2017-2018學年高中數(shù)學必修4全冊學案含解析人教A版

2017^2018學年人教A版高中數(shù)學

必修4全冊學案解析

目錄

令第一章三角函數(shù)i.i.i任意角

令第一章三角函數(shù)1.1.2蝗制

令第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時三角函數(shù)的定

義

令第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)第二課時三角函數(shù)線及

其應用

令第一章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系

令第一章三角函數(shù)1.3三角函數(shù)的誘導公式一

令第一章三角函數(shù)1.3三角函數(shù)的誘導公式二

令第一章三角函數(shù)1.4.1正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象

令第一章三角函數(shù)L4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質一

令第一章三角函數(shù)1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質二

令第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質與圖象

令第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinwx+(p的圖象一

令第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinwx+(p的圖象二

令第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡單應用

令第二章平面向■2.1平面向■的實際背景及基本概念

令第二章平面向■2.2.1向■加法運算及其幾何意義

令第二章平面向■2.2.2向■減法運算及其幾何意義

令第二章平面向■2.2.3向■數(shù)乘運算及其幾何意義

令第二章平面向■2.3.1平面向■基本定理

令第二章平面向■2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3.3平

面向■的坐標運算

令第二章平面向■2.3.4平面向■共線的坐標表示

令第二章平面向■2.4.1平面向?數(shù)■積的物理背景及其含義

令第二章平面向,2.4.2平面向?數(shù)■積的坐標表示模夾角

令第二章平面向,2.5平面向?應用舉例

令第三章三角恒等變換3.1.1兩角差的余弦公式

令第三章三角恒等變換3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式1

令第三章三角恒等變換3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式2

令第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

令第三章三角恒等變換3.2簡單的三角恒等變換

1.1.1任意角

層析教材，新知無師自通

知識點,角的分類

7

［提出問題］

問題1:當鐘表慢了(或快了)，我們會將分針按某個方向轉動，把時間調整準確.在調

整的過程中，分針轉動的角度有什么不同？

提示：旋轉方向不同.

問題2：在體操或跳水比賽中，運動員會做出“轉體兩周”“向前翻騰兩周半”等動作,

做上述動作時，運動員分別轉體多少度？

提示：順時針方向旋轉了720°或逆時針方向旋轉了720°,順時針方向旋轉了900°.

［導入新知］

角的分類

1.按旋轉方向

名稱定義圖形

正角按逆時針方向旋轉形成的角上

負角按順時針方向旋轉形成的角

零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角-----A⑻

2.按角的終邊位置

(1)角的終邊在第幾象限，則稱此角為第幾象限角;

(2)角的終邊在坐標軸上,則此角不屬于任何一個象限.

［化解疑難］

1.任意角的概念

認識任意角的概念應注意三個要素：頂點、始邊、終邊.

(1)用旋轉的觀點來定義角，就可以把角的概念推廣到任意角，包括任意大小的正角、

負角和零角.

(2)對角的概念的認識關鍵是抓住“旋轉”二字.

①要明確旋轉方向；

②要明確旋轉角度的大小；

③要明確射線未作任何旋轉時的位置.

2.象限角的前提條件

角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.

1

知識點二終邊相同的角

［提出問題］

在條件“角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合”下，研究下列角：30°,

390°,-330°.

問題1：這三個角的終邊位置相同嗎？

提示：相同.

問題2：如何用含30°的式子表示390°和-330°?

提示：390°=1X360°+30°,-3300=-1X3600+30°.

問題3：確定一條射線防，以它為終邊的角是否唯一？

提示：不唯一.

［導入新知］

終邊相同的角

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內，可構成一個集合S=

{切戶=a+h360°,4GZ},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)

個周角的和.

［化解疑難］

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內可以用式子360°+a,AdZ表示，在

運用時需注意以下幾點.

(1)A是整數(shù)，這個條件不能漏掉.

(2)a是任意角.

(3)公360°與a之間用“+”連接，如4?360°—30°,A6Z應看成4?360°

+(-30°),AGZ.

(4)終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍；相等

的角終邊一定相同.

i0j頌3

象限角的判斷

［例1］已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在X軸的非負半軸上，作出下列各角,

并指出它們是第幾象限角.

(1)-75°；(2)855°；(3)-510°.

［解］作出各角，其對應的終邊如圖所示：

2

(1)由圖①可知：一75°是第四象限角.

(2)由圖②可知:855°是第二象限角.

(3)由圖③可知：-510°是第三象限角.

［類題通法］

象限角的判斷方法

(1)根據(jù)圖形判定，在直角坐標系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象

限角.

(2)根據(jù)終邊相同的角的概念把角轉化到0°?360。范圍內，轉化后的角在第幾象限，

此角就是第幾象限角.

［活學活用］

在直角坐標系中，作出下列各角，在0°?360°范圍內，找出與其終邊相同的角，并

判定它是第幾象限角.

(1)360°；(2)720°；(3)2012°；(4)-120°.

解：如圖所示，分別作出各角，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)360°=0°+360°,(2)720°=0°+2X360°,因此，在0°?360°范圍內，這

兩個角均與0°角終邊相同.所以這兩個角不屬于任何一個象限.

(3)2012°=212°+5X360°,所以在0°~360°范圍內，與2012°角終邊相同的

角是212°,所以2012°是第三象限角.

(4)-120°=240°-360°,所以在0°~360°范圍內，與一120°角終邊相同的角是

240°,所以一120°是第三象限角.

呼終邊相同的角解風

［例2］(1)寫出與。=一1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式一

720°W￡V360°的元素萬寫出來.

(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合.

3

y=0x

y--x

①②

(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.

［解］⑴與角。=—1910°終邊相同的角的集合為

{￡|￡=一1910°+人360°,Aez}.

■720°W-V360。,

...一720°W-19100+k>360°<360°,

3636

故k=4,5,6.

4=4時，B=_\910°+4X360°=-470°.

〃=5時，￡=一19100+5X360°=一110°.

A=6時，￡=一1910°+6X360°=250°.

(2)①在0°-360°范圍內，終邊在直線y=0上的角有兩個，即0°和180°,因此，

所有與0°角終邊相同的角構成集合S={B|￡=0°+"?360。，AeZ},而所有與180°

角終邊相同的角構成集合W={￡|￡=180°+"?360°,kWZ},于是，終邊在直線y=0

上的角的集合為5=61)￡={0尸=八180°,ACZ}.

②由圖形易知，在0°?360°范圍內，終邊在直線y=-x上的角有兩個，即135°和

315°,因此，終邊在直線尸一x上的角的集合為5={尸|萬=135°+4?360°,AGZ}U

{fi\^=315°360°,4GZ}={萬|￡=135°+A?180°,k^Z}.

③終邊在直線y=x上的角的集合為{￡|￡=45°+A?180°,4GZ},結合②知所求角

的集合為5={￡|￡=45°+A?180°，4CZ}U{￡|萬=135°+A?180°,4dZ}={^|￡

=45°+2A-90°,RWZ}U{￡|￡=45°+(2A+1)-90°,Z}={￡I￡=45°+

4?90°,A-GZ).

⑶終邊落在如位置上的角的集合為{a|a=90°+45°+八360°,AGZ}={a1?

=135°+A?360°,A6Z},

終邊落在切位置上的角的集合為{￡|￡=-30°+八360°,ASZ},

故陰影部分角的集合可表示為{a1—30°+A-360°WaW135°+A?360°,AeZ).

［類題通法］

4

1.常用的三個結論

(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.

(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.

(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.

2.區(qū)域角是指終邊落在坐標系的某個區(qū)域的角，其寫法可分三步

(1)先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界：

(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角a,￡,寫出所有與a,足終邊

相同的角；

(3)用不等式表示區(qū)域內的角，組成集合.

［活學活用］

1.將下列各角表示為<z+A-360°(Aez,o°Wa<360。)的形式，并指出是第幾象

限角.

(1)420°；(2)-495°；(3)10200.

答案：(1)420°=60°+360°第一象限角

(2)-495°=225°-2X360°第三象限角

(3)1020°=300°+2X360°第四象限角

2.已知角a的終邊在如圖所示的陰影部分內，試指出角a的取值范圍.

題型三確定〃。吟所在的象限

［例3］若。是第二象限角，則2。，￡■分別是第幾象限角？

［解］(1)：。是第二象限角，

/.90°+k>3600<a<180°+八360°(AGZ),

，180°+k'720°<2a<360°+k-720°(AEZ),

???2a是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.

(2)Va是第二象限角，

.,.90°360°<a<180°360°(%GZ),

5

a

???45。+4780。<y<90°+A*180°(MZ).

①當4=2〃(〃￡Z)時，

45°+n?3600<y<90°+/;?360°(AGZ),

a

即了是第一象限角；

②當A=2"+1(〃WZ)時，

a

225°+n-360°<y<270°+n?360°(〃GZ),

a

即萬是第三象限角.

a

故萬是第一或第三象限角.

［類題通法］

1.na所在象限的判斷方法

確定〃。終邊所在的象限，先求出的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可.

2.?所在象限的判斷方法

已知角。所在象限，要確定角5■所在象限，有兩種方法：

a

(1)用不等式表示出角一的范圍，然后對〃的取值分情況討論：被〃整除；被〃除余1;

n

被“除余2；……；被〃除余〃一1.從而得出結論.

(2)作出各個象限的從原點出發(fā)的〃等分射線，它們與坐標軸把周角分成4〃個區(qū)域.從

x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4〃個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4.標號為幾的區(qū)域，就

aa

是根據(jù)a終邊所在的象限確定一的終邊所落在的區(qū)域.如此，一所在的象限就可以由標號

nn

區(qū)域所在的象限直觀地看出.

［活學活用］

已知角a為第三象限角，試確定角2。，?分別是第幾象限角.

答案：2?？赡苁堑谝幌笙藿?、第二象限角或終邊在y軸非負半軸上的角孩?可能是第

二象限角或第四象限角

修補短板，拉分題一分不丟

6

金尊系列,

偏翹四/

1.角的概念的易錯點

［典例］下列說法中正確的是()

A.三角形的內角必是第一、二象限角

B.第一象限角必是銳角

C.不相等的角終邊一定不相同

D.若￡=0+★?360°(AGZ),則。和￡終邊相同

［解析］90°角可以是三角形的內角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限

角，但它不是銳角；390°角和30°角不相等，但終邊相同，故A、B、C均不正確.對于D,

由終邊相同的角的概念可知正確.

［答案］D

［易錯防范］

1.若三角形是直角三角形，則有一個角為直角，且直角的終邊在y軸的非負半軸上，

不屬于任何象限.若忽視此點，則易錯選A.

2.銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角，如380°角為第一象限角，但它

不是銳角.若混淆這兩個概念，則易誤選B.

3.當角的范圍擴充后，相差人360。JeZ)的角的終邊相同.若忽視此點，易錯選C.

4.解決好此類問題應注意以下三點：

(1)弄清直角和象限角的區(qū)別，把握好概念的實質內容.

(2)弄清銳角和象限角的區(qū)別.

(3)對角的認識不能僅僅局限于0°?360°.

［成功破障］

下列說法：

①銳角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是負角；

③第二象限角大于第一象限角；

④第二象限角是鈍角；

⑤小于180°的角是鈍角、直角或銳角.

其中正確命題的序號為.

答案：①

10回屈,嗨自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

7

1.把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角的大小是（）

A.120°B.-120°

C.240°D.-240°

答案：D

2.與一457。角的終邊相同的角的集合是（）

A.{a|0=457°+A*360°,AGZ）

B.{。|a=97°+^?360°,AeZ}

C.{a|a=263°+%?360°,AGZ}

D.{。|。=一263°360°,AGZ}

答案：C

3.下列說法中正確的序號有.

①一65°是第四象限角；②225°是第三象限角；

③475。是第二象限角；④一315°是第一象限角.

答案：①②③④

4.在0°-360°范圍內與一1050°終邊相同的角是,它是第象限

角.

答案：30。一

5.試寫出終邊在直線y=fx上的角的集合S,并把S中適合不等式一

180°Wa<180°的元素a寫出來.

答案：S={a|a=120°+A?180°,k^Z}適合不等式一180°Wa<180°的元素

a為一60°,120°

［課時達標檢測］

一、選擇題

1.-435°角的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：D

2.終邊在第二象限的角的集合可以表示為（）

A.{a|90°<^<180°}

B.{a|90°+k-180°<ff<180°+k>180°,AGZ}

C.{o|-2700+A*1800<<7<-180°180°,AGZ}

D.{a|-270°+4?360°<o<-180°+A-360°,AeZ}

答案：D

3.若a是第四象限角，則一a一定是（）

8

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：A

4.集合1。=4?90°,MZ｝中各角的終邊都在（）

A.x軸非負半軸上

B.y軸非負半軸上

C.x軸或y軸上

D.x軸非負半軸或y軸非負半軸上

答案：C

5.角a與角￡的終邊關于y軸對稱，則。與￡的關系為（）

A.。+￡="?360°,kQZ

B.。+￡=4?360°+180°,ACZ

C.。一￡="?360°+180°,AeZ

D.。一￡=360°，kJZ

答案：B

二、填空題

6.已知角。=一3000°,則與角。終邊相同的最小正角是.

答案：240°

7.如果將鐘表撥快10分鐘，則時針所轉成的角度是度，分針所轉成的角度是

________度.

答案：一5-60

8.已知角2。的終邊在x軸的上方，那么。是第象限角.

答案.一或二

三、解答題

9.如果。為小于360。的正角，這個角。的4倍角的終邊與這個角的終邊重合，求

8的值.

解：由題意得40=360°,AeZ,

A36=k-360°,9=k-120°,

又0°V，V360°,；.。=120°或，=240°.

10.已知a,￡都是銳角，且。+￡的終邊與一280°角的終邊相同，a-￡的終邊

與670°角的終邊相同，求角a,力的大小.

解：由題意可知，

a+￡=-280°+A*360°,AGZ.

Va,￡都是銳角，，0°<。+￡<180°.

9

取A=l,得。+￡=80°.①

a-￡=670°+%?360°,"GZ,

「a,￡都是銳角，

.*.-90°<a-j?<90°.

取衣=一2,得a—￡=一50°.②

由①得a=15°,￡=65°.

［能痂提硼題

11.寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內的角的集合.

解：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區(qū)域角，則得

(1){a|30°+4?360°Wa<150°+A?360°,AGZ}；

(2){a|1500+4?360°WaW390°+4?360°,AEZ).

10

1.1.2弧度制

層析教材，新知無師自通

知識點,角度制與弧度制

7

［提出問題］

問題1：在角度制中，把圓周等分成360份，其中的一份是多少度？

提示：1°.

問題2：半徑為1的圓的周長是2n,即周長為2n時，對應的圓心角是360°,那么

弧長為人時，對應的圓心角是多少？

提不：180°.

問題3：在給定半徑的圓中，弧長一定時，圓心角確定嗎？

提示：確定.

［導入新知］

1.角度制與弧度制

(D角度制

①定義：用度作為單位來度量角的單位制.

②1度的角：周角的總作為一個單位.

oOU

(2)弧度制

①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角.

2.任意角的弧度數(shù)與實數(shù)的對應關系

正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是。

3.角的弧度數(shù)的計算

如果半徑為r的圓的圓心角。所對弧的長為/,那么，角。的弧度數(shù)的絕對值是|

_7

f

［化解疑難］

角度制和弧度制的比較

(1)弧度制與角度制是以不同單位來度量角的單位制.

(2)1弧度的角與1度的角所指含義不同，大小更不同.

(3)無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個與“半徑”大

小無關的值.

(4)用“度”作為單位度量角時，“度”(即”)不能省略，而用“弧度”作為單位

11

度量角時，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫.

知識點二角度與弧度的換算

［提出問題］

問題1：周角是多少度？是多少弧度？

提不：360°,2n.

問題2：半圓所對的圓心角是多少度？是多少弧度？

提示：180°,n.

問題3：既然角度與弧度都是角的度量單位制，那么它們之間如何換算？

提示：n=180°.

［導入新知］

1.弧度與角度的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=2nrad2五rad=360°

180°=j_radnrad=180°

1rad=（攀）*=57.30°

1--rad^O.01745rad

loOlAl

2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

JIn2-3n5Ji

nnn

弧度0TTT~2

［化解疑難］

角度與弧度互化的原則和方法

(1)原則:牢記180°=>rad,

充分利用1°=7777rad,

LoU

1rad=(粵)進行換算.

(2)方法:

設一個角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為",

（180、n

則arad=.小。；rad.

知識點三弧度制下的扇形的弧長及面積公式

［導入新知］

扇形的弧長及面積公式

12

設扇形的半徑為此弧長為/,。(0<a<2頁)為其圓心角，則

a為度數(shù)a為弧度數(shù)

kaR

扇形的弧長I—1801=aR

naR11o

扇形的面積S~360S=-1R=-o#

［化解疑難］

扇形的弧長及面積公式的記憶

(1)扇形的弧長公式的實質是角的弧度數(shù)的計算公式的變形：Ia\=^l=r\

(2)扇形的面積公式5=權力與三角形的面積公式極為相似(把弧長看作底，把半徑看作

高)，可以類比記憶.

鎖定考向，考題千變不離其宗

角度與弧度的換算

［例1］把下列角度化成弧度或弧度化成角度:

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)

解⑴72。=72X孟號

JI

(2)-300°--300X—

loU

⑶2=2-)。=(哪;

［類題通法］

角度與弧度互化技巧

在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式nrad=180°是關鍵，由它可以得到：度數(shù)

五1

乂演=弧度數(shù)，弧度數(shù)Xk=度數(shù).

［活學活用］

H。=爸，試比較。

已知［=15°,￡=而，/=1，。=105°a,B,y,?,

的大小.

答案：r<0=(/>

13

題型二扇形的弧長公式及面積公式的應用

［例2］(1)己知扇形的周長為8cm,圓心角為2,則扇形的面積為cm2.

(2)已知一半徑為A的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的圓心角是多少弧

度？面積是多少？

［解］(1)4

(2)設扇形的弧長為/,由題意得2羽"=2斤+/,所以/=2(n—1)此所以扇形的圓心

角是，=2(n—1),

扇形的面積是沙

［類題通法］

弧度制下涉及扇形問題的攻略

(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S=?r=Ja尸(其中/是扇形的弧長，r是扇形

的半徑，。是扇形的圓心角).

(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求

哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.

注意：運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是。為弧度.

［活學活用］

已知扇形的周長是30cm,當它的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？

最大面積是多少？

15225

答案：cm時，a=2,扇形面積最大，最大面積為一廠cm：

題型三,用弧度制表示角的集合

[例3]用弧度表示終邊落在下列各圖所示陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.

⑴如題圖①，???330°角的終邊與一30。角的終邊相同,將一30°化為弧度,即

n

兀5兀

而75°=75'麗=五'

14

???終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為

n5n

02ke-丁＜。＜2左nkQZ

⑵如題圖②，V30-=f,210。=等,這兩個角的終邊所在的直線相同，因此終邊

在直線4?上的角為。kRZ,

o

又終邊在y軸上的角為燈十方，kRZ,

從而終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為

71頁

0k-si+—<+—>kHk

bZ

［類題通法］

用弧度制表示角應關注的三點

（1）用弧度表示區(qū)域角，實質是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應用，必要時需進行角度

與弧度的換算.注意單位要統(tǒng)一.

（2）在表示角的集合時，可以先寫出一周范圍（如一“?"，。?2”）內的角，再加上

2kw,A-GZ.

（3）終邊在同一直線上的角的集合可以合并為｛x|x=。+4其，A￡Z）;終邊在相互垂直

JI

的兩直線上的角的集合可以合并為卜X=a+在?5，kUL?.

在進行區(qū)間合并時，一定要做到準確無誤.

［活學活用］

以弧度為單位，寫出終邊落在直線尸一X上的角的集合.

3

答案：aa=-TI+AJI,kRZ

修補短板，拉分題一分不丟

等母令系列

度全^如^

1.弧度制下的對稱關系

［典例］若角a的終邊與角卷的終邊關于直線尸入對稱，且。6（—4-4”）,則

a=

15

［解析］如圖所示，設角《的終邊為以，/關于直線y=x對稱的射線為陽,

0

則以如為終邊且在0至I」2n之間的角為2,

O

JI

故以仍為終邊的角的集合為aa=—+2kn,kEL.

o

?/a￡(-4n,4n),

A-4IT<^~+2kn<4Ji(AeZ),

o

*吟(AGZ).

VAGZ,

:.k=-2,-1,0,1,

11n5nn7/

?n=--------——-----

??3'3'3'3.

11n5nn7n

［答案］"I-'—亍‘勺'T

［多維探究］

在弧度制下，常見的對稱關系如下

(1)若。與萬的終邊關于x軸對稱，貝|Ja+￡=2An(AGZ)；

(2)若。與月的終邊關于y軸對稱，則。+萬=(24+1)”(AGZ)；

(3)若a與￡的終邊關于原點對稱，則a—￡=(2幺+1)n(ASZ)；

(4)若。與萬的終邊在一條直線上，則a-B=k"UeZ).

［活學活用］

1.若a和萬的終邊關于x軸對稱，則a可以用B表示為()

A.2左n+￡(AreZ)

B.2kn-P(A￡Z)

C.An+￡(ASZ)

D.kx—。Jez)

答案：B

2.在平面直角坐標系中，。=一《，￡的終邊與。的終邊分別有如下關系時，求￡.

16

⑴若a,￡的終邊關于x軸對稱；

⑵若。，￡的終邊關于y軸對稱；

（3）若。，￡的終邊關于原點對稱；

（4）若。，￡的終邊關于直線x+y=O對稱.

2n

答案：（1）,ASZ

H

⑵￡=一~—+2kn,AGZ

o

(3)fi=—+2kn,kH

o

JI

⑷￡一+2"'AGZ

1sl血屈自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.下列命題中，錯誤的是（）

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.1°的角是周角的含，1rad的角是周角的上

obUNH

C.1rad的角比1°的角要大

D.用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關

答案：D

2.若。=-2rad,則a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：C

3.-135°化為弧度為,竽化為角度為

O

3

答案：一工兀660°

4.已知半徑為12cm,弧長為8ncm的弧，其所對的圓心角為a,則與角。終邊相

同的角的集合為.

答案："=弓"+2后，Asz}

3n

5.設角。=一570°,^=—

17

(D將。用弧度制表示出來，并指出它所在的象限；

(2)將￡用角度制表示出來，并在一720°?0。之間找出與它有相同終邊的所有角.

19H

答案：(1)——0在第二象限;

(2)￡=108°；在一720°~0°之間與￡有相同終邊的角的大小為一612°和一252°.

［課時達標檢測］

一、選擇題

1.下列命題中，正確的是()

A.1弧度是1度的圓心角所對的弧

B.1弧度是長度為半徑長的弧

C.1弧度是1度的弧與1度的角之和

D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角

答案：D

2.1920°化為弧度數(shù)為()

1632

A.~B

o-T

l_6n32n

D.『

3o

答案：D

3.系是()

6

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角I).第四象限角

答案：B

4.圓弧長度等于其所在圓內接正三角形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為()

JT2兀

A.~B

o-T

C.小D.2

答案：C

5.集合A{。WaW(2A+l)n,AGZ},g{a|-4W。?4},則尸00等于()

A.0

B.{a|—4WQW—n,或OWaW五}

C.{a|—4<a這4}

D.{a|0W。Wn}

答案：B

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二、填空題

6.用弧度制表示終邊落在x軸上方的角的集合為.

答案：｛a+貝，AGZ)

7.如果一個圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，則該弧所對的圓心角是

原來的倍.

答案：3

8a

8.若角。的終邊與三人的終邊相同，則在［0,2句上，終邊與丁的終邊相同的角有

□4

田生2n9n7n19n

答案：V'元‘V'To"

三、解答題

9.已知。=一800°.

(1)把a改寫成￡+2An(AGZ,0W￡〈2n)的形式，并指出a是第幾象限角；

(2)求Y，使7與。的終邊相同，且一"I",+).

14

解：(1)V-8000=-3X360°+280°,280°=—n,

14n

二a=-800°=-r—+(-3)X2n.

y

14n

：。與角二一終邊相同，。是第四象限角.

y

14JT

⑵???與。終邊相同的角可寫為24n+飛一，4￡Z的形式，而了與。的終邊相同,

14n

Jy=2k”+—^―,km.

(JiJiAn14Jin

又一")，句，,一萬＜2衣兀+-^―〈萬，kRZ,

入14n4n

解得"=一1,；./=—2n+—^―=——.

10.如圖，動點只0從點4(4,0)出發(fā)，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉T■弧

n

度，點。按順時針方向每秒鐘附弧度，求R。第一次相遇時所用的時間及R。點各自走

19

過的弧長.

JIJT

解：設只。第一次相遇時所用的時間是力，則力?三?+小一"r=2五，

O6

所以t=4(s),

即R0第一次相遇時所用的時間為4s.

尸點走過的弧長為F4-兀X4=一161”，0點走過的弧長為一2廣兀義4=8彳幾

JJJJ

11.如圖，已知扇形的圓心角為120。，半徑長為6,求弓形1力的面積.

。1202

解：7120°=777"=-n,

loUo

2

/.7=6X-n=4Ji,

AB的長為4n.

如圖所示，作勿_L力昆有8〃姐義切=^><2X6cos30°X3=9小.

S弓形〃A=S扇形OAB_S^aw—12n

???弓形力"的面積為12n-9^3.

20

1.2.1任意角的三角函數(shù)

第一課時三角函數(shù)的定義

層析教材，新知無師自通

知識點一

［提出問題］

使銳角。的頂點與原點。重合，始邊與X軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點只

RMLx軸于M設尸(x,y),\OP\-r.

問題1：角。的正弦、余弦、正切分別等于什么？

提?。簊inacosatana

rrx

問題2：對于確定的角a,sina,cosa,tana是否隨P點在終邊上的位置的改

變而改變？

提示：否.

問題3：若|。|=1,則尸點的軌跡是什么？這樣表示sina,cosa,tan。有何優(yōu)

點？

提示：一點的軌跡是以原點。為圓心，以1為半徑的單位圓，即夕點是單位圓與角。

終邊的交點，在單位圓中定義sina,cosa,tan。更簡便.

［導入新知］

1.任意角三角函數(shù)的定義

(1)單位圓：在直角坐標系中，以原點。為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓.

(2)單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義：設。是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點

P(x,y),那么匕叫做a的正弦，記作sina,即sin。=匕工叫做a的余弦，記作cos

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2.三角函數(shù)

正弦、余弦、正切都是以更為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函

數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).

［化解疑難］

對三角函數(shù)定義的理解

(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個

比值的集合的對應.

(2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍.

(3)三角函數(shù)是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小與點P(%y)在終邊上的位置無關,

只由角。的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關.

知識點三

［提出問題］

問題1:若角。是第二象限角，則它的正弦、余弦和正切值的符號分別怎樣？

提示：若角。為第二象限角，則x<0,y>0,sina>0,cosa<0,tana<0.

問題2：當角。是第四象限角時，它的正弦、余弦和正切值的符號分別怎樣？

提示：sina<0,cosa>0,tana<0.

問題3：取角。分別為30°,390。，-330°,它們的三角函數(shù)值是什么關系？為什

么？

提示：相等.因為它們的終邊重合.

問題4：取。=90°,-90°時，它們的正切值存在嗎？

提示：不存在.

［導入新知］

1.三角函數(shù)的定義域

2.三角函數(shù)值的符號

cosatana

［化解疑難］

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巧記三角函數(shù)值的符號

三角函