拋物線的幾個常見結(jié)論及其用

拋物線的幾個常見結(jié)論及其用作者:日期:

\/拋物線的幾個常見結(jié)論及其應用拋物線中有一些常見.常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題.填空題時可迅速解答相關問題，在做解答題時也可迅速打開思路結(jié)論一:若AB是拋物線y2=2pXp>0）的焦點弦（過焦點的弦）,且A(x,y)，B(x,y)，則：xx=P,yy=-p2。112212412例:已知直線AB是過拋物線’2=2px（p>0）焦點F,求證：11\aF求證：11\aF+\bf\為定結(jié)論二：（1）若入8是拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦，且直線AB的傾斜角為a,則,,2p（a#0）°（2）焦點弦中通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸ABI=-sin2a的弦）最短。例：已知過拋物線y2=9x的焦點的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為—。AB傾斜角為/號。結(jié)論三:兩個相切：（1）結(jié)論三:兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的與準線相切。（2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線,以兩垂足為直徑端點的與焦點弦相切。以兩垂足為直徑端點的與焦點弦相切。例:已知入8是拋物線2y22px（p>0）的過焦點F的弦,求證:（1）以AB為直徑的與能物線的準線相切。例:已知入8是拋物線2y2（2）分別過人.8做準線的垂線，垂足^M.N,求^:以MN^直徑的與M^AB相切。

結(jié)論四：若拋物線方程為y2=2pXp>0y過(2p,0)的直線與之交于A、B兩點,則OA±OB。反之也成立。結(jié)論五:對于拋物線x2=2py(p>0)，其參數(shù)方程為F=2p設拋物線x2=2py上動點P[y=2pt2坐標為(2pt,2pt2)，O為拋物線的頂點，顯然k=星①，即t的幾何意義為過拋物線Op2pt頂點O的動弦OP的斜率.例直線y=2x與拋物線y2=2px(p>0)相交于原點和A點，B為拋物線上一點,OB和OA垂直，且線段AB長為5而，求P的值.解析：設點AB分別為(2pt2,2pt),(2pt2,2pt)，則t=工=1，t=工=—k=-2.Ak2BkOAAB的坐標分別為、一一，p、一一，p，(8p,-4p)...|AB|=)|V13p=5而..??p=2-1.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是pq，則1+1=故1+1=4a】pqpq2.設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于AB兩點.點C在拋物線的準線上，且BC//x軸.證明直線AC經(jīng)過原點O.【證明:拋物線焦點為f]p，小設直線ab的方程為x=my+p，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.若設A(x，y),B(x，y)，TOC\o"1-5"\h\z1122則yy=-p2.BC//x軸，且點C在準線k=旦；12COy^1又由y2=2px，得k=七=里，故k=k，即直線AC經(jīng)過原點O.】11aoxycoao

3.已知拋物線的焦點是mi),準線方程是""2=0，求拋物線的方程以及頂點坐標和對稱軸方程.【解：設P(x,y)是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義得I1寸心_1)2+("1)2整理，得2—2”虹蹌=0，此即為所求拋物線的方程.拋物線的對稱軸應是過焦點尸⑴)且與準線疽"2=0垂直的直線，因此有對稱軸方程y=X.設對稱軸與準線的交點為肱，可求得肱(_1,_1),于是線段依的中點就是拋物線的頂點，坐標是(0,0)]1.拋物線的頂點坐標是W0)，準線Z的方程是廠2》-2=0,試求該拋物線的焦點坐標和方程.解：依題意，拋物線的對稱軸方程為2x+y—2=0.設對稱軸和準線的交點是M，可以求得肱僅_邛設焦點為八則或的中點是A，槌5；故得焦點坐標為.再設用,y)是拋物線上的任一點，根據(jù)拋物線的定義得L_4V+r_2V=|x-2j-2|