基于壓縮感知的正交匹配算法圖像重建

基于壓縮感知的正交匹配算法圖像重建摘要：壓縮感知理論是由Donoho和Candes提出的一種充分利用信號稀疏性的全新的信號采樣理論。該理論表明，用遠低于Nyquist采樣定理要求的頻率對信號進行采樣也能實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)。該理論突破了傳統(tǒng)的以Nyquist定理為基準的信號處理方法，實現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時對其進行適當?shù)膲嚎s，克服了采樣數(shù)據(jù)量大，采樣時間長及數(shù)據(jù)存儲空間浪費嚴重的問題，因此進一步降低了信號處理的時間和器件成本。壓縮感知理論有三個核心方面：（1）稀疏變換，即對一個非稀疏的信號，找到一個合適的正交基使該信號在它上可以稀疏表示；（2）測量矩陣，與變換基不相干且平穩(wěn)的矩陣；（3）重構(gòu)算法，利用數(shù)學算法完成對信號的精確重構(gòu)，該過程可看為求解一個優(yōu)化問題。本文介紹了主要介紹了壓縮感知原理和目前最為成熟的壓縮感知重建算法——正交匹配追蹤算法，通過MATLAB平臺設(shè)計實現(xiàn)了基本的正交匹配追蹤算法，對一維、二維信號進行了重建仿真。關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏變換；正交匹配；圖像重建BasedOnCompressedSensingOfOrthogonalMatchingAlgorithmImageRecoveryAbstract：CompressedsensingisanovelsamplingtheorywhichisproposedbyDonohoandCandès.Thistheoryisundertheconditionthatthesignaliscompressibleorsparthiscase,usingfarlessthantherequiredsamplingfrequencyoftheNyquisttheorytosamplethesignalisabletoaccuratelyreconstructthesignal.CompressedtheorybreaksthoughthetraditionalNyquistsamplingtheory,whichovercomesalotofproblemssuasagreatnumberofsamplingdata,timewasting,datastoragespacewastingandsoAsaresult,itreducessignalprocessingcostanddevicecost.Thecompressedtheoryhasthreekeysides:(1)Sparsetransformation,foransparsesignal,weneedtofindaproperorthogonalbasisonwhichthesignalhasasrepresentation;(2)Observationmatrix,itisirrelevantwiththeorthogonalbasis;(3)reconstructionalgorithms,usingareconstructionalgorithmtoensuretheaccuracyosignalreconstruction,thewholeprocesscanbeconsideredasthesolvetoaoptimizproblem.ThispaperintroducesCSandmostmaturecompressionperceptionalgorithmatpresent-Orthogonalmatchingalgorithm.ThroughtheMATLABdesignrealizebasicorthogonalmatchingalgorithms,ThroughtheMATLABdesignrealizebasicorthogonalmatchingalgorithmofone-dimensional,two-dimensionalsignalprocessingsimulation.Keywords：Compressedsensing;Sparsetransform;Orthogonalmatching;Imagerecovery.西安文理學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）西安文理學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）第頁圖4.8從圖像的重構(gòu)質(zhì)量上可以看出，OMP的重建效果次于BP算法但優(yōu)于STOMP_FDR算法。但從重建時間來看，OMP算法次于STOMP_FDR但明顯優(yōu)于BP算法。由此表明：OMP算法能夠兼顧重構(gòu)時間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實用的重建算法。4.3結(jié)論從上面一維信號到二維圖像的壓縮感知重建仿真可以得出以下結(jié)論：正交匹配算法對一維信號有很優(yōu)秀的還原恢復。對于二維圖像信號，正交匹配算法（OMP）的重構(gòu)不是最好，但它的重建時間比較短，雖然基追蹤（BP）的還原圖像是最清晰的，但它的重建時間遠遠高于其它兩種算法。而分段正交匹配追蹤FDR閾值算法（STOMP_FDR）雖然時間短，但恢復圖像效果是其中最差的一個。OMP算法能夠兼顧重構(gòu)時間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實用的重建算法。所以，正交匹配追蹤算法對于圖像重建要求不是特別高的場合還是比較通用的。

結(jié)束語近年來，信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了一種新的信息采樣理論——壓縮感知。它利用原始圖像或信號的稀疏性先驗知識，通過適當?shù)膬?yōu)化算法，可以由少量的觀測值或采樣值對信號進行精確重建。該理論突破了傳統(tǒng)的以Nyquist定理為基準的信號處理方法，實現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時對其進行適當?shù)膲嚎s，進一步降低了信號處理的時間和器件成本。目前該領(lǐng)域有很多方面的問題值得研究，其中一個關(guān)鍵部分是重構(gòu)算法，它直接決定著重構(gòu)信號的質(zhì)量及重構(gòu)速度、應(yīng)用效果。尋求有效的重構(gòu)方法也是研究者一直在進行的工作。本文深入了解了壓縮感知理論及國內(nèi)外現(xiàn)有的重建算法之后，著重對其中的正交匹配追蹤重建算法展開了工作，主要工作總結(jié)如下：在總結(jié)現(xiàn)有的幾種算法及模型如最小L0范數(shù)模型，OMP算法，MP算法的基礎(chǔ)之上，分別從一維信號和二維可壓縮信號的角度考察OMP算法的重建效果及運行時間。利用Matlab語言搭建了仿真平臺，對OMP算法重建圖像進行了仿真研究。作為壓縮感知理論的核心，重建算法還有很多問題亟待解決，目前重構(gòu)算法有以下幾個問題：雖然最小L1范數(shù)法的重構(gòu)效果很好，但是它的重構(gòu)時間較長，不能應(yīng)用于大規(guī)模的實際問題中。因此需要研究基于最小L1范數(shù)算法的快速算法，做到重構(gòu)效果與時間發(fā)的統(tǒng)一。貪婪系列算法雖然計算簡單，實現(xiàn)方便，重建效果也較好，但是它不能直接求解原始的優(yōu)化問題，在重構(gòu)質(zhì)量上還次于基于最小L1范數(shù)的算法。OMP算法在原子的選取方面就存在缺陷，因此，在貪婪算法方面還需要繼續(xù)研究。測量矩陣的選取與重構(gòu)算法也密切相關(guān)，測量矩陣的好壞直接影響到重構(gòu)信號的質(zhì)量。我們通常采用高斯隨機矩陣，但是很難硬件實現(xiàn)，不具有實際應(yīng)用的意義。以此尋求好的測量矩陣也是需要進一步研究的方面。該理論只針對可壓縮或者稀疏的信號才有效果，但是大多數(shù)自然信號不具有稀疏性，由正交變換性質(zhì)可知，我們首先需要對信號進行正交變換，然后才能對信號進行下一步的處理。因此正交變換也是壓縮感知中的一個重要方面。正交變換選取的合適與否直接關(guān)系到信號是否滿足稀疏度的要求，從而會影響到信號是否能被精確重建，因此選取合適的正交變換基也是重建算法需要考慮的一個重要部分。致謝時間如梭，轉(zhuǎn)眼畢業(yè)在即?；叵朐诖髮W求學的四年，心中充滿無限感激和留戀之情。感謝母校為我們提供的良好學習環(huán)境，使我們能夠在此專心學習，陶冶情操。值此本科學位論文完成之際，謹向我的論文指導老師致以最誠摯的謝意！感謝她在忙碌的教學工作中擠出時間來審查、修改我的論文。本文的寫作是在她的悉心指點下，從論文的選題到體系的安排，從觀點推敲到字句斟酌，都凝聚著她的心血。再者，感謝教過我的所有老師們，他們嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；他們循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。滴水之恩，當以涌泉相報，師恩重于山，師恩難報。我只有在今后的學習、工作中，以鍥而不舍的精神，努力做出點成績，以不負恩師的厚望。另外，我必須感謝我的父母。言樹之背，養(yǎng)育之恩，無以回報。作為他們的孩子，我秉承了他們樸實、堅韌的性格，也因此我有足夠的信心和能力戰(zhàn)勝前進路上的艱難險阻；也因為他們的日夜辛勞，我才有機會如愿完成自己的大學學業(yè)，進而取得進一步發(fā)展的機會。最后，我必須感謝我的朋友，正是因為他們的無私幫助，我才得以順利完成該論文。

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重建圖像x=imread('lena.bmp');%讀文件[m,n]=size(x);xrec_BP=size(x);xrec_OMP=size(x);xrec_FDR=size(x);t_BP=0;t_OMP=0;t_FDR=0;fori=1:mx1=x(i,:);[cA,cD]=dwt(x1,'db1');%小波變換c1=length(cD)Mdetail=c1;Ndetail=floor(c1*0.4);A=randn(Ndetail,Mdetail);%隨機矩陣生成y=A*cD';q=0.5;S=10;tic;alpha=SolveBP(A,y,Mdetail);%BP算法處理圖像t_BP=t_BP+toc;rec1=idwt(cA,alpha','db1');xrec_BP(i,1:n)=rec1;tic;[alpha,iters,activeset]=SolveOMP(A,y,Mdetail);%OMP算法處理圖像t_OMP=t_OMP+toc;rec2=idwt(cA,alpha','db1');xrec_OMP(i,1:n)=rec2;tic;[alpha,iters]=SolveStOMP(A,y,Mdetail,'FDR',q,S);%STOMP_FDR算法處理圖像t_FDR=t_FDR+toc;rec3=idwt(cA,alpha','db1');xrec_FDR(i,1:n)=rec3;endsubplot(2,2,1);imshow(x);title(['Origineimage','N=',num2str(m*n)]);%原始圖像subplot(2,2,2);imshow(uint8(xrec_BP));title(['BP,','samp=',num2str((Ndetail/Mdetail)*1),'%time=',num2str(t_BP),'sec']);%BP恢復圖像subplot(2,2,3);imshow(uint8(xrec_OMP));title(['OMP,','samp=',num2str((Ndetail/Mdetail)*100),'%time=',num2str(t_OMP),'sec']);%OMP恢復圖像subplot(2,2,4);imshow(uint8(xrec_FDR));title(['FDR,','samp=',num2str((Ndetail/Mdetail)100),'%time=',num2str(t_FDR),'sec']);%STOMP恢復圖像附錄二英文文獻翻譯英文文獻：ImageProcessingImageprocessingisnotaonestepprocess．Weareabletodistinguishbetweenseveralstepswhichmustbeperformedoneaftertheotheruntilwecanextractthedinterestfromtheobservedscene．Imageprocessingbeginswiththecaptureofanimagewithasuitable，notnecessarilyoptical，acquisitionsystem．Inatechnicalorscientificapplication，wemaychoosetoselectanappropriateimagingsystem．Furthermore，wecansetuptheilluminationsystem，choosethebestwavelengthrange，andselectotheroptionstocapturetheobjectfeatureofinterestinthebestwayinanimage．Oncetheimageissensed，itmustbebroughtintoaformthatcanbetreatedwithdigitalcomputers.Thisprocessisdigitization.Thefirststepsofdigitalprocessingmayincludeanumberofdifferentoperationareknownasimageprocessing．Ifthesensorhasnonlinearcharacteristics,theseneedtobecorrected．Likewise，brightnessandcontrastoftheimagemayrequireimprovement．Commonly，too，coordinatetransformationsareneededtorestoregeometricaldistortionsintroducedduringimageformation．Radiometricandgeometriccorrectionsareelementarypixelprocessingoperations．Itmaybenecessarytocorrectknowndisturbancesinthe，forinstancecausedmagebyadefocusedoptics，motionblur，errorsinthesensor，orerrorsinthetransmissionofimagesignals．Wealsodealwithreconstructiontechniqueswhicharerequiredwithmanyindirectimagingtechniquessuchastomographythatdelivernodirectimage.Awholechainofprocessingstepsisnecessarytoanalyzeandidentifyobjects．First，adequatefilteringproceduresmustbeappliedinordertodistinguishtheobjectsoffromotherobjectsandthebackground．Essentially，fromanimage（orseveralimages），oneormorefeatureimagesareextracted．Thebasictoolsforthistaskareaveragingandedgedetectionandtheanalysisofsimpleneighborhoodsandcomplexpatternsknownatextureinimageprocessing．Animportantfeatureofanobjectisalsoitsmotion．Techniquestodetectanddeterminemotionarenecessary．Thentheobjecthastobeseparatedfromthebackground．Thismeansthatregionsofconstantfeaturesanddiscontinuitiesmustbeidentified．Thisprocessleadstoalabelimage．Nowthatweknowtheexactgeometricalshapeoftheobject，wecanextractfurtherinformationsuchasthemeangrayvalue，thearea，perimeter，andotherparametersfortheformoftheobject．Theseparameterscanbeusedtoclassifyobjects．Thisisanimportantstepinmanyapplicationsofimageprocessing，asthefollowingexamplesshow：Inasatelliteimageshowinganagriculturalarea，wewouldliketodistinguishfieldswithdifferentfruitsanobtainparameterstoestimatetheirripenessortodetectdamagebyparasites．Therearemanymedicalapplicationswheretheessentialproblemistodetectpathologi-alchanges．Aclassicexampleistheanalysisofaberrationsinchromosomes．Characterrecognitioninprintedandhandwrittentextisanotherexamplwhichhasbeenstudiedsinceimageprocessingbeganandstillposessignificantdifficulties．Youhopefullydomore，namelytrytounderstandthemeaningofwhatyouarereading．Thisisalsothefinalstepofimageprocessing，whereoneaimstounderstandtheobservedscene．Weperformthistaskmoreorlessunconsciouslywheneverweuseourvisualsystem．Werecognizepeople，wecaneasilydistinguishbetweentheimageofascientificlabandthatofalivingroom，andwewatchthetraffictocrossastreetsafely．Wealldothiswithoutknowinghowthevisualsystemworks．Forsometimesnow，imageprocessingandcomputer-graphicshavebeentreatedastwodifferentareas．Knowledgeinbothareashasincreasedconsiderablyandmorecomplexproblemscannowbetreated．Computergraphicsisstrivingtoachievephotorealisticcomputer-generatedimagesofthree-dimensionalscenes，whileimageprocessingistryingtoreconstructonefromanimageactuallytakenwithacamera．Inthissense，imageprocessingperformstheinverseproceduretothatofcomputergraphics．Westartwithknowledgeoftheshapeandfeaturesofanobject.andworkupwardsuntilwegetatwo-dimensionalimage．Tohandleimageprocessingorcomputergraphics，webasicallyhavetoworkfromthesameknowledge．Weneedtoknowtheinteractionbetweenilluminationandobjects，howathree-dimensionalsceneisprojectedontoanimage，etc．planeTherearestillquiteafewdifferencesbetweenanimageprocessingandagraphworkstation．Butwecanenvisagethat，whenthesimilaritiesandinterrelationsbetweencomputergraphicsandimageprocessingarebetterunderstoodandtheproperhardwaredeveloped，wewillseesomekindofgeneral-purposeworkstationinthefuturewhichcahandlecomputergraphicsaswellasimageprocessingt．Theadventofmultimediasks，I.e.，theintegrationoftext，images，sound，andmovies，willfurtheracceleratetheunificationofcomputergraphicsandimageprocessing.InJanuary1980ScientificAmericanpublishedaremarkableimagecalledPlume2，thesecondofeightvolcaniceruptionsdetectedontheJovianmoonbythespacecraftVoyager1on5March1979．Thepicturewasalandmarkimageininterplanetaryexploration—thefirstimeaneruptingvolcanohadbeenseeninspace．Itwasalsoatriumphforimageprocessing．Satelliteimageryandimagesfrominterplanetaryexplorershaveuntilfairlyrecbeenthemajorusersofimageprocessingtechniques，whereacomputerimageisnumericallymanipulatedtoproducesomedesiredeffect-suchasmakingaparticularaspectorfeatureintheimagemorevisible.ImageprocessinghasitsrootsinphotoreconnaissanceintheSecondWorldWarwhereprocessingoperationswereopticalandinterpretationoperationswereperformedhumanswhoundertooksuchtasksasquantifyingtheeffectofbombingraids．Withtheadventofsatelliteimageryinthelate1960s，muchcomputer-basedworkbeganandthecolorcompositesatelliteimag，sometimesstartlinglybeautiful,havebecomepartofoursvisualcultureandtheperceptionofourplanet．Likecomputergraphics，itwasuntilrecentlyconfinedtoresearchlaboratorieswhicouldaffordtheexpensiveimageprocessingcomputersthatcouldcopewiththesubstantialprocessingoverheadsrequiredtoprocesslargenumbersofhigh-resolutionimages．Withtheadventofcheappowerfulcomputersandimagecollectiondeviceslikedigitalcamerasandscanners，wehaveseenamigrationofimageprocessingtechniquesintothepublicdomain．Classicalimageprocessingtechniquesareroutinelyemployedbygraphicdesignerstomanipulatephotographicandgeneratedimagery，eithertocorrectdefects，changecolorandsoonorcreativelytotransformtheentirelookofanimagesubjectingittosomeoperationsuchasedgeenhancement.Arecentmainstreamapplicationofimageprocessingisthecompressionofimages—eitherfortransmissionacrosstheInternetorthecompressionofmovingvideoimagesinvideotelephonyandvideoconferencing．Videotelephonyisoneofthecurrentcrossoverareasthatemploybothcomputergraphicsandclassicalimageprocessingtechniquestotrytoachieveveryhighcompression．Allthisispartofaninexorableratestrendtowardsthedigitalrepresentationofimages．Indeedthatmostpowerfulimageformofthetwentiethcentury—theTVimage—isalsoabouttobetakenintothedigitaldomain．Imageprocessingischaracterizedbyalargenumberofalgorithmsthatarespecsolutionstospecificproble．Somearemathematicalorcontext-independentoperationssthatareappliedtoeachandeverypixel．Forexample，wecanuseFouriertransformstoperformimagefilteringoperations．Othersare“algorithmic”—wemayuseacomplicatedrecursivestrategytofindthosepixelsthatconstitutetheedgesinanimage．Imageprocessingoperationsoftenformpartofacomputervisionsystem．Theinputimagemaybefilteredtohighlightorrevealedgespriortoashapedetectionusuallyknownaslow-leveloperations．Incomputergraphicsfilteringoperationsareusedextensivelytoavoidabasingorsamplingartifacts.中文翻譯：圖像處理圖像處理不是一步就能完成的過程?？蓪⑺殖芍T多步驟，必須一個接一個地執(zhí)行這些步驟，直到從被觀察的景物中提取出有用的數(shù)據(jù)。圖像處理首先是以適當?shù)牡灰欢ㄊ枪鈱W的采集系統(tǒng)對圖像進行采集。在技術(shù)或科學應(yīng)用中，可以選擇一個適當?shù)某上裣到y(tǒng)。此外，可以建立照明系統(tǒng)，選擇最佳波長范圍，以及選擇其他方案以便用最好的方法在圖像中獲取有用的對象特征。一旦圖像被檢測到，必須將其變成數(shù)字計算機可處理的形式，這個過程稱之為數(shù)字化。數(shù)字化處理的第一步包含了一系列不同的操作并被稱之為圖像處理。如果傳感器具有非線性特性，就必須予以校正，同樣，圖像的亮度和對比度也需要改善。通常，還需要進行坐標變換以消除在成像時產(chǎn)生的幾何畸變。輻射度校正和幾何校正是最基本的像素處理操作。在圖像中，對已知的干擾進行校正也是不可少的，比如由于光學聚焦不準，運動模糊，傳感器誤差以及圖像