8第四章數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計

第四章

數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計第四章數(shù)學史融入學數(shù)學教的教學案設計4.1課題：復數(shù)概念教學過程如下：(1)提出問題。讓學生解方程：

x

40學生發(fā)現(xiàn)方程的根的判別式

2

程在實數(shù)范圍內不能求解。教師：如果將數(shù)擴展到更大的范圍，方程解的情況如何？（2）介紹數(shù)的概念的發(fā)展數(shù)的概念是從實踐中產生發(fā)展起來的。最早期是建立了自然數(shù)的概念，隨著生產力的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展。為了能夠表示相反數(shù)的概念，人們引進了零和復數(shù)即將正整數(shù)零負整數(shù)構成整數(shù)集為了解決分量的問題，規(guī)定了一切形如的數(shù)，就把整數(shù)擴大為有理數(shù)Q。量與量之間的比值不能用有理數(shù)解決的人們又引入了無理數(shù)從解方程

x2x40

發(fā)現(xiàn)方程沒有實數(shù)解，因為負數(shù)不能被開放，所以人們又提出了一種新數(shù)——虛數(shù)。(3)得出復數(shù)的概念形如

a(ab)

的數(shù)被稱為復數(shù)b時，就是實數(shù)時，就叫做虛數(shù)，當

時，叫做純虛數(shù)；a分別叫做負a實部與虛部。--第四章

數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計教師：對于復數(shù)概念，其幾何意義是什么呢1797年挪威的測量員威賽爾，在1797年的一篇文章中，除了以1為單位的實軸外，還引進一根以為單位的虛軸，將復數(shù)

用始點在原點的一條有向線段來表示（如圖）ybO1ax4.2課題：求球的體積教學過程如下：（1）提出問題：已知一個球的半徑為R求這個球的體積。（2）解答問題，劉徽、祖恒的截面法劉徽在《九章算術》中給出了球體積公V

D

(是求的直徑)是錯3誤的，劉徽分析，園與外切正方形的面積比為（果認為球與其43外切圓柱的體積之比是，并4

，就可以得到上面所說球體體積公式，然而事實上結果的比值不是

。劉徽作出球的兩個互相垂直相交的外切圓柱，稱他們的公共部分為“牟合方蓋方蓋”恰好把立方體的內切球包含在內并且同它相切，如果用一個水平面去截它們就得到一個（球的截面它的外切正方--第四章

數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計合方蓋”的截面劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的積之比都等于

，因此球體積與它的牟合方蓋的體積比都是

，遺憾的是，劉徽未能求出牟合方蓋的體積。南北朝數(shù)學家祖恒提出一條“緣冪勢既同，則積不容異”的原理，并利這一原理求得“牟合方蓋”的體積，從而在劉徽的基礎上徹底解決了球體積問題。1祖恒的做法是幾何如圖長為球半徑的立方體內挖去牟8合方蓋，做幾何圖（如圖立的直四棱錐陽馬)，使其高為R,底面時邊1長的正方形，這個倒立直角、四棱錐的體積是棱長為正方體的，3則其體積是R

。于是“牟合方蓋”的八分之一的體積應是

，整個“牟合方蓋”體積為R3。在倒立的直四棱錐高度為l處作截面，則“牟合方1蓋”截面的正方形邊長為,于是立方體內的“牟合方蓋”外部分的8體積為RR2。倒立的直三棱錐l高度處作截面，面積也l。--8牟合方蓋牟合方蓋8牟合方蓋牟合方蓋第四章

數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計兩個幾何體在任一高度處的截面積相等由祖恒原理們的體積相同。1VV正方體合方蓋陽馬于是

11R3V83

V牟合方蓋

163

R

所以球

4

3（3）其它解法阿基米德利用力學原理創(chuàng)造了一種特殊的求積術——平衡法，他的方法是：設球的半徑，作球的大圓面以及圓柱、圓錐的軸截面。其中以AB,為兩條母線的圓柱與球外切S是圓柱的兩底面圓心，圓錐的母NL,分別經過圓柱相應母線與球的切點。延N，在N距離為x處分別割出球、圓柱、圓錐的厚度為的三個薄片（可看成近似的圓柱體們的體積分別是

K球薄片圓柱薄片2圓錐薄片

CDNOABL--第四章

數(shù)學史融入中學數(shù)學教育的教學案例設計將球薄片與圓錐薄片懸掛在T處，圓柱薄片仍留在原處，以N為支點考慮兩邊的力矩（不妨設想比重為1）左力矩

2

x右力矩=2x因此，左