人教A版探究簡單線性規(guī)劃問題整點(diǎn)最優(yōu)解的策略

探究簡單線性規(guī)劃問題整點(diǎn)最優(yōu)解的策略高中新課程必修五第三章重點(diǎn)介紹了簡單線性規(guī)劃問題，它是高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個基本內(nèi)容。整點(diǎn)最優(yōu)解問題又是簡單線性規(guī)劃的重要內(nèi)容，教材對于具體的驗(yàn)算過程沒有作過多的描述，導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中對于具體的驗(yàn)算過程掌握還不夠清晰。本人根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)了利用平移法來求整點(diǎn)最優(yōu)解的幾種具體的操作方法：交軌法、近似值法以及換元法。一交軌法該方法主要是在平移直線過程中，利用直線間的交點(diǎn)來縮小最優(yōu)值的存在范圍，其數(shù)學(xué)思想是聯(lián)立方程求解交點(diǎn)，然后確定最優(yōu)解可能的存在范圍。[例1]：要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使用所有鋼板數(shù)最少。（圖1）解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則x、y滿足約束條件：（圖1）目標(biāo)函數(shù)為?？尚杏蛉鐖D所示(圖1)作出一組平行直線:x+y=t，當(dāng)直線經(jīng)直線x+3y=27和2x+y=15的交點(diǎn)A(),z取得最小值,即：z=x+y=。而最優(yōu)解中x和y必須為整數(shù),故A不是最優(yōu)解,故將直線x+y=向上平移到x+y=12,最優(yōu)解可能存在于此直線上，最優(yōu)解必須在可行域內(nèi),故應(yīng)求出直線2x+y=15和x+3y=27與x+y=12的交點(diǎn)，，，交點(diǎn)坐標(biāo)為B(3,9),D()，故有：，這樣便更進(jìn)一步的縮小了x的范圍，即x=3或4，將其代入x+y=12，可得y=9或8，即（3，9）和（4，8）均為所求的最優(yōu)解?？梢钥吹嚼闷揭平卉壏ń忸}對于一般的簡單線性規(guī)劃問題都是適用的，步驟如下：1設(shè)出所求的未知數(shù)，列出約束條件,建立目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，確定平移直線,尋找非整最優(yōu)解；2聯(lián)立方程求交點(diǎn)確定x或y的范圍；3對x，y進(jìn)行整點(diǎn)搜索，并確定整點(diǎn)解。二換元法該方法仍然是以平移法為基礎(chǔ)，主要是利用換元來減少線性約束條件的元數(shù)，以得出參數(shù)的范圍，從而確定出變量x，y的取值，再來確定最優(yōu)解的可能值。[例2]某人有房子一幢，室內(nèi)面積共180m2，擬分隔成兩類房間作為游客住房。大房間每間面積為18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元；小房間每間面積為15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元。如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？分析：這類問題涉及物資的優(yōu)化運(yùn)用，在物資一定的條件下，要求獲利最大。設(shè)他應(yīng)隔出大房間x間，小房間y間，能獲得收益為z元。目標(biāo)函數(shù)：可行域如圖所示（圖2），作一組平行直線：4x+3y=t，這些直線中經(jīng)過B（）的直線與原點(diǎn)的距離最大。此時取最大值，z=200×+150×=。此時x，y均不為整數(shù)，故不是最優(yōu)解，因此要進(jìn)行調(diào)整。故因?qū)⒅本€4x+3y=37，向左下方平移，又z為整數(shù)，故應(yīng)平移至4x+3y=37（1），由（1）知y=，將其代入約束條件：可得≤x≤3。x為整數(shù)，則x=3，此時y為非整數(shù)，故在直線4x+3y=37時無最優(yōu)解，又向下方平移一個單位：4x+3y=36（2），由（2）知y=，將其代入約束條件：，可得0≤x≤4，x為整數(shù)則x=0，1，2，3或4，代入（2）求得它們對應(yīng)的y=12，，，8，。故可得最優(yōu)解有（0，12）和（3，8），此時z=1800。平移換元法對一般的簡單線性規(guī)劃問題也都適用，其一般步驟歸納如下：1設(shè)出所求的未知數(shù)，列出約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，確定平移直線，尋找非整最優(yōu)解；2由直線方程換元代入約束條件，并求變量范圍；3對x，y進(jìn)行整點(diǎn)搜索，并確定整點(diǎn)解。三近似值法該方法也是以平移直線為基礎(chǔ)，但它并非一步一步的平移，而是在非整點(diǎn)最優(yōu)解附近搜索，同時結(jié)合網(wǎng)格（并非所有網(wǎng)格都打出），直接找出附近的整點(diǎn)來減小搜索范圍，從而求出整點(diǎn)最優(yōu)解。下面以例2求解介紹此法。（圖3）分析：設(shè)他應(yīng)隔出大房間x間，小房間y間，（圖3）能獲得收益為z元。目標(biāo)函數(shù)：可行域如圖所示（圖3）。作直線：4x+3y=0，平移到B點(diǎn)時，z取得最大值，但B（）并非整點(diǎn)，故我們要進(jìn)一步來搜索。由于B（），我們利用B附近的網(wǎng)格，可在B附近找到A（2，9）、C（2，8）、D（3，8）這幾個整點(diǎn)。此時還必須從中選出一個最適合的點(diǎn)：z1=8+27=35;z2=8+24=32;z3=12+24=36。故在直線平移過程中，必先過D點(diǎn)，因此兩點(diǎn)被淘汰，故過D作直線：4x+3y=36此后，必需檢驗(yàn)陰影區(qū)域內(nèi)有無整點(diǎn)。經(jīng)檢驗(yàn)無整點(diǎn)。故直線4x+3y=36上必存在最優(yōu)整點(diǎn)解。利用網(wǎng)格知：（0，12），（3，8）為最優(yōu)整點(diǎn)解。平移近值法可以克服在前兩種方法中有可能要多次平移找解的缺陷，適用范圍廣泛。其一般步驟歸納如下：1設(shè)出所求的未知數(shù)，列出約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)作出可行域；2尋找非整點(diǎn)最優(yōu)解A，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)在其附近尋找最近的整點(diǎn)B；3過B作平移直線，通過直線確定較小的搜索