2023年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)第10講復(fù)數(shù)的概念Word版

第10講復(fù)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程和方法．2、研究復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)的模考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位數(shù)叫做虛數(shù)單位，它的平方等于，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；②可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．2、復(fù)數(shù)的概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)．3、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)（）若b=0，則a+bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．分類如下：（）用集合表示如下圖：4、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集．）5、共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．知識(shí)點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即：如果，那么特別地：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣．根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大?。绻麅蓚€(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大??；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小．知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：如圖所示，復(fù)數(shù)（）可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸．知識(shí)點(diǎn)詮釋：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．3、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)．設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（），向量由點(diǎn)唯一確定；反過來，點(diǎn)也可以由向量唯一確定．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)平面向量這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義．4、復(fù)數(shù)的模設(shè)（），則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模，記作．即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小．②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，并且他們的模相等．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念例1．（2022·全國·高一）若（）為實(shí)數(shù)，（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，，則，，間的關(guān)系為（）A． B． C． D．例3．（2022·貴州·沿河民族中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x?y為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)等于2？例5．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知復(fù)數(shù)，若，則___________.考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義例6．（2022·山西懷仁·高三期末（文））復(fù)數(shù)z滿足，則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．例7．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A． B． C． D．考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)的模例8．（2022·河南洛陽·一模（理））已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1例9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為6，則復(fù)數(shù)z為______．考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題例10．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.例11．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=__________.【真題演練】1．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·高考真題）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A． B．1 C． D．33．（2007·北京·高考真題（文））當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2007·全國·高考真題（文））在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2007·北京·高考真題（理））已知，且．若，則的最大值是（）A．6 B．5 C．4 D．36．（2007·全國·高考真題（理））復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)滿足，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形是（）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．雙曲線.7．（2007·全國·高考真題（理））已知，，則z等于（）A． B． C． D．8．（2007·北京·高考真題（理））當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2007·海南·高考真題（文））i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．10．（2007·全國·高考真題（文））已知實(shí)數(shù)m滿足，求m及x的值．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022·上海市大同中學(xué)高一期末）已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．02．（2022·廣東·陽江市第三中學(xué)高一期末）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2022·浙江·高一期中）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2022·福建省福州格致中學(xué)高一期末）設(shè)，復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．3或 B．3 C．或 D．5．（2022·江蘇蘇州·高一期末）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．96．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．7．（2022·全國·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)z滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（2022·天津西青·高一期末）已知復(fù)數(shù)①在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)；②復(fù)數(shù)的虛部為；③復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為；④；⑤復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·全國·高一單元測(cè)試）下列關(guān)于的說法中正確的有（）A．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離 B．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離C．表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 D．表示坐標(biāo)為的向量的模10．（2022·全國·高一單元測(cè)試）下列說法中正確的有（）A．若，則是純虛數(shù)B．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)C．若，則為實(shí)數(shù)D．若，且，則11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，且，則等于（）A．4 B． C．2 D．012．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)，（R），對(duì)應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）A． B．若，則C．若，則 D．若，則的最大值為三、填空題13．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一期中）復(fù)數(shù)z的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2，則復(fù)數(shù)_______________.14．（2022·黑龍江·望奎縣第一中學(xué)高一期末）若復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則m的取值范圍是_______.15．（2022·上海市朱家角中學(xué)高一期末）若，且，則的最大值是_______．16．（2022·全國·高一）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值是___________.四、解答題17．（2022·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于實(shí)軸負(fù)半軸上（不含原點(diǎn)）；(3)在上半平面（含實(shí)軸）．18．（2022·甘肅蘭州·高一期末）在復(fù)平面內(nèi)A，B，C的對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為．(1)求；(2)判定的形狀．19．（2022·上海市第十中學(xué)高一期末）已知復(fù)數(shù)（）.試求實(shí)數(shù)分別為什么值時(shí)，分別為：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).20．（2022·天津·高一期末）已知復(fù)數(shù)z=m