五年級下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教材

/第一講立體圖形及展開同學(xué)們在五年級所學(xué)習(xí)的立體圖形主要是長方體和正方體,從這一講開始我們將一起研究數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)長方體和正方體的問題,幫助大家提高觀察能力和空間想像能力,以及掌握解答問題的技巧和方法。這一講我們進一步研究長方體和正方體的特征及展開圖例題選講例1:圖1所示的是一個正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個展開圖恢復(fù)成原來的正方體,圖中的點F、點G分別與哪個點重合?[分析與解答]為了研究方便,我們將正方體六個面分別標上序號1、2、3、4、5、6,如果將l作為底面,那么4就是后面,5為右面,6為前面,2則是左面,3就是上面,<如圖2>。從圖中不難看出點F與點N,重合,點G與點S重合。還有一種方法就是動手制作一張展開圖,折一折,結(jié)果就一目了然了,同學(xué)們不妨試試吧!例2:一只小蟲從圖l所示的長方體上的A點出發(fā),沿長方體的表面爬行,依次經(jīng)過前面、上面、后面、底面,最后到達P點。請你為它設(shè)計一條最短的爬行路線。[分析與解答]因為小蟲在長方體的表面爬行,所以我們可以將長方體的前、后、上、下西個面展開成平面圖形<如圖2>。又因為在平面上"兩點之間的線段長度最短",所以連接AP,則線段AP為小蟲爬行的最短路線。練習(xí)與思考1.如圖所示的是一個正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個展開圖恢復(fù)成原來的正方體,圖中的點B、點D分別與哪個點重合?2.如圖所示的是一個棱長3厘米的正方體木塊,一只螞蟻從A點沿表面爬向B點。請畫出螞蟻爬行的最短路線。問：這樣的路線共有幾條?3.將一張長方形硬紙片,剪去多余部分后,折疊成一個棱長為l厘米的正方體。這張長方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米?4.一塊長方形的鐵皮,長28厘米,在這塊鐵皮的四角各剪下一個邊長為4厘米的小正方形,然后通過折疊、焊接做成一個無蓋的長方體盒子。已知這個盒子的容積是960立方厘米,求原來長方形鐵皮的面積。5.如圖所示的是一個正方體木塊的表面展開圖,若在正方體的各面填上數(shù),使其對面兩數(shù)之和為7,則A、B、c處填的數(shù)各是多少?6.如圖所示的10個展開圖中,哪些可以做成完整的正方體?7.圖<1>是一個正方體,圖<2>是這個正方體的一個平面展開圖,圖<3>、圖<4>、圖<5>也是這個正方體的平面展開圖,但每一個展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來,請你給補上。8.如圖所示的是一個長方體,四邊形APQC、是長方體的一個截面<即過長方體上4點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形>,P、Q分別為棱A1B1、B1C1,的中點,請在此長方體的平面展開圖上,標出線段AC、cQ、QP、PA。第二講長方體和正方體的表面積在數(shù)學(xué)競賽中,有許多問題涉及到長方體和正方體表面積的計算。這些知識不僅有趣而且具有一定的實用性和思考價值。解答長方體和正方體表面積的問題時,需要同學(xué)們具備較強的觀察能力、作圖能力以及空間想像能力,另外還要掌握一些解題的思路和技巧。例題選講例1:一個長方體,前面和上面的面積之和是88平方厘米,這個長方體的長、寬、高是以厘米為單位的數(shù),且都是質(zhì)數(shù),求這個長方體的表面積。[分析與解答]要求長方體的表面積,就要求長方體的長、寬、高。根據(jù)題意,前面與上面的面積之和是88平方厘米,也就是長×高+長x寬=88,即長×<高+寬>=88因為長、寬、高都是質(zhì)數(shù),我們把88分解質(zhì)因數(shù)得88=1l×2×2×2,依題意,11不能分成兩個質(zhì)數(shù)和,經(jīng)試驗,有兩種情況符合條件,<1>ll×<3+5>：88<2>2×<41+3>一88,因此長方體的表面積可以有兩種情況。解：88—11×2X2×2,2×2×2：3+5,11×2×2—41+3。長方體的表面積：<1><11×3+1l×5+5×3>×2=206<平方厘米><2><2×3+2x4l+41×3>×2—422<平方厘米>例2:如圖,將3個表面積都是24平方米的正方體木塊粘成一個長方體,求這個長方體的表面積。[分析與解答]仔細觀察圖形,不難看出3個正方體塊粘成1個長方體,共有2個粘接處,每一處都有2個面粘在一起,兩處共粘去4個面,因此粘成的長方體的表面積等于<6×3—4>個面的面積,即24÷6×<6x3—4>=56<平方厘米>。例3:如圖所示的是用19個棱長為1厘米的正方體堆起來的立體圖形,其中有一些正方體看不見,那么這個立體圖形的表面積是多少?[分析與解答]仔細觀察圖形,雖然這個立體圖形是不規(guī)則的,但是從前面看到的面與從后面看到的面?zhèn)€數(shù)是相等,同理從左、右看到的面?zhèn)€數(shù)是相等的,從上、下看到的面是一致的,所以這個立體圖形的表面積等于<前面十上面+左面>×2,即<10+9+8>×2=54<平方厘米>。練習(xí)與思考1.有一個長方體,前面和上面兩個面面積和為209平方厘米,并且長、寬、高都是以厘米為單位的數(shù),且都是質(zhì)數(shù),求這個長方體的表面積。2.將兩個長都是8厘米,6厘米,高都是5厘米的長方體拼成一個大長方體,那么這個大長方體表面積最大是多少平方厘米?3.如圖所示的是由17個邊長是1厘米的小正方體拼成的立體圖形,求它的表面積。4.有一個長方體,長是8厘米,寬是4厘米,高是6厘米,把它截成棱長是2厘米的若干個小正方體,這些小正方體表面積之和比原來長方體的表面積增加了多少平方厘米?5.如圖,正方體木塊的表面積是36平方分米,把它沿虛線截成體積相等的8個小正方體木塊,這時表面積增加多少平方分米?6.如圖,有一個邊長是5厘米的立方體,如果它的左上方截去一個邊長分別是5厘米,3厘米2厘米的長方體。那么,它的表面積減少多少平方厘米?7.如圖,有一個長4厘米：寬和高都是3厘米的長方體,以A為底打一個上下直穿的長方體洞,以B為底打一個前后直穿的長方體洞,以C為底打一個左右穿通的長方體洞,所得立體圖形的表面積是多少?8.如圖,有一個棱長是1米的正方體木塊。沿水平方向鋸2次,豎直鋸3次,再橫著鋸4次,共得到大大小小的長方體小木塊60塊,求這60塊長方體表面積的和。9.用10個長7厘米,寬5厘米,高3厘米的長方體木塊拼成一個大長方體,拼成的大長方體表面積最小是多少?第三講長方體和正方體的體積前一講,我們研究了長方體和正方體表面積的計算,其實在數(shù)學(xué)競賽中,有關(guān)長方體和正方體體積的知識也很重要。學(xué)習(xí)這一講的知識更需要我們具備較強的觀察能力和空間想像能力。例題選講例1:如圖,一個長方體木塊,從上部和卞靠分別截去高2厘米和3厘米的長方體后,便成為一個正方體,表面積減少了100平方厘米,原來長方體的體積是多少立方厘米?[分析與解答]仔細觀察右圖,截去上下兩個長方體后減少的表面積就是兩個長方體的側(cè)面積,也就相當于減少的是高為<2+3>厘米的長方體的側(cè)面積,因此高為5厘米的長方體每個側(cè)面積是100÷4—25<平方厘米>,那么長方體底面正方形的邊長就是25÷5=5<厘米>,所以原長方體的體積是：5×5×<2+5+3>=250<立方厘米>。例2:將兩塊棱長相等的正方體木塊拼成一個長方體,已知長方體棱長總和是96厘米,每塊正方體木塊的體積是多少立方厘米?[分析與解答]根據(jù)題意,兩個正方體棱長共有12×2=24<條>。當它們拼在一起成為一個長方體時,由于兩個面重合,也就減少了4×2=8<條>棱長,實際上就是拼成的長方體棱長總和相當于24—8=16<條>正方體棱長總和,因此每條正方體棱長為96÷16=6<厘米>,則每塊正方體木塊的體積是：6×6×6=216<立方厘米>。例3:如圖,正方體的棱長為4厘米,分別在前后、左右、上下各面中心鑿開一個邊長1厘米的正方形小孔直至對面,求它的體積。[分析與解答]仔細觀察圖形,每個鑿去的小長方體體積均為：1×1×4=4<立方厘米>,共鑿小長方體3個,即4×3=12<立方厘米>,而實際上由于正中間相交,重復(fù)鑿去了2個1立方厘米的正方體小塊,因此,這個物體的體積是4×4×4—12+1×2=54<立方厘米>。練習(xí)與思考把一個長方體的長平均分成4段,每段長6厘米,表面積增加24平方厘米,求原長方體的體積。用大小相等的兩個正方體積木拼成一個長方體,這個長方體的棱長總和是80厘米,每個正方體的體積是多少立方厘米?3．如圖,在一個棱長為20厘米的正方體木塊的前面、上面、右面中心位置,分別鑿一個邊長為4厘米的正方形小孔直至對面,做成玩具,求這個玩具的一個長方體,它的前面和上面的面積之和是156平方厘米,并且長、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個長方體的體積是多少?5．一個表面積是36。平方厘米的長方體,它恰好可以切成兩個相同的正方體,每個小正方體的體積是多少立方厘米?一個長方體,它的底面是一個正方形,它的表面積是190平方厘米,如果用一個平行于底面的平面將它截成兩個長方體,則兩個長方體的表面積之和是240平方厘米,求原來長方體的體積。一個長方體的前面、上面、右面的面積分別為40、60、24平方厘米,求這個長方體的體積。8．現(xiàn)有一張長4厘米、寬2。厘米的長方形鐵皮,請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒<焊接處及鐵皮厚度忽略不計,容積越大越好>。請問：你做的鐵皮盒的容積是多少立方厘米?9．一個長、寬、高分別是2l厘米、15厘米、12厘米的長方體,現(xiàn)從它上面盡可能大地切下一個正方體,然后再從剩余部分盡可能大地切下一個正方體,最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體,這時剩下的體積是多少立方厘米?第四講水面高度變化和等積變換水面高度變化問題是涉及長方體和正方體體積計算的變題,是指把一個物體放入盛水的長方體或正方體容器中,水面將上升；或者把一個物體從盛水的長方體和正方體容器中取出,水面會下降一類的問題。解答時,同學(xué)們要仔細觀察水面高度變化的現(xiàn)象,發(fā)揮空間想像力,發(fā)現(xiàn)體積變化的規(guī)律,從而解決實際問題。等積變換問題指的是物體經(jīng)過熔鑄、變換,改造成另一種形狀的物體,雖然形狀變了,但是體積沒有發(fā)生變化。解答時,應(yīng)該抓住體積不變這一突口,再根據(jù)實際問題進行認真分析,從而尋求解決問題的方法。例題選講例1:在一個長25分米,寬20分米的長方體容器中,有15分米深的水。如果在水中沉入一個棱長是50厘米的正方體鐵塊,那么容器中水深多少分米?、[分析與解答]根據(jù)題意,正方體鐵塊沉入長方體容器中后,水面會上升,而上升部分的水的體積與正方體鐵塊的體積相等,因此就可以求出上升部分水的高度,那么現(xiàn)在的水深就迎刃而解了。解：50厘米一5分米5÷<25X20>+15=O．25+15=15．25<分米>答：容器中水深15．25分米。例2:一個長方體水箱,底面是一個邊長為50厘米的正方形。水箱里直立著一個高10分米,底面邊長是25厘米的長方體鐵塊,這時水箱里的水深6分米?，F(xiàn)在把鐵塊輕輕地向上提起20厘米,那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長多少厘米?[分析與解答]露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分包括向上提起的20厘米和鐵塊提起后水面下降的高度兩部分。而下降部分水的體積就等于提起的20厘米的鐵塊的體積,因此水面下降的高度就可以用高20厘米的鐵塊體積除以水箱的底面積求得。解：25×25×20÷<50×50>+20=5+20=25<厘米>答：露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長25厘米。例3:把一個長9厘米,寬7厘米,高3厘米的長方體鐵塊和一個棱長5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個底面積是20平方厘米的長方體,求這個長方體的高。[分析與解答]將一個小長方體鐵塊和一個小正方體鐵塊熔鑄成一個大長方體,形狀雖然變了,但體積和沒有發(fā)生變化,因此大長方體鐵塊的體積就等于小長方體鐵塊與小正方體鐵塊的體積和。然后根據(jù)體積除以底面積求出高。解：<9×7×3+5。>÷20=314÷20=15．7<厘米>答：這個長方體的高是15．7厘米。練習(xí)與思考1．在一個長20分米,寬15分米的長方體容器中,有20分米深的水?，F(xiàn)在在水中沉入一個棱長15分米的正方體鐵塊,這時容器中的水深多少分米?2．一個長方體容器．,長90厘米,寬40厘米。容器里直立著一個高1米,底面邊長是15厘米的長方體鐵塊,這時容器里的水深0．5米。3．一個棱長6分米的正方體容器,裝滿了水?，F(xiàn)將正方體容器里的水倒人一個長12分米,寬6分米,高5分米的長方體水槽中,求現(xiàn)在長方體水槽中水面到水槽口的距離。4．現(xiàn)在把鐵塊輕輕向上提起24厘米,那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長多少厘米?5．一個長方體水箱,從里面量長8分米,寬6分米。先倒入165升水,再浸入一塊棱長3分米的正方體鐵塊,這時水面離水箱口1分米。問：這個水箱的容積是多少?6．在一個長15分米,寬12分米的長方體容器中,水深10分米。如果在水中浸入一個棱長是30厘米的正方體鐵塊,那么,容器中水深多少分米?7．有大、中、小三個底面是正方形的水池,它們底面的邊長分別是5米、3米、2米,把兩堆碎石分別沉人中、小水池的水里,兩個水池的水面分別升高6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉人大水池的水里,大水池的水面升高多少厘米？8．一個長方體容器里面裝有水,一塊棱長24厘米的正方體鐵塊浸沒在水中?，F(xiàn)將鐵塊取出,水面下降18厘米；如果將一個長18厘米,寬16厘米,高12厘米的長方體鐵塊浸入水中：水面將上升多少厘米?9．現(xiàn)在有大、中、小三個鐵球,一個裝滿水的長方體容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出,把中球浸入水中；第三次取出中球,把小球和大球一起浸入水中。已知每次從容器中溢出水量的情況是：第二次是第一次的3倍,第三次是第一次的2．5倍。問：大球體積是小球的多少倍?10．現(xiàn)有空的長方體容器A和水深24厘米的長方體容器B<如圖>,要將容器B的水倒一部分給A,使兩容器水的高度相同,那么這時的水深是幾厘米?11．棱長為1米的2100個正方體圍成一個實心的長方體,它的高為10米,長和寬都大于高。問：它的長和寬各為多少米?12．在一個長方體蓄水池里放進一塊長和寬都是5厘米的長方體鐵塊,如果把它全部放入水里,池里水面就上升9厘米,如果把水中的鐵塊露出8厘米,這時池里的水面就下降4厘米。問：這個鐵塊的體積是多少立方厘米?第五講列方程解題有數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題,特別是需要逆向思維的應(yīng)用題,運用算術(shù)方法解答比較困難,如果列方程解答,通過設(shè)未知數(shù),把未知數(shù)當作已知數(shù)來考慮數(shù)量關(guān)系,抓住數(shù)量之間的相等關(guān)系,列出方程式解答就比較容易了。例題選講例1：御苑小學(xué)五<3>班的同學(xué)合買一件生日禮物送給班主任。如果每人出8元,就多84元,如果每人出6元,那么就少12元,御苑小學(xué)五<3>班有多少名學(xué)生?[分析與解答]從給出的條件分析,用算術(shù)方法解答問題有些困難,似乎數(shù)量關(guān)系不明顯,但深入分析可以看出同學(xué)們買的是同一件生日禮物,因比價格是一定的,即每人出8元表示的總價與每人出6元表示的總價相等,可以列出以下方程式解答。解：設(shè)御苑小學(xué)五<3>班有x名學(xué)生。8x-84=6x+128x一6x=12+842x=96x=48答：御苑小學(xué)五<3>班有48名學(xué)生。例2：勝利大隊糧庫里的大米是面粉的2倍,現(xiàn)在用卡車運走,每輛卡車裝4噸大米和3噸面粉,當面粉運完時,還剩20噸大米,糧庫里原來有大米和面粉共多少噸?[分析與解答]這道題的未知數(shù)量比較多：有大米、面粉的重量和卡車的數(shù)量,那么設(shè)哪個未知數(shù)為x比較合適呢?我們仔細分析一下等量關(guān)系,容易看出運大米的卡車數(shù)量與運面粉的卡車數(shù)量相等,如果設(shè)面粉有x噸,則大米有2x噸,根據(jù)卡車數(shù)量相等可以列出方程<2x一20>÷4=x÷3再進一步分析已知條件,可以看出另一個等量關(guān)系,即大米的重量等于面粉重量的2倍。我們設(shè)有x輛卡車,根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：4x+20=3x×2比較兩種方法,發(fā)現(xiàn)后一種方法列出的方程式比較容易解答。解：設(shè)有x輛卡車。4x+20—3z×24x+20=6xx=10<4+3>×10+20=90<噸>答：糧庫里原來有大米和面粉共90噸。練習(xí)與思考1．爸爸帶一些錢去買酸奶,如果買1O瓶就剩下4元,如果買12瓶同樣的酸奶則差5.2元。問：每瓶酸奶多少元?爸爸帶了多少錢？2.濱江小學(xué)體育室里的籃球是足球的3倍。體育課上,每班借8只籃球、5只足球,足球借完時還有84只籃球。問：體育室原來有籃球和足球共多少只?。3.某校五、六年級的學(xué)生乘公交車去秋游。如果每車坐60人,則有20人沒有座位；如果每車多坐5人,則有一輛車空出45個座位。請問：一共有多少輛公交車?五、六年級去秋游的學(xué)生一共有多少人?4.一條船從甲港到乙港順流麗下,再從乙港返回共用了8小時,已知這船在靜水中的速度是每小時,20千米,水流速度是每小時5千米。請問：甲、乙兩港之間的距離是多少千米?5.4個人的年齡之和是77歲,最小的是10歲,他與年齡最大的人的年齡之和比其他兩人的年齡之和大7。問：年齡最大的人是多少歲?6.一個兩位數(shù),十位數(shù)上的數(shù)字是個位上數(shù)字的1．5倍,如果調(diào)換十位與個位上的數(shù)字,則新數(shù)比原數(shù)小18,求原來的數(shù)。7.甲每分鐘走‘50米,乙每分鐘走60米,丙每分鐘走70米,甲、乙從A地出發(fā),丙從B地出發(fā),丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲,求A、B兩地的距離。8.甲、乙兩個書店存書冊數(shù)相等,甲書店售出2000冊,乙書店購入1000冊,這時乙書店的冊數(shù)是甲書店的2倍。問：甲、乙兩書店原來共存書多少冊?9.在一次數(shù)學(xué)競賽中,甲隊的平均分為75分,乙隊的平均分為73分,兩隊全體同學(xué)的平均分為73．5分,并且乙隊比甲隊多6人,那么乙隊有多少人?10.如圖所示的是由九個正三角形拼成的六邊形,其中最小的正三角形<圖中有陰影的小三角形>的邊長為1,求此六邊形的周長。第六講假設(shè)法解題"假設(shè)法"是解決問題常用的一種思維方法,是指在解決問題的過程中,根據(jù)題目的條件或結(jié)論作出某種假設(shè),然后根據(jù)假設(shè)進行推算,當出現(xiàn)矛盾時,則分析矛盾產(chǎn)生的原因,并對照已知條件進行適當調(diào)整,最后找到解決問題的方法。例題選講例1:有5元和10元的郵票共20張,總面值125元。問：5元的和10元的郵票各多少張?[分析與解答]假設(shè)20張郵票都是10元的,總面值應(yīng)該是10×20一200<元>,而實際上只有125元,實際比假設(shè)少200—125—75<元>,仔細分析一下為什么比假設(shè)少75元呢?原因就是把5元的郵票當作10元算的、,每張就多算10-5=5<元>,因此可以求出5元的郵票張數(shù)75÷5=15<張>則10元的郵票張數(shù)為20—15=5<張>。解：<10×20—125>÷<10一5>=75÷5=15<張>……5元的郵票張數(shù)20-15=5<張>……10元的郵票張數(shù)答：5元的郵票15張,10元的郵票5張。請同學(xué)想想如果假設(shè)2張郵票都是5元的．應(yīng)該如何解答呢?例2:中央百貨公司委托搬運公司送1000只茶杯,雙方簽訂合同每只運費是O.3元如果打破1只,不但不付運費,而且還要照價賠償1．5元。結(jié)果搬運公司共得運費291元。問：搬運公司在搬運過程中打破了幾只茶杯?[分析與解答]假設(shè)在搬運過程中沒有茶杯被打破,那么應(yīng)該得運費O．3x1000=300<元>,而實際上卻少得了運費<300—291>=9<元>,原因是打破了幾只茶杯,每打破1只不但拿不到運費,還要賠償,所以打破1只就損失：0．3+1．5=1．8<元>,因此在搬運過程中打破了9÷1．8=5<只>。解：<O．3X1000—291>÷<O．3+1．5>=9÷1．8=5<只>答：在搬運過程中打破了5只茶杯。練習(xí)與思考1．籠中共有雞兔100只,雞兔共有280只腳。問：雞兔各有多少只?2．某搬運站為某商店運800只花瓶,運費為每只3元,如果損壞一只,不但不給運費還要照價賠償5元,結(jié)果搬運站共得運費2352元。問：搬運公司在搬運過程中打破幾只花瓶?3．松鼠爸爸采松子,晴天可以采30個,雨天只能采20個,它一連幾天共采了240個松子,平均每天采24個。問：這幾天當中有幾個晴天?幾個雨天?4．甲、乙兩人進行投飛鏢比賽,規(guī)定每中一次記10分,脫靶一次扣6分,兩人各投l0次,共得152分,其中甲比乙多16分。問：甲、乙兩人各投中幾次？5．蜘蛛有8只腳,沒有翅膀,蜻蜓有6只腳和2對翅膀,蟬有6只腳和1對翅膀,現(xiàn)在這三種小動物共78只腳,13對翅膀。問：每種小動物各有幾只?6．甲倉庫存糧是乙倉庫的2倍,甲倉庫每天運出40噸,乙倉庫每天運出30噸,若干天后,乙倉庫的糧食運完了,甲倉庫還有80噸。問：甲、乙兩個倉庫原來各有糧食多少噸?7．一堆硬幣：面值為1分、2分、5分三種,其中1分的個數(shù)是2分的ll倍,如果這堆硬幣共1元,那么5分硬幣有多少個?8．某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競賽,試題共50道。評分標準是：答對l題給3分,不答給1分,答錯倒扣1分。請你說明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。9．紫金小學(xué)買來單價分別是3元、4元、5元的獎品共200份,共花去780元,其中4元和5元的獎品份數(shù)相同。問：三種獎品各買了多少份?10．有一筐蘋果,把它們?nèi)确趾筮€剩2個,取出其中兩份,將它們?nèi)确趾筮€剩2個,再取出兩份,將這兩份三等分后還剩2個。問：這筐蘋果至少有幾個?第七講代換法解題在一些較復(fù)雜的應(yīng)用題中,經(jīng)常會出現(xiàn)兩個或兩個以上的未知量,但是這些未知量是有一定的邏輯關(guān)系的。解題時,可以用其中一個未知量通過等量代換,代替其它未知量,從而使復(fù)雜的問題變得簡單,這種解題的方法稱為代換法。例題選講例1:一個足球的價格等于兩個籃球的價格,也等于三個排球的價格,還等于一個籃球加一個排球和一個壘球的價格。那么一個足球等于多少個壘球的價格?[分析與解答]這道題條件比較多,我們把條件摘錄如下,列出等式：1個足球：2個籃球,1個足球=3個排球,一個足球=1個籃球+1個排球+1個壘球,由此可以推出2個籃球=3個排球,即1個籃球：1．5個排球,又1個籃球：1個排球+1個壘球,所以1個壘球一O．5個排球,即2個壘球=1個排球,因此1個足球=2×3=6<個>壘球。例2:5只同樣的紅球和18只同樣的綠球共重396克,已知1只紅球和3只綠球的重量相等,求每只紅球和每只綠球各重多少克?[分析與解答]摘錄條件：<1>5只紅球+18只綠球=396,<2>1只紅球=3只綠球,由<2可得5只紅球=15只綠球,因此用15只綠球代替〔1中5只紅球可得15只綠球+18只綠球=396,即33只綠球=396,所以每只綠球=396÷<15+18>=12<克>,每只紅球的重量=12×3=36<克>。同學(xué)們想一想用幾只同樣的紅球可以代換18只綠球,又如何計算呢?例3:甲、乙、丙三人,甲的年齡比乙的2倍大3歲,乙的年齡比丙的2倍小2歲,三人年齡之和是109歲。問：三人各幾歲?[分析與解答]摘錄條件<1>甲=2乙+3,<2>乙=2丙-2,由<2>可得2乙=4丙-4,又根據(jù)<1>可得甲=4丙=1,如果甲正好是丙的4倍,乙正好是丙的2倍,那么年齡和應(yīng)是<109+l+2>=112<歲>,也就相當于丙的<4+2+1>倍,因此丙的年齡=112÷7=16<歲>。乙的年齡：16X2—2=30<歲>,甲的年齡=30×2+3=63<歲>。練習(xí)與思考1.2只紅球與4只藍球的重量相等,3只藍球的重量等于1只紅球加1只黑球的重量,那么幾只黑球的重量等于3只紅球加4只藍球的重量?2.百貨商店運來400雙球鞋,分別裝在2個木箱和6個紙箱中,如果2個紙箱同1個木箱裝的鞋一樣多,那么每個木箱和每個紙箱各裝多少雙鞋?3.有紅、黃、藍三色筆共94枝,已知紅色筆比黃色筆的2倍少2枝,黃色筆比藍色筆的2倍多4枝,求三色筆各多少枝?4.一批貨物,如果用大號集裝箱要20只箱子,如果用小號集裝箱裝,要25只箱子,已知大號箱比小號箱可多裝貨物200千克,求這批貨物重多少千克?5.學(xué)校圖書館購買5本科技書和3本文學(xué)書共用去147．5元,如果用1本文學(xué)書換回2本科技書,那么還要用去7．3元。問：科技書和文學(xué)書每本的價格各是多少元?6.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是325,如果甲加上lO,乙減去5,丙乘以2,丁除以3,那么四個數(shù)恰好相等,求丁數(shù)。7.甲、乙兩數(shù)之差是17．82,如果將乙的小數(shù)點向右移動兩位就與甲數(shù)相等。求甲、乙兩數(shù)分別是多少?8.用兩臺抽永機抽水,甲抽水機抽6小時,乙抽水機抽8小時,共抽水624立方米。已知甲抽水機5小時的抽水量等于乙抽水機2小時的抽水量。問：甲乙兩臺抽水機每小時各抽水多少立方米?9.用3個空啤酒瓶可換一瓶啤酒王強買了10瓶啤酒,他最多可以喝到多少瓶啤酒?張師傅和李師傅共同加工1300個零件,張師傅先做6天。再由李師傅做4天,就完成了任務(wù)。如果張師傅先做4天,則李師傅再做7天也能完成任務(wù)。問：李師傅每天加工多少個零件?10.運動會把一筆獎金分為金、銀、銅三等,已知每個金牌獎金是每個銀牌獎金的,2倍,每個銀牌獎金是每個銅牌獎金的2倍,如果評出金牌、銀牌、銅牌獎各兩名,那么每個金牌獎金是30.8萬元,如果評出一個金獎、兩個銀獎、三個銅獎,那么金獎的獎金是多少萬元?第八講消去法解題有些較復(fù)雜的應(yīng)用題,給出了兩個或兩個以上的未知量,在解題時除了運用前一講代換法來解答,還可以運用另一種方法——消去法。消去法解題是指在求多個未知量時,通過比較已知條件,分析對應(yīng)未知數(shù)量的變化情況,設(shè)法消去其中一個未知量,使復(fù)雜問題簡單化。例題選講例1:媽媽第一次買了3千克蘋果和5千克桔子,共用去14．5元；第二次又買了3千克蘋果和7千克桔子,共用去18．5元。蘋果和桔子的單價各是多少元?[分析與解答]根據(jù)已知條件寫出下列數(shù)量關(guān)系式：3千克蘋果的價格+5千克桔子的價格=14．5元①3千克蘋果的價格+7千克桔子的價格=18．5元②比較①、②兩個等式,我們可以看出,14．5元與18．5元的差價正好是<7—5>千克桔子的價格。因為兩次買的蘋果重量相同,根據(jù)這個條件,在解答時可以把3千克蘋果的價格消去,先求桔子的價格,再求蘋果的價格。解：<18．5—14．5>÷<7—5>=4÷2=2<元>……桔子的單價<14．5—2×5>÷3=4．5÷3=1．5<元>……蘋果單價答：蘋果的單價是1．5元,桔子的單價是2元。例2:紫金小學(xué)買了4個足球和12個籃球,一共用去980元,育才小學(xué)買了同樣的8個足球和10個籃球,一共用去1190元。每個足球和每個籃球各多少元?[分析與解答]‘先列出數(shù)量關(guān)系式。4個足球的價錢十12個籃球的價錢=980元①8個足球的價錢+10個籃球的價錢=1190元②與例1比較①、②兩個等式中沒有相同數(shù)量的量,這樣就不能直接消去其中的一個未知量。那怎么辦呢?仔細觀察比較①、②兩個數(shù)量關(guān)系式,不難看出②式中足球數(shù)量是①式中足球數(shù)量的2倍,如果把①式中未知量的數(shù)量擴大2倍,問題就迎刃而解了。解：根據(jù)已知條件可得8個足球的價錢+24個籃球的價錢：1960元<1960一1190>÷<24一lO>=770÷14=55<元>……籃球的單價<980—55×12>÷4=320÷4=80<元>……足球單價答：每個足球80元,每個籃球55元。練習(xí)與思考1.食堂第一次運來6袋大米和4袋面粉,一共重400千克,第二次又運來9袋大米和4袋面粉,一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?2.小明和小剛?cè)ド痰曩I文具用品,小明買了1枝鋼筆和2塊橡皮共用去14元,小剛買同樣的2枝鋼筆和8塊橡皮共用去36元。問：鋼筆和橡皮的單價各是多少元?,3.文峰水果超市購買5筐蘋果和7筐梨共重135千克,第二天又購買了同樣的蘋果3筐、梨5筐共重85千克。問：每筐蘋果和每筐梨各多少千克?4.學(xué)校買來5包科技書和7包故事書共620本,6包科技書和3包故事書420本。問：每包科技書和每包故事書各多少本?5.甲、乙、丙三數(shù),甲、乙兩數(shù)之和是50,乙、丙兩數(shù)之和是70,甲、丙兩數(shù)之和是60。問：甲、乙、丙三數(shù)各是多少?6.商店第一天賣出5件上衣和8條褲子收入1265元,第二天賣出同樣的6件上衣和5條褲子共收入1150元。問：每件上衣、每條褲子各多少元?每件上衣比每條褲子貴多少元?7.7頭牛和4只羊每天共吃青草145千克,4頭牛和7只羊每天共吃青草130千克。問：每頭牛和每只羊每天各吃青草多少千克?8.小明有4盒奶糖,小剛有3盒酥糖。共有60顆糖,如果小明和小剛對換1盒,則兩人手里糖的顆數(shù)相等。每盒奶糖和每盒酥糖各有多少顆?9.體育室有籃球、足球、排球三種球?；@球3個,足球2個,排球1個,共值380元；籃球2個,足球1個,排球3個,共值350元；籃球1個,足球3個,排球2個,共值350元。問：每種球的單價各是多少元?10.一個水池甲、乙兩個水管同時打開,5小時灌滿；若甲管開8小時后關(guān)閉乙再開3小時也能灌滿。如果甲管先開2小時關(guān)閉,那么乙管再開幾小時才能灌滿?第九講作圖法解題圖形具有直觀性,用作圖的方法可以將復(fù)雜應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來,使題目的已知條件和所求問題一目了然,并借助直觀的圖形進行分析、推理,進而很快找到解決問題的策略。這種方法我們稱為作圖法解題,特別是對解答條件復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系不明顯的應(yīng)用題,能起到化難為易的作用。例題選講例1:雞與兔同籠共100只,一共有240只腳雞與兔各多少只?[分析與解答]這是雞兔同籠問題,我們在前幾講已學(xué)會用其它方法解答,現(xiàn)在用作圖法來解答,讓同,學(xué)們體會一下這種方法的作用。圖1中兩個長方形的總面積表示的是雞與兔腳的總個數(shù),寬表示每只雞與兔的腳的個數(shù)。則長就是要求的雞與兔的只數(shù)。仔細觀察圖2,陰影部分的面積表示雞與兔多出的腳,它應(yīng)該等于總面積減空白面積,即240—2x100=40<只>,那么陰影部分的長,也就是兔的只數(shù)應(yīng)為40÷<4—2>=20<只>,雞的只數(shù)就是1OO-20=80<只>．例2:甲、乙兩車同時從A、B兩地相向開出,第一次相遇時離A地有90千米,然后各按原速度繼續(xù)行駛,到達目的地后立即沿原路返回,第二次相遇時離B地70千米處,求A、B兩地的路程。[分析與解答]求A、B兩地的路程,題中既沒有給出甲、乙的速度,也沒有給出相遇時間,解答比較困難。下面我們借助線段圖來幫助分析。從圖上可以看出,甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共行駛了一個全程,當兩車共行駛1個全程時,甲車行駛了90千米。從第一次相遇到第二次相遇,甲、々兩車又共行駛了2個全程。因此從出發(fā)到第l二次相遇甲、乙兩車共行駛了3個全程,那么甲車就行駛了3個90千米,即90×3=270千米,而甲車比全程多行70千米。所以A、B的距離為270—70=200<千米>。練習(xí)與思考1.有10分和20分的郵票共18張,總面值為2．80元。請問：10分和20分的郵票各有幾張?2.張紅與李明同時從甲、乙兩地相向而行,第一次兩人相遇時離乙地400米。然后兩人繼續(xù)步行,各自到達目的地后立即返回,第二次相遇時離甲地200米,求甲、乙兩地的距離。3.兩根同樣長的電線,第一根用去60米,第二根用去20米,剩下的電線,第二根的長度是第一根的3倍。問：原來兩根電線各長多少米?<先畫圖再列式計算>4.在一個除法算式里,被除除以除數(shù)商是25,余數(shù)是10,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是357,除數(shù)是多少?5.甲、乙、丙、丁四個數(shù),甲、乙、丙三個數(shù)的總和是300,丁數(shù)比甲、乙、丙、丁四個數(shù)的平均數(shù)少30,求丁數(shù)。6.甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行,第一次相遇時離A地50千米,相遇后繼續(xù)按原速度行完全程,到達目的地后返回,第二次相遇時離A地25千米。問：A、B兩地距離是多少千米?7.一輛汽車從甲地開往乙地,往返共用20小時,去時用的時間是回來時的1．5倍,去時的速度比回來的速度每小時慢12千米。問：往返共行了多少千米?8.某單位買單價分別為70元、30元、20元的高、中、低三檔皮包共47個,共用了2120元,其中每個30元的中檔皮包個數(shù)是每個20元的低檔包個數(shù)的2倍。問：三種皮包各買了多少個？第十講倒推法解題在我們生活中經(jīng)常會遇到"還原問題",如把一盒包裝精美的玩具打開,再把它重新包裝好,重新包裝的步驟與打開的步驟正好相反。其實在數(shù)學(xué)中,也有許多類似的還原問題。解決這類問題最常用的方法就是倒推法,即從結(jié)果入手,逐步向前逆推,最終找到原問題的答案。例題選講例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3個,第三只拿走第二只取剩的一半少3個,第四只拿走第三只取剩的一半多3個,第五只拿走第四只取剩的一半,最后還剩3個,這堆桃原來有多少個?[分析與艉答]l|這道題條件比較多,順向思考很困難,如果根據(jù)最后的結(jié)果倒推還原,解決起來就輕松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半,還剩3個,所以第五只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：3×2=6<個>,同理,第四只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<6+3>×2=18<個>,第三只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<18—3>×2=30<個>,第二只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<30+3>×2=66<個>,第一只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：66×2=132<個>,即這堆桃有132個。例2:甲、乙、丙三人各有若干元錢,甲拿出與乙相同多的錢給乙,也拿出與丙相同多的錢給丙；然后乙也按甲和雨手中的錢分別給甲、丙相同的錢；最后丙也按甲和乙手中的錢分別給甲、乙相同的錢,此時三人都有48元錢。問：開始時三人各有多少元錢?[分析與解答]從第三次丙給甲、乙錢逐步向前推算,根據(jù)三人最后都有48元,那么在丙給甲、乙添錢之前：甲：48÷2：24<元>,乙：48÷2—24<元>,丙：48+24+24—96<元>；第二次在乙給甲、丙添錢之前：甲：24÷2—12<元>,乙：24+12+48===84<元>,丙：96÷2=48<元>；第一次在甲給乙、丙添錢之前：甲：12+42+24—78<元>,乙：84÷2=42<元>,丙：48÷2=24<元>。所以開始時甲有78元,乙有42元,丙有24元。例3:甲、乙、丙三人共有48張郵票,第一次甲先拿出與乙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給乙；第三次乙拿出與丙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給丙；第三次丙又拿出與這時的甲的郵票數(shù)相等的張數(shù)給甲,最后三人的郵票數(shù)相等,三人原來各有多少張郵票?[分析與解答]此題條件復(fù)雜,因此我們可以用列表的方法,從最后的果一步步按每次的變化倒推,這樣就容易看清題中的數(shù)量關(guān)系了。列表如下：練習(xí)與思考1.張強去銀行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50元,第三次取了余下的一半多50元,這時他的存折上還剩下575元。問：張強原來有存款多少元?2.書架上有上、中、下三層書,共2400本一先從上層拿出與中層同樣多的書放進中層,再從中層拿出與下層同樣多的書放進下層,最后從下層拿出與上層現(xiàn)在同樣多的書放進上層,這時三層書同樣多。問：開始時,上、中、下三層各有多少本書?3.做一道整數(shù)加一個學(xué)生把個位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9看作6,結(jié)果得出和為775。問：正確的答案應(yīng)該是多少?4.有26塊磚,兄弟兩人爭著去挑,弟弟走在前面,剛擺好磚哥哥趕來了。哥哥見弟弟挑得太多,就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行,又從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓,弟弟只好給哥哥5塊,這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問：開始時,弟弟準備挑多少塊?5.甲、乙、丙三個瓶子共裝了24升水,現(xiàn)在把甲瓶的水分別倒給乙、丙兩瓶,使乙、丙兩瓶的水比原來增加1倍；之后,又將乙瓶的水按上面的要求倒給甲、丙；最后,再按上面的要求將丙瓶的水倒一部分給甲、乙兩瓶,這樣倒了三次后,三個瓶中的水一樣多。問：開始時甲、乙、丙三瓶各裝水多少升?6.世紀商場里有一批兒童玩具,第一天運出總數(shù)的一半少4個,第二天運出剩下的一半多2個,第三天又運進25個,這時庫存兒童玩具45個,世紀商場原來有多少個兒童玩具?7.有一堆書,第一次搬一半,第二次般走剩下的一半多3本,第三次搬走剩下的一半少3本,第四次搬走剩下的一半多3本,第五次搬走剩下的一半,最后剩3本。問：原來有多少本書?8.甲、乙、丙各有若干個橘子。第一次甲給乙、丙橘子,各給與他們原有橘子數(shù)量相等的個數(shù)；同樣,第二次乙給甲、丙橘子,各給與他們現(xiàn)有橘子數(shù)量相等的個數(shù)；第三次丙給甲、乙橘子,同樣各給與他們現(xiàn)有數(shù)量相等的個數(shù)。最后三人都各有48個橘子,那么開始時三人各有多少個橘子?9.一種有益的菌種每小時可增長。l倍,現(xiàn)有一批這樣的細菌：10小時后達到100萬個,當它們達到25萬個時,經(jīng)歷了多少長時間?第十一講分數(shù)大小的比較在分數(shù)計算中經(jīng)常要比較分數(shù)的大小,同學(xué)們已經(jīng)知道根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì),可以將兩個異分子分母的分數(shù)變?yōu)榉肿酉嗤蚍帜赶嗤那闆r進行比較。但在有些時候比較兩個分數(shù)的大小,要根據(jù)分數(shù)的具體情況采取靈活的方法來比較它們的大小,這一講我們就來研究比較分數(shù)大小的方法。例題選講例1:比較EQ\F<12,33>、EQ\F<5,11>和EQ\F<2,17>,這三個分數(shù)中最大的是哪一個分數(shù)?最小的是哪一個分數(shù)?[分析與解答]仔細觀察這三個分數(shù),分子、分母都不相同,如果把它們通分比較當然可以,但較麻煩。再看分5子,都是60的約數(shù),因此可以根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)將這三個分數(shù)化成分子都是60的分數(shù),再進行比較解：EQ\F<12,33>=EQ\F<60,165>,EQ\F<5,11>=EQ\F<60,130>,EQ\F<2,17>=EQ\F<60,510>因為EQ\F<60,130>>EQ\F<60,165>>EQ\F<60,510>,所以EQ\F<5,11>>EQ\F<12,33>>EQ\F<60,510>,即EQ\F<5,11>最大,EQ\F<2,17>最小。例2:比EQ\F<2,7>大,比EQ\F<1,3>小,分子為17的分數(shù)有多少個?[分析與解答]根據(jù)題意,將題目轉(zhuǎn)化成如下移式EQ\F<2,7><EQ\F<17,□><EQ\F<1,3>。其實就是求□里可以填哪些自然數(shù)。我們可以采用通分子的方法,把上式轉(zhuǎn)化為EQ\F<34,119><EQ\F<34,2×□><EQ\F<34,102>不難看出所要求的分數(shù)的分母應(yīng)該是從119～102的偶數(shù),有8個。因此比EQ\F<2,7>大,比EQ\F<1,3>小,分子為17的分數(shù)有8個。例3:比較右兩個分數(shù)的大?。篍Q\F<33,40>和EQ\F<32,41>。[分析與解答]觀察這兩個分數(shù),它們的分子和分母都不相同,用分數(shù)的基本性質(zhì)把它們變?yōu)榉肿酉嗤蚍帜赶嗤瑏肀容^都很麻煩。這時我們可以借助一個中間數(shù)"EQ\F<32,40>"作為"橋梁"進行間接比較。解：因為EQ\F<33,40>>EQ\F<32,40>,而EQ\F<32,40>>EQ\F<32,41>,所以EQ\F<33,40>>EQ\F<32,41>。練習(xí)與思考1．把下面各組中的分數(shù)按從大到小的順序排列：EQ\F<30,27>、EQ\F<15,13>、EQ\F<20,17>、EQ\F<12,11>2．已知EQ\F<4,5>>EQ\F<7,〔>>EQ\F<1,2>,〔中可以填人的最大整數(shù)是多少?最小整數(shù)是多少?3．比較下列兩個分數(shù)的大?。篍Q\F<6,13>和EQ\F<8,15>。4．比較EQ\F<444443,444445>和EQ\F<555554,555556>的大小。5．寫出三個大于EQ\F<1,6>而小于EQ\F<1,5>的最簡真分數(shù)。6．在分數(shù)EQ\F<2,5>、EQ\F<5,11>、EQ\F<8,17>、EQ\F<20,41>中,最大的是哪一個分數(shù)?最小的是哪一個分數(shù)?7．把下列分數(shù)按從小到大的順序排列：EQ\F<84,89>、EQ\F<21,23>、EQ\F<12,13>、EQ\F<28,31>、EQ\F<14,15>8．比較下列兩個分數(shù)的大小：〔1EQ\F<6,17>和EQ\F<10,19>〔2EQ\F<43,120>和EQ\F<42,121>9．在下列方框中填上適當?shù)淖匀粩?shù),使不等式成立。EQ\F<6,11><EQ\F<109,□><EQ\F<5,9>10．要使EQ\F<24,31><EQ\F<773,A><EQ\F<31,409>成立,那么A代表什么自然數(shù)？11．如果EQ\F<5,9><EQ\F<9,□><1,那么□中應(yīng)填的整數(shù)有那些？12．分子是3,比EQ\F<7,65>小,但與EQ\F<7,65>最接近的分數(shù)是哪一個？13．比較EQ\F<218191,654321>和EQ\F<152347,456789>的大小。14．設(shè)A=EQ\F<29,62>與B=EQ\F<293031,626160>,比較A和B的大小。第十二講分數(shù)求和的解題技巧在數(shù)學(xué)競賽中,常常遇到一些分數(shù)求和的問題。當然,這些求和的問題并不是只用一般通分的方法就能解決的。這一講我們來研究一些特殊的分數(shù)求和的解題技巧。例題選講例1:先觀察下列各式的特點,找出規(guī)律再解答下列各題?！?EQ\F<1,2>+EQ\F<1,4>+EQ\F<1,8>+EQ\F<1,16>〔2