人教數(shù)學(xué)A版《平面向量的線性運(yùn)算》同步練習(xí)

《平面向量的線性運(yùn)算》第2課時(shí)同步練習(xí)一、選擇題1．化簡eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的結(jié)果等于()\o(QP,\s\up6(→)) \o(OQ,\s\up6(→))\o(SP,\s\up6(→)) \o(SQ,\s\up6(→))[答案]B[解析]原式＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→)))＋(eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→)))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，下列結(jié)論中正確的是()A．P在△ABC的內(nèi)部B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在直線上D．P在△ABC的外部[答案]D[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))可得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四邊形PBCA為平行四邊形．可知點(diǎn)P在△ABC的外部．選D.3．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0[答案]C[解析]A顯然正確．由平行四邊形法則知B正確．C中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故C錯(cuò)誤．D中eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.4．(07·湖南)若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))[答案]B[解析]由向量的減法的定義求解．5．在平面上有A，B，C三點(diǎn)，設(shè)m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m與n的長度恰好相等，則有()A．A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C．△ABC必為直角三角形且∠B為直角D．△ABC必為等腰直角三角形[答案]C[解析]以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ABCD，則m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，由m，n的長度相等可知，兩對(duì)角線相等，因此平行四邊形一定是矩形．∴選C.6．已知向量a與b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，則λ的值等于()\f(r,R) B．－eq\f(r,R)C．－eq\f(R,r) \f(R,r)[答案]C[解析]∵b＝λa，∴|b|＝|λ|·|a|又∵a與b反向，∴λ＝－eq\f(R,r).7．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) \o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))[答案]A[解析]∵eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).8．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在()A．△ABC的內(nèi)部B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上D．BC邊所在直線上[答案]B[解析]由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).則eq\o(CP,\s\up6(→))與eq\o(PA,\s\up6(→))為共線向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))與eq\o(PA,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)P，∴C、P、A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在直線AC上．故選B.9．G為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則G為△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心[答案]D[解析]由于eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，即eq\o(GA,\s\up6(→))是與eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))方向相反，長度相等的向量．如圖，以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))為相鄰的兩邊作?BGCD，則eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))，所以eq\o(GD,\s\up6(→))＝－eq\o(GA,\s\up6(→))，在?BGCD中，設(shè)BC與GD交于點(diǎn)E，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，故AE是△ABC中BC邊上的中線且|eq\o(GA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(GE,\s\up6(→))|.從而點(diǎn)G是△ABC的重心．選D.10．(2022·河北唐山)已知P、A、B、C是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．A、B、C三點(diǎn)共線B．A、B、P三點(diǎn)共線C．A、C、P三點(diǎn)共線D．B、C、P三點(diǎn)共線[答案]B[解析]∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，∴原條件式變形為：eq\o(PB,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(PA,\s\up6(→))，∴A、B、P三點(diǎn)共線．二、填空題11．已知x、y是實(shí)數(shù)，向量a，b不共線，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，則x＝________，y＝________.[答案]eq\f(1,2)eq\f(1,2)[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0,x－y＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝\f(1,2))).12．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.[答案]－eq\f(5,7)[解析]∵|a|＝5，|b|＝7，∴eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，又方向相反，∴a＝－eq\f(5,7)b.13．(2022·浙江寧波十校)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)．[答案]－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2[解析]∵eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e2，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e2，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2－e1，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)－eq\f(1,4)e2＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.三、解答題14．如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試用a、b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).[解析]連結(jié)CN，∵N是AB的中點(diǎn)，AB＝2CD，∴AN綊DC，∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b，又eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.15．若a、b都是非零向量，在什么條件下向量a＋b與a－b共線？[解析]因a、b都是非零向量，向量a＋b與a－b中至少有一個(gè)不為零向量，不妨設(shè)a＋b≠0.則由a＋b與a－b共線，知存在實(shí)數(shù)λ使a－b＝λ(a＋b)，∴(1－λ)a＝(1＋λ)b，∵a≠0且b≠0，∴λ≠±1，從而b＝eq\f(1－λ,1＋λ)a，從而a∥b.由上可知，當(dāng)a∥b時(shí)，a＋b與a－b共線．16．如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、AB邊上的點(diǎn)，eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求證：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)．[解析]因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－a－b)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)b＝eq\f(1,3)(b－a)．17．點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→)).[解析]如圖所示，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)EP，F(xiàn)P，在△ABC中，EP是與BC平行的中位線，∴eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，F(xiàn)P是與AD平行的中位線，∴eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))＝－eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(a＋b)．18．已知?ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)分別是M、N，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝a，eq\o(AN,\s\up6(→))＝b，試用a、b表示eq\o(AB,\s\up