開(kāi)關(guān)，因?yàn)橛?、無(wú)采樣開(kāi)關(guān)所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。例8-7例8-8例8-9第六節(jié)采樣控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)例8-10已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：例8-11在上例中加入保持器后再求輸出量。解：

由此結(jié)果看出，由于增加了保持器，使得系統(tǒng)輸出量的超調(diào)量增加了。采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析Z平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的條件閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定穩(wěn)定條件是脈沖傳函的全部極點(diǎn)位于Z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。否則將是不穩(wěn)定的。

把S平面映射到Z平面上閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的位置與暫態(tài)特性的關(guān)系采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

具有單位反饋的采樣系統(tǒng)如下圖所示：

采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和連續(xù)系統(tǒng)一樣，都和輸入信號(hào)的類(lèi)型有關(guān)，也和系統(tǒng)本身的特性有關(guān)。在分析時(shí)，利用Z變換的終值定理求出。

系統(tǒng)類(lèi)型位置誤差速度誤差加速度誤差01/kp∞∞101/kr∞2001/ka第七節(jié)采樣控制系統(tǒng)的頻域分析

雙線性變換Bode圖雙線性變換為了利用連續(xù)系統(tǒng)在S平面上的一些結(jié)論，我們把Z平面通過(guò)變映射到W平面上，且令穩(wěn)定邊界在W平面的虛軸上。這種變換被稱(chēng)為W變換。

S平面與W平面頻率間的關(guān)系：Bode圖典型環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖所示小