《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》第1課時(shí)示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.能推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.記住等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.3.能運(yùn)用公式進(jìn)行求和.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】問題1：閱讀課本，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．（2）數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材.在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力.發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng).設(shè)計(jì)意圖：通過閱讀讀本，讓學(xué)生明晰本階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．問題2：據(jù)說，200多年前，高斯（高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻(xiàn).）的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…＋100=？你準(zhǔn)備怎么算呢？師生活動(dòng)：學(xué)生計(jì)算答案并說明做法．預(yù)設(shè)的答案：高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=10150=5050．問題3：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考后發(fā)表看法.設(shè)計(jì)意圖：通過回顧歷史中高斯小故事，提出等差數(shù)列求和問題.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【探究新知】知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…前100項(xiàng)的和問題.我們知道：等差數(shù)列中，下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)和相等.設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at可得：a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51問題4：你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋…＋101嗎？你能計(jì)算1＋2＋3＋…＋n嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表講解，教師完善.預(yù)設(shè)的答案：需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋…＋n=.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，分類與整合、數(shù)學(xué)結(jié)合等思想方法，感受等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).問題5：不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表講解，教師完善.預(yù)設(shè)的答案：將上述兩式相加，得所以.設(shè)計(jì)意圖：通過高斯算法，循序漸進(jìn)的讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“下標(biāo)和相等，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)和相等”的特征，為等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的“倒序相加法”做好鋪墊.問題6：上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論，教師完善.預(yù)設(shè)的答案：①②①+②∵∴2Sn=n(a1+由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，有（公式2）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用類比，歸納的思想總結(jié)出求和方法.通過推導(dǎo)過程，讓學(xué)生理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.方法總結(jié)：1.公式也可以這樣證得：設(shè)有等差數(shù)列：公差為，前項(xiàng)和為，則；.將兩式分別相加，得：，Sn=由此得到等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式.2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式3.公式的記憶：我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：用上、下底分別為a1、an，高為n的梯形的面積來記憶公式1：，用上、下底分別為a1、an，高為n的梯形的面積來記憶公式1.【鞏固練習(xí)】例1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（1）若a1=7,a50=101,求S50；（2）若a1=2,,求S10；（3）若，Sn=-5，求n；師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師完善規(guī)范解題.預(yù)設(shè)的答案：（1）因?yàn)閍1=7,a50=101,根據(jù)公式可得;（2）因?yàn)閍1=2,,所以,根據(jù)公式可得;（3）把，Sn=-5，代入，得,,解得n=12或n=-5,所以n=12.設(shè)計(jì)意圖：通過該例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的理解.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).方法總結(jié)：等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時(shí)注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式結(jié)合使用．例2已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表板演，教師完善規(guī)范解題.預(yù)設(shè)的答案：由題意知，S10=310，S20=1220，把它們代入公式，得解方程組，得.所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的理解.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).方法總結(jié)：求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行處理，1.“知三求一”：a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，都含有四個(gè)量，已知其中的三個(gè)可求出第四個(gè).2.“知三求二”：五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程組求解.追問1：可以計(jì)算前30項(xiàng)的和嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表板演，教師完善規(guī)范解題.預(yù)設(shè)的答案：由前面可知，所以.追問2：S10=310，S20-S10=910，S30-S20=1510，可以發(fā)現(xiàn)S10，S20-S10，S30-S20成等差數(shù)列，你能得出什么一般性結(jié)論？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表給出結(jié)論，教師完善規(guī)范解題.預(yù)設(shè)的答案：等差數(shù)列中，前n項(xiàng)的和是Sn，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列.證明如下：因?yàn)?，，，所以，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列.設(shè)計(jì)意圖：通過例題的延伸，讓學(xué)生推出等差數(shù)列前n項(xiàng)的和的一個(gè)性質(zhì).結(jié)論：等差數(shù)列中，均勻分段和仍成等差數(shù)列，這是等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì).即等差數(shù)列中，前n項(xiàng)的和是Sn，則仍成等差數(shù)列，公差為（為確定的正整數(shù)）.例3在等差數(shù)列中，，，求師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表板書，教師完善規(guī)范解題.預(yù)設(shè)的答案：法一：設(shè)該等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，則，所以，．法二：在等差數(shù)列中，,－,－,……,－,－,成等差數(shù)列，∴新數(shù)列的前10項(xiàng)和＝原數(shù)列的前100項(xiàng)和，10＋·D＝＝10,解得D＝－22∴－＝＋10×D＝－120,∴＝－110.設(shè)計(jì)意圖：通過本題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式以及性質(zhì)的理解.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).方法總結(jié)：對(duì)于等差數(shù)列中的問題，常用方法是基本量法和利用性質(zhì)，一般能用性質(zhì)的，就使用性質(zhì)比較快捷.設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計(jì)：等差數(shù)列的概念（2）一、探索新知二、初步應(yīng)用1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例1知識(shí)講解1：例22．總結(jié)概括：課堂小結(jié)：1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)--倒序相加法；2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的記憶與應(yīng)用；公式1：；公式2：師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．【目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)】1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．11設(shè)計(jì)意圖：通過該題進(jìn)一步鞏固等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式.2.等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.設(shè)計(jì)意圖：通過該題進(jìn)一步鞏固等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì).3．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a