定積分求面積

關(guān)于定積分求面積1第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一2

用定積分解決實(shí)際問題，應(yīng)先明確

兩個問題：第一，定積分能解決哪類問題？(共性)第二，用定積分解決這類問題方法的關(guān)鍵是什么？第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一3一、微元法第一個問題：用定積分所解決問題的共性：

2.這個在[a,b]上分布的整體量等于其所有1.都是求在[a,b]非均勻分布的一個整體量，如：面積、體積、曲線弧長；作功、引力、總成本、總利潤等等；第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一4子區(qū)間局部量的總和(可和)，具體地講：設(shè)F(x)可微第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一5第二個問題：用定積分解決問題的關(guān)鍵

——在找出整體量的微元：微元法解決問題的步驟1.寫出實(shí)際問題整體改變量的微元表達(dá)式：2.用定積分求出整體改變量：第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一6二、定積分的幾何應(yīng)用1.平面圖形的面積（Area）用微元法求面積

第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一7例1求由所圍圖形的面積.(如圖)思考:求面積前需要做那些準(zhǔn)備工作?第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一8解從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部兩塊面積的微元分別為：分:第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一9第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一10

用微元法求面積

求面積前需要做的準(zhǔn)備工作有:第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一11(1)

最好能作出草圖,弄清邊界曲線的方程;

(2)

根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元;(3)

確定積分區(qū)間,為此常需要求出邊界曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).(如圖)第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一12例2再求由所圍圖形的面積.(如圖)第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一13

解那種方法好？第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一14例3求星形線所圍面積，它的參數(shù)方程為：直角坐標(biāo)方程第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一解由對稱性只需求出(1/4)面積即可。第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一例4用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線C：用微元法先推導(dǎo)—

極坐標(biāo)系下求面積的表達(dá)式or所圍的面積,并求心臟所圍圖形的面積.第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一17解心臟線的對稱性是明顯的，因此第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一18例5求雙紐線：所圍封閉圖形的面積。第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一19解(當(dāng)你不會作封閉曲線的圖形時，如何通過分析求出面積？)分析使用公式：

解這個問題的難點(diǎn)在確定積分限。注意到每兩個零點(diǎn)曲線封閉一次.變化過程中，第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一20由于周期性的變化,你會發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重復(fù)出現(xiàn)在第一、三象限,且圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，故有進(jìn)而得第二十頁，共二十二頁，編輯于20