人教數(shù)學A版選修《推理與證明》章末綜合訓練

選修2-22章末綜合訓練一、選擇題1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的過程應用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合使用D．以上都不是[答案]B[解析]所用方法符合綜合法的定義，故應選B.2．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0計算a2、a3，猜想an＝()A．nB．n2C．n3\r(n＋3)－eq\r(n)[答案]B[解析]當n＝1時，有(a2－a1)2－2(a2＋a1)＋1＝0又a1＝1，解之得a2＝4＝22，當n＝2時，有(a3－a2)2－2(a3＋a2)＋1＝0即aeq\o\al(2,3)－8a3＋9－2a3－8＋1＝0解之得a3＝9＝32，可猜想an＝n2，故應選B.3．異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是()A．兩條平行直線B．兩條相交直線C．一點與一直線D．同一條直線[答案]D[解析]若兩條直線在同一平面的射影是同一直線，則這兩條直線的位置關(guān)系為平行或相交或重合，這均與異面矛盾，故異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能為一條直線．故應選D.4．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代數(shù)式為()A．2k＋1B．2(2k＋1)\f(2k＋1,k＋1)\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]當n＝k時上式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3…·(2k－1)，當n＝k＋1時原式左邊為[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)所以由k增加到k＋1時，可兩邊同乘以2(2k＋1)．故應選B.5．設a、b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，則必有()A．a(chǎn)⊥bB．a(chǎn)∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|(zhì)b|[答案]A[解析]∵f(x)＝－abx2＋(a2－b2)x＋ab且f(x)的圖象為一條直線，∴a·b＝0即a⊥b，故選A.二、填空題6．對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“____________________________”，這個類比命題是________命題(填“真”或“假”)．[答案]夾在兩個平行平面間的平行線段相等；真[解析]類比推理要找兩類事物的類似特征，平面幾何中的線，可類比立體幾何中的面．故可類比得出真命題“夾在兩個平行平面間的平行線段相等”．7．推理某一三段論，其前提之一為肯定判斷，結(jié)論為否定判斷，由此可以推斷：該三段論的另一前提必為________判斷．[答案]否定[解析]當另一前提為肯定判斷時，結(jié)論必為肯定判斷，這不合題意，故應為否定判斷．8．如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有__________條，這些直線中共有f(n)對異面直線，則f(4)＝________________；f(n)＝______________.(答案用數(shù)字或n的解析式表示)[答案]eq\f(n(n＋1),2)12eq\f(n(n－1)(n－2),2)[解析]所有頂點所確定的直線共有棱數(shù)＋底邊數(shù)＋對角線數(shù)＝n＋n＋eq\f(n(n－3),2)＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(n(n＋1),2).從圖中能看出四棱錐中異面直線的對數(shù)為f(4)＝4×2＋eq\f(4×1,2)×2＝12，也可以歸納出一側(cè)棱對應底面三條線成異面，其中四條側(cè)棱應有4×3對異面直線．所以f(n)＝n(n－2)＋eq\f(n(n－3),2)×(n－2)＝eq\f(n(n－1)(n－2),2)或一條棱對應Ceq\o\al(2,n)－(n－1)＝eq\f((n－1)(n－2),2)對異面直線．故共有n·eq\f((n－1)(n－2),2)對異面直線．三、解答題9．(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程)．[解析](1)證明如下：設點P(x0，y0)，(x0≠±a)依題意，得A(－a,0)，B(a,0)所以直線PA的方程為y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a)令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a)同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a)所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0))又點P(x0，y0)在橢圓上，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，因此yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2,a2)(a2－xeq\o\al(2,0))所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0))＝b2因為eq\o(AN,\s\up6(→))＝(a，yN)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－a，yM)所以eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝－a2＋yMyN＝b2－a2.(2)－(a2＋b2)．10．用數(shù)學歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·eq\f(n(n＋1),2)(n∈N*)．[解析](1)當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0×eq\f(1×(1＋1),2)＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設n＝k(k∈N*)時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(k(k＋1),2).則當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(