2021高三數(shù)學(xué)教師用書：第11章 第3講二項(xiàng)式定理含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）教師用書：第11章第3講二項(xiàng)式定理含解析第3講二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識整合1．二項(xiàng)式定理的內(nèi)容（1)(a＋b）n＝eq\o（□,\s\up1（01)）Ceq\o\al(0，n）an＋Ceq\o\al（1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al（r，n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n)bn(n∈N＊)．（2）第r＋1項(xiàng)，Tr＋1＝eq\o(□，\s\up1（02)）Ceq\o\al(r，n）an－rbr.（3)第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為eq\o（□,\s\up1（03)）Ceq\o\al(r，n）（r＝0,1，…，n）．2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1)0≤r≤n時，Ceq\o\al（r,n）與Ceq\o\al(n－r，n）的關(guān)系是eq\o（□，\s\up1(04)）相等．(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大且n為偶數(shù)時第eq\o(□,\s\up1（05）)eq\f(n，2）＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為eq\o(□，\s\up1(06））Ceq\f（n，2）n，當(dāng)n為奇數(shù)時第eq\o(□，\s\up1（07）)eq\f(n－1,2）＋1或eq\f(n＋1,2）＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為eq\o（□，\s\up1(08))Ceq\f（n－1，2）n或Ceq\f(n＋1,2)n。（3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al（1，n)＋Ceq\o\al（2，n）＋…＋Ceq\o\al（n，n）＝eq\o（□,\s\up1(09））2n,Ceq\o\al（0,n）＋Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al(4，n)＋…＝eq\o(□，\s\up1(10))2n－1，Ceq\o\al（1，n）＋Ceq\o\al（3，n）＋Ceq\o\al（5,n)＋…＝eq\o(□,\s\up1(11））2n－1。1．注意（a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時是不同的，一定要注意順序問題．2．解題時，要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的不同、項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的不同．3．切實(shí)理解“常數(shù)項(xiàng)"“有理項(xiàng)(字母指數(shù)為整數(shù)）”“系數(shù)最大的項(xiàng)"等概念．1．（2020·東莞調(diào)研測試）二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x2）))6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．±15 B．15C．±20 D．－20答案B解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，x2））)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r，6）x6－r·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)）)r＝Ceq\o\al（r，6）·（－1）r·x6－3r.令6－3r＝0，求得r＝2，∴展開式的常數(shù)項(xiàng)是Ceq\o\al（2,6)＝15，故選B。2．(2019·全國卷Ⅲ)（1＋2x2)(1＋x）4的展開式中x3的系數(shù)為（)A．12 B．16C．20 D．24答案A解析解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12.故選A.解法二:∵(1＋2x2)（1＋x）4＝(1＋2x2)（1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系數(shù)為1×4＋2×4＝12.故選A。3．若（x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為（）A．9 B．8C．7 D．6答案B解析令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1,則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加，得a0＋a2＋a4＝8.4．(x－y)（x＋y）5的展開式中x2y4的系數(shù)為(）A．－10 B．－5C．5 D．10答案B解析（x＋y)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al（r，5)·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴（x－y）（x＋y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為Ceq\o\al(4，5)×1＋（－1）×Ceq\o\al(3,5）＝－5.故選B。5．設(shè)（5x－eq\r(x))n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，M－N＝240,則展開式中x3的系數(shù)為（)A．500 B．－500C．150 D．－150答案C解析由題意可得N＝2n，令x＝1，則M＝（5－1)n＝4n＝(2n）2?！啵?n）2－2n＝240,2n＝16,n＝4。展開式中第r＋1項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al（r,4)·(5x)4－r·（－eq\r(x))r＝(－1）r·Ceq\o\al(r,4)·54－r·x4－eq\f(r，2).令4－eq\f（r,2）＝3，即r＝2，此時Ceq\o\al(2,4）·52·(－1）2＝150。6．(2019·浙江高考)在二項(xiàng)式(eq\r（2）＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是________．答案16eq\r（2)5解析由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al（r,9)·(eq\r（2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0，9）·(eq\r（2)）9·x0＝(eq\r（2））9＝16eq\r（2）.當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時，9－r為偶數(shù),可得r＝1，3,5，7,9,即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是5。核心考向突破考向一求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)系數(shù)例1(1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,3\r（x)））)18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為（)A．153 B．－153C．17 D．－17答案C解析Tr＋1＝Ceq\o\al（r，18）x18－req\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3\r(x)))）r＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,3)）)rCeq\o\al(r,18）·x18－eq\f（3,2）r，令18－eq\f（3,2)r＝15，解得r＝2,所以含x15的項(xiàng)的系數(shù)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，3）））2Ceq\o\al（2，18)＝17。（2）(2019·山東棗莊模擬)若(x2－a）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x)）)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(）A。eq\f（1，3)B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案D解析eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x)）)10的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al（r，10）·x10－r·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，x））)r＝Ceq\o\al(r,10)·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3,所以x4的系數(shù)為Ceq\o\al（3，10)；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系數(shù)為Ceq\o\al(2，10）,所以（x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x））)10的展開式中x6的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2，10)＝30，解得a＝2。故選D。（3)（2019·天津高考）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（1,8x3)）)8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．答案28解析eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f(1,8x3）））8的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al（r，8)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x))8－r·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,8x3)）)r＝Ceq\o\al（r,8）28－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，8）)）r·x8－4r。令8－4r＝0，得r＝2，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,8）26eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，8)））2＝28。求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路(1）利用通項(xiàng)公式將Tr＋1項(xiàng)寫出并化簡．(2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等），解出r.（3）代回通項(xiàng)公式得所求．［即時訓(xùn)練］1.（2019·廣州調(diào)研）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(1，2x）））9的展開式中x3的系數(shù)為()A．－eq\f(21,2） B．－eq\f(9，2）C.eq\f（9,2） D。eq\f（21，2)答案A解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r，9)x9－req\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2x))）r＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）)）rCeq\o\al(r,9)x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3,所以展開式中x3的系數(shù)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)））3Ceq\o\al（3,9)＝－eq\f(1，8)×eq\f(9×8×7,3×2×1)＝－eq\f(21,2）。故選A。2．（2020·河南信陽摸底）(x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，\r（x)）－2）)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A．5 B．－10C．－32 D．－42答案D解析由于eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，\r(x))－2)）5的展開式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(r,5）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,\r(x）))）5－r·(－2）r＝Ceq\o\al（r，5）（－2）r·xeq\f（r－5,2)，故(x2＋1）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,\r（x））－2)）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是Ceq\o\al（1,5)·(－2)＋Ceq\o\al（5,5)(－2）5＝－42.故選D.3．已知eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a，x)－\r(\f(x，2））)）9的展開式中x3的系數(shù)為eq\f(9,4)，則a＝________。答案4解析eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，x)－\r（\f（x，2)））)9的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r，9)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a，x）））9－r·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\r（\f（x，2）)）)r＝(－1）r·a9－r·2－eq\f（r，2)·Ceq\o\al（r,9)·xeq\f（3，2)r－9。令eq\f（3，2）r－9＝3，得r＝8,則（－1）8·a·2－4·Ceq\o\al(8，9）＝eq\f(9,4），解得a＝4.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向,多角度探究突破考向二二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)問題角度eq\o（\s\up7（)，\s\do5（1））二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和例2（1）(2019·鄭州一中測試）若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2－\f(2，x）)）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為（)A．－1 B．1C．27 D．－27答案A解析由題意，得Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al(1,n）＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2n＝8，即n＝3，所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2－\f（2，x））)3的展開式的系數(shù)之和為(1－2）3＝－1,故選A.(2）已知(1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝________,a2＋a4＋a6＝________.答案12621871092解析令x＝0，得a0＝1。令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7。①又a7＝Ceq\o\al（7,7)(－2)7＝（－2）7，∴a1＋a2＋…＋a6＝－1－a0－a7＝126。令x＝－1,得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37＝2187。②eq\f(①＋②,2)，得a0＋a2＋a4＋a6＝1093，∴a2＋a4＋a6＝1092。賦值法的應(yīng)用（1）對形如(ax＋b）n（a,b∈R）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1。(2）對形如(ax＋by)n(a，b∈R）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x＝y(tǒng)＝1。(3）一般地，對于多項(xiàng)式（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g（x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx）n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g（1），(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2）[g（1)＋g(－1）]，(a＋bx）n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f（1,2)[g(1）－g(－1)]．［即時訓(xùn)練］4。(2019·東北三校聯(lián)考)若（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,則｜a0|－|a1｜＋｜a2|－|a3｜＋｜a4｜－｜a5|＝（）A．0 B．1C．32 D．－1答案A解析由(1－x）5的展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r，5)xr,可得a1，a3，a5為負(fù)數(shù),a0，a2，a4為正數(shù),故有｜a0｜－|a1|＋｜a2|－|a3｜＋|a4|－｜a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1）5＝0。故選A.5．(2019·鄭州一測）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(3,\r(x）))）n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1,則x2的系數(shù)為________．答案90解析令x＝1，則eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（3,\r(x））））n＝4n，所以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(3，\r(x))）)n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以eq\f(4n,2n）＝2n＝32，解得n＝5。二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al（r,5)x5－req\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,\r（x))））r＝Ceq\o\al(r,5）3rx5－eq\f（3，2）r，令5－eq\f（3,2）r＝2，得r＝2,所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2，5）32＝90。角度eq\o（\s\up7(）,\s\do5(2))二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題例3(1)設(shè)m為正整數(shù)，（x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7bA．5 B．6C．7 D．8答案B解析由題意，得a＝Ceq\o\al（m，2m)，b＝Ceq\o\al(m，2m＋1），則13Ceq\o\al（m,2m)＝7Ceq\o\al（m,2m＋1),∴eq\f(13·2m！，m！·m?。絜q\f（7·2m＋1！,m!·m＋1?。?∴eq\f（7·2m＋1,m＋1)＝13，解得m＝6,經(jīng)檢驗(yàn)m＝6為原方程的解，故選B。(2)(2019·安徽馬鞍山模擬)二項(xiàng)式eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r（3）x＋\f（1,\r(3,x）))）n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為（）A．3 B．5C．6 D．7答案D解析根據(jù)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r(3)x＋\f(1，\r（3，x）））)n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n＝20,∴eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r（3)x＋\f（1,\r（3,x））））n的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al（r，20)·（eq\r(3)x）20－r·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,\r（3，x））)）r＝(eq\r（3））20－r·Ceq\o\al(r,20)·x20－eq\f（4r，3)，要使x的指數(shù)是整數(shù),需r是3的倍數(shù)，∴r＝0，3,6,9，12，15,18，∴x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)．故選D.求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)(1)如果n是偶數(shù)，那么中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（第\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（n，2)＋1）)項(xiàng))）的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(2)如果n是奇數(shù)，那么中間兩項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(第\f（n＋1，2)項(xiàng)與第\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(n＋1，2)＋1))項(xiàng)））的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．［即時訓(xùn)練］6.已知(1＋x）n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A．212 B．211C．210 D．29答案D解析因?yàn)檎归_式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以Ceq\o\al(3，n)＝Ceq\o\al（7,n），解得n＝10，所以根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的相關(guān)公式可知,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n－1＝29。7．若eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f（2,x2）)）n的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(）A．180 B．120C．90 D．45答案A解析由只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可知n＝10,于是展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)（eq\r（x））10－req\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2,x2)))r＝2rCeq\o\al（r，10)·x5－eq\f（5r,2),令5－eq\f（5r，2）＝0，得r＝2，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是22Ceq\o\al（2,10）＝180。故選A。角度eq\o(\s\up7()，\s\do5(3))項(xiàng)的系數(shù)的最值問題例4（1)(2020·承德摸底)若（1＋2x)6的展開式中第二項(xiàng)大于它的相鄰兩項(xiàng),則x的取值范圍是(）A。eq\f（1，12)<x〈eq\f(1，5） .eq\f(1，6）〈x〈eq\f(1,5）C。eq\f(1，12）<x〈eq\f(2,3) 。eq\f(1,6)〈x<eq\f（2,5）答案A解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,6)2x>C\o\al(0,6),，C\o\al（1,6）2x>C\o\al(2,6)2x2,))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x>\f（1,12)，,0〈x<\f(1,5），）)即eq\f（1,12)<x<eq\f(1,5).(2）若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f（1,x2）)）n的展開式中第6項(xiàng)系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)為（）A．210 B．10C．462 D．252答案A解析∵第6項(xiàng)系數(shù)最大，且項(xiàng)的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，∴n的值可能是9，10,11。設(shè)常數(shù)項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al（r，n）x3（n－r）x－2r＝Ceq\o\al(r，n）x3n－5r,則3n－5r＝0,其中n＝9,10,11,r∈N，∴n＝10,r＝6,故不含x的項(xiàng)為T7＝Ceq\o\al(6，10)＝210。求展開式系數(shù)最大項(xiàng)如求（a＋bx)n（a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，，Ak≥Ak＋1))從而解出k來，即得．[即時訓(xùn)練]8。(2020·宜昌高三測試）已知（xeq\f(2，3)＋3x2）n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與它的二項(xiàng)式系數(shù)和的比為32。(1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解令x＝1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋3）n＝22n。又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,∴eq\f（22n，2n）＝2n＝32，n＝5。(1）∵n＝5，展開式共6項(xiàng)，∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng),∴T3＝Ceq\o\al（2,5）(xeq\f（2,3））3(3x2)2＝90x6,T4＝Ceq\o\al(3,5）(xeq\f（2，3)）2（3x2)3＝270xeq\f(22，3）。(2）設(shè)展開式中第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則由Tk＋1＝Ceq\o\al(k，5)(xeq\f（2，3））5－k（3x2)k＝3kCeq\o\al(k，5）xeq\f（10＋4k,3),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3kC\o\al(k,5)≥3k－1C\o\al(k－1，5），,3kC\o\al（k，5)≥3k＋1C\o\al（k＋1,5），)）∴eq\f（7，2）≤k≤eq\f（9,2），∴k＝4，∴第5項(xiàng)系數(shù)最大,即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,5）(xeq\f(2，3)）（3x2)4＝405xeq\f（26，3)?？枷蛉?xiàng)式定理的應(yīng)用例5（1）（2019·濰坊模擬)設(shè)a∈Z，且0≤a〈13，若512020＋a能被13整除，則a＝（)A．0 B．1C．11 D．12答案D解析由于51＝52－1，（52－1)2020＝Ceq\o\al(0,2020)522020－Ceq\o\al(1,2020)522019＋…－Ceq\o\al（2019,2020）521＋1,又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12。（2）0.9910的第一位小數(shù)為n1，第二位小數(shù)為n2，第三位小數(shù)為n3，則n1,n2，n3分別為(）A．9,0,4 B．9，4，0C．9，2，0 D．9,0，2答案A解析0。9910＝（1－0。01)10＝Ceq\o\al(0,10）×110×（－0。01）0＋Ceq\o\al（1，10）×19×(－0.01)1＋Ceq\o\al（2,10)×18×（－0.01)2＋…＝1－0。1＋0.0045＋…≈0.9045。二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法（1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．（2)二項(xiàng)式定理的一個重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，｜x｜比較小時，（1＋x)n≈1＋nx.[即時訓(xùn)練］9.1－90Ceq\o\al(1，10）＋902Ceq\o\al(2，10)－903Ceq\o\al(3,10）＋…＋（－1)k90kCeq\o\al（k，10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10）除以88的余數(shù)是（)A．－1 B．1C．－87 D．87答案B解析1－90Ceq\o\al（1，10)＋902Ceq\o\al（2,10）－903Ceq\o\al（3,10)＋…＋（－1)k90kCeq\o\al（k,10)＋…＋9010Ceq\o\al（10，10）＝（1－90)10＝8910＝(88＋1）10＝8810＋Ceq\o\al（1,10)×889＋…＋Ceq\o\al(9，10)×88＋1?！咔?0項(xiàng)均能被88整除，∴余數(shù)是1.10．1。028的近似值是________(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)．答案1。172解析1。028＝(1＋0。02）8≈Ceq\o\al（0,8）＋Ceq\o\al(1,8)×0。02＋Ceq\o\al（2,8）×0。022＋Ceq\o\al（3，8)×0.023≈1。172.學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)（二十二)二項(xiàng)式定理破解三項(xiàng)式問題1．（2020·柳州摸底)（x2＋x＋y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A．10 B．20C．30 D．60答案C解析由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)易知Tr＋1＝Ceq\o\al（r,5）（x2＋x)5－ryr，令r＝2，則T3＝Ceq\o\al(2，5)(x2＋x）3y2，對于二項(xiàng)式(x2＋x)3，由Tt＋1＝Ceq\o\al(t,3)（x2）3－t·xt＝Ceq\o\al(t，3）x6－t，令t＝1，所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2，5)Ceq\o\al（1，3）＝30。故選C。2。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)＋\f(1,x）＋\r(2)））5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答）．答案eq\f(63\r(2),2)解析解法一：原式＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2）x＋2，2x）))5＝eq\f（1，32x5)·［（x＋eq\r（2））2]5＝eq\f(1,32x5)（x＋eq\r(2）)10.求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求（x＋eq\r（2）)10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù),即Ceq\o\al(5，10）·(eq\r(2）)5.所以所求的常數(shù)項(xiàng)為eq\f(C\o\al（5，10）·\r（2)5，32）＝eq\f（63\r（2），2）。解法